陳東萍，褚學(xué)寧，馮 濤，李玉鵬，左冠麗

（上海交通大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院，上海 200240）

0 引言

作為公理設(shè)計（Axiomatic Design，AD）最重要的兩個公理之一，信息公理為方案評價提供了一種新的手段［1］。應(yīng)用信息公理進(jìn)行方案評價，需要確定評價指標(biāo)的設(shè)計范圍和系統(tǒng)范圍，以計算各指標(biāo)的信息量（即系統(tǒng)范圍滿足設(shè)計范圍的成功概率的對數(shù)負(fù)值），并依據(jù)信息量的大小確定最佳方案，而不需要決策者給出評價指標(biāo)的權(quán)重，避免了人為主觀因素的影響。因此，信息公理在產(chǎn)品、服務(wù)和制造系統(tǒng)等領(lǐng)域的方案評價中得到了廣泛應(yīng)用［2-3］。

在基于信息公理的方案評價過程中，評價指標(biāo)的系統(tǒng)范圍有可能是確定性或隨機(jī)性的變量，需要分別構(gòu)建不同的信息量計算模型［4］。對于確定性系統(tǒng)范圍變量，已有一些文獻(xiàn)引入了模糊集合理論［5-6］，定義了模糊系統(tǒng)范圍、設(shè)計范圍和公共范圍，構(gòu)建了模糊評價指標(biāo)信息量的計算模型。這一模型能夠較好地解決定性指標(biāo)的信息量計算問題，拓展傳統(tǒng)信息公理評價方法的應(yīng)用范圍。

然而，對于系統(tǒng)范圍為隨機(jī)變量的情況，目前尚未有文獻(xiàn)開展模糊性評價研究。在工程實際中，有很多系統(tǒng)范圍為隨機(jī)變量的定性指標(biāo)，也需要用模糊語言來刻畫決策者的定性評價。例如，服務(wù)方案評價中的及時性指標(biāo)，其系統(tǒng)范圍的隨機(jī)性來源于服務(wù)的異質(zhì)性［7-8］（因每次服務(wù)的地點、請求時間和傳送方式等不同而有偏差，這時及時性指標(biāo)表現(xiàn)為滿足一定概率分布的隨機(jī)變量）。此外，對于及時性指標(biāo)的評價值，決策者往往習(xí)慣采用“很快”、“快”、“一般”、“慢”、“很慢”等定性語言來表達(dá)［9-11］。針對這類系統(tǒng)范圍為隨機(jī)變量的指標(biāo)，在考慮評價值為模糊概念的條件下，其信息量的計算涉及上下界為模糊數(shù)的積分，現(xiàn)有的模糊信息公理無法直接計算。因此，需要提出隨機(jī)性和模糊性共存的混合不確定條件下的信息公理評價方法。

混合不確定條件下，信息公理的評價方法存在如下難點：傳統(tǒng)信息公理的指標(biāo)僅能單獨表達(dá)其隨機(jī)性或模糊性，如何對混合不確定評價指標(biāo)進(jìn)行建模，使同一個指標(biāo)同時反映隨機(jī)性和模糊性，是本文要解決的第一個問題；由于混合不確定指標(biāo)的成功概率是上下界為模糊數(shù)的積分，無法直接計算其信息量，如何計算混合不確定指標(biāo)的信息量，是本文要解決的第二個問題。針對上述難點，本文提出在混合不確定條件下基于信息公理的方案評價方法，并基于模糊模擬方法提出混合不確定評價指標(biāo)的信息量計算方法。

1 混合不確定條件下的評價指標(biāo)建模

1.1 傳統(tǒng)、模糊和混合不確定三種信息公理對比

模糊性和隨機(jī)性是現(xiàn)實系統(tǒng)中普遍存在的兩種不確定性［12］。隨機(jī)性是描述事件是否發(fā)生的不確定性，而模糊性是描述決策者對概念認(rèn)知的不確定性。在應(yīng)用信息公理進(jìn)行評價時，需確定每一個指標(biāo)的設(shè)計范圍和系統(tǒng)范圍。設(shè)計范圍是決策者期望指標(biāo)達(dá)到的范圍，分為定量和定性兩種變量，其中定性的設(shè)計范圍變量適合應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)理論研究；系統(tǒng)范圍是方案執(zhí)行后指標(biāo)的實際可達(dá)范圍，分為確定和隨機(jī)兩種變量，其中隨機(jī)性來源于每次實際執(zhí)行過程的偏差，適合用概率與統(tǒng)計理論研究。例如服務(wù)方案評價中的服務(wù)速度、服務(wù)成本等指標(biāo)，其設(shè)計范圍是模糊變量，系統(tǒng)范圍是隨機(jī)變量。因此，本文提出以隨機(jī)變量表達(dá)系統(tǒng)范圍、以模糊變量表達(dá)設(shè)計范圍的混合不確定指標(biāo)模型，開展模糊性、隨機(jī)性共存的方案評價。表1從信息量計算公式、適用范圍、研究現(xiàn)狀等方面對比了信息公理、模糊信息公理和本文所提混合不確定下的信息公理。

表1 三種信息公理的對比

為推導(dǎo)混合不確定條件下信息量的計算方法，下面給出隨機(jī)變量和模糊變量的定義。

定義1［17］設(shè)ξ是從可能性空間｛θ，p（θ），Pos｝到實數(shù)集R的一個函數(shù)，則稱ξ為一個模糊變量。

定義2［17］設(shè)ξ是可能性空間｛θ，p（θ），Pos｝的模糊變量，則稱

是ξ的α-水平截集。

定義3［17］設(shè)ξ是可能性空間｛θ，p（θ），Pos｝的模糊變量，則由可能性測度導(dǎo)出函數(shù)

稱為ξ隸屬度函數(shù)。

定義4［17］一個隨機(jī)變量就是從概率空間（Ω，A，Pr）到實數(shù)集的可測函數(shù)。

1.2 評價指標(biāo)分類及混合不確定指標(biāo)信息量定義

依據(jù)表1，在應(yīng)用信息公理進(jìn)行方案評價時，需要根據(jù)指標(biāo)的不確定性選擇不同模型計算指標(biāo)的信息量。因此本文依據(jù)指標(biāo)的模糊性和隨機(jī)性，提出以下四類評價指標(biāo)：確定性指標(biāo)、模糊指標(biāo)、隨機(jī)指標(biāo)和混合不確定指標(biāo)（如圖1）。其中：確定性指標(biāo)和隨機(jī)指標(biāo)的信息量可按照傳統(tǒng)信息公理計算，模糊指標(biāo)的信息量按照模糊信息公理計算，混合不確定指標(biāo)信息量的計算方法是隨機(jī)指標(biāo)計算方法的擴(kuò)展。

隨機(jī)指標(biāo)信息量

式中：p為滿足給定功能需求FR的成功概率，f（FR）為功能需求FR的系統(tǒng)范圍的概率密度函數(shù)，drl和dru是設(shè)計范圍的上界和下界。對于混合不確定指標(biāo)，其設(shè)計范圍是模糊變量，成功概率p的積分上下限是模糊數(shù)，難以依據(jù)式（3）直接計算。為此，本文定義了混合確定指標(biāo)信息量計算公式。

定義5 混合不確定指標(biāo)信息量計算公式為

以服務(wù)方案評價指標(biāo)及時性為例，說明混合不確定指標(biāo)的建模過程。及時性的設(shè)計范圍是模糊集｛很快，快，一般｝，評價術(shù)語集如圖2c所示，其系統(tǒng)范圍是一個隨機(jī)變量，分布服從特定的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF），如圖2b所示。圖2a展示了混合不確定指標(biāo)及時性的設(shè)計范圍和系統(tǒng)范圍。根據(jù)信息量的計算公式，混合不確定指標(biāo)信息量

式中：p為滿足及時性的成功概率，f（FR）為及時性系統(tǒng)范圍的概率密度函數(shù)；M和VF為設(shè)計范圍的上下界，分別表示“中等”和“很快”。

2 混合不確定指標(biāo)信息量算法

為計算混合不確定條件下的指標(biāo)信息量，采用模糊模擬方法，將上下限為模糊數(shù)的積分轉(zhuǎn)換為一系列精確數(shù)積分的加權(quán)和。評價指標(biāo)主要有成本型、效益型和固定型等，成本型和效益型指標(biāo)的成功概率積分上下界中僅有一個是模糊數(shù)，固定型指標(biāo)的成功概率積分上下界都是模糊數(shù)，其計算過程略有不同。

2.1 基于模糊模擬的信息量計算方法

模糊模擬由文獻(xiàn)［18-19］提出，它是對模糊系統(tǒng)模型進(jìn)行抽樣實驗的一項技術(shù)，在處理包含模糊參數(shù)的不確定函數(shù)方面很有優(yōu)勢［17］。模糊模擬處理不確定函數(shù)的主要思想是在模糊數(shù)的α-水平截集中取一系列離散的點代表連續(xù)變化的模糊數(shù)，分別計算這些離散點的函數(shù)值，通過一定的方式將離散點的函數(shù)值合成，即得到不確定函數(shù)的值。因此如何合成離散點處的函數(shù)值是模糊模擬的關(guān)鍵。本文借鑒模糊變量期望的模擬方法，對離散點處的函數(shù)值進(jìn)行加權(quán)和運算，獲取成功概率p。由定義3可知，隸屬函數(shù)是可能性的度量，本文根據(jù)各離散點的隸屬度對其函數(shù)值賦權(quán)，把各離散點的隸屬度做歸一化處理，設(shè)置為各離散點的權(quán)重，具體流程如圖3所示。

下面通過一個簡例說明本算法思路。如圖2所示，混合不確定指標(biāo)及時性的系統(tǒng)范圍是概率密度函數(shù)為f（x）的隨機(jī)變量（如圖2b），設(shè)計范圍是“很快”、“快”或“一般”。根據(jù)式（3），指標(biāo)的成功概率p是上界為模糊數(shù)的積分，其中dru是“一般”，其α-水平截集為（0，48）h，α=0。為采用模糊模擬的方法計算p值，在α-水平截集中取一系列離散點，為方便說明，此例中僅取x1，x2和x3三個點，如圖2c所示，對應(yīng)的隸屬度分別為μ（x1），μ（x2）和μ（x3），成功概率分別為。此三點處函數(shù)值（成功概率p1，p2，p3）的權(quán)重為隸屬度的歸一化值，。指標(biāo)的成功概率p為各離散點處函數(shù)值的加權(quán)和。因此“服務(wù)及時性”這一指標(biāo)的信息量為I=

混合不確定條件下，成本型和效益型指標(biāo)公共范圍的上下界中只有一個是模糊變量，固定型指標(biāo)公共范圍的上下界都是模糊變量，如圖4所示。以成本型指標(biāo)為例，說明混合不確定指標(biāo)公共范圍的特點。如圖4a所示，由于公共范圍的上界是模糊變量，圖中斜線所示區(qū)域為公共范圍的模糊邊界，這部分公共范圍的計算難以采用傳統(tǒng)的信息量計算公式。同理，效益型指標(biāo)和固定型指標(biāo)的信息量計算方法也需重新設(shè)計。

2.2 成本型和效益型混合不確定指標(biāo)信息量算法流程

步驟1 確定系統(tǒng)范圍的概率分布函數(shù)f（x）。

步驟3 在區(qū)間［a，c］中取一系列均勻分布的離散點xi，其中i=1，2，…，M，M為一個足夠大的數(shù)（一般M≥100）。

步驟4 計算各離散點xi的隸屬度μ（xi）及此處函數(shù)值的權(quán)重wi，

步驟5 計算各離散點處的成功概率

步驟6 計算此指標(biāo)成功概率p和信息量I：

2.3 固定型混合不確定指標(biāo)信息量算法流程

步驟1 確定隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)f（x）。

步驟3 分別在區(qū)間［a1，c1］，［a2，c2］中隨機(jī)取一系列離散點，其中i=1，2，…，M，j=1，2，…，M，并使，得到M組區(qū)間

步驟5 計算隨機(jī)變量成功的概率，以M個區(qū)間的加權(quán)概率之和的形式表示為

步驟6 計算隨機(jī)變量的信息量

3 實例

3.1 混合不確定條件下基于信息公理的評價

某著名工程機(jī)械企業(yè)在新型號起重機(jī)產(chǎn)品服務(wù)系統(tǒng)方案的研發(fā)過程中，確定了5個可行的方案a1，a2，a3，a4，a5。針對這些方案，用所提方法進(jìn)行評價優(yōu)選。

步驟1 確定起重機(jī)產(chǎn)品服務(wù)系統(tǒng)的評價指標(biāo)，即概念方案設(shè)計階段定義的功能需求（如表2）。其中維修效率、維修成本、維修及時性是混合不確定指標(biāo)。

步驟2 確定評價指標(biāo)的設(shè)計范圍和系統(tǒng)范圍。設(shè)計范圍由決策者根據(jù)用戶的需求確定（如表2），設(shè)計范圍的評價術(shù)語集和隸屬度函數(shù)如圖5所示，其中圖5c的橫坐標(biāo)是維修的費用與產(chǎn)品成本的百分比。

系統(tǒng)范圍一般由專家根據(jù)經(jīng)驗、知識和歷史數(shù)據(jù)等進(jìn)行統(tǒng)計分析獲得。在多數(shù)情況下，對數(shù)正態(tài)分布是應(yīng)予使用的最佳分布［20］。因此本案例采用對數(shù)正態(tài)分布描述c6，c7，c8，其值的對數(shù)值滿足正態(tài)分布N（u，σ）。也可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)或?qū)＜医?jīng)驗選擇其他分布。表3列出了各方案中每個指標(biāo)的系統(tǒng)范圍。

表2 評價指標(biāo)及其設(shè)計范圍

表3 各方案中每個指標(biāo)的系統(tǒng)范圍

步驟3 計算每個方案ak的每個指標(biāo)的信息量

根據(jù)傳統(tǒng)信息公理計算c1，c2和c3的信息量，根據(jù)模糊信息公理（如表1）計算c4和c5的信息量，根據(jù)2.3節(jié)提出的混合不確定指標(biāo)算法，計算c6，c7和c8的信息量，結(jié)果分別如表4～表6所示。

表4 c1，c2和c3的信息量

續(xù)表4

表5 c4和c5的信息量

續(xù)表5

步驟4 計算每個方案ak的信息量，將所有指標(biāo)的信息量相加得到該方案的信息量，結(jié)果如表7所示。

表6 c6，c7和c8的信息量

表7 各方案信息量

按信息量從小到大排序（如表7），a5＞a1＞a3＞a4＞a2，方案a5的信息量最小，是最佳的起重機(jī)產(chǎn)品服務(wù)系統(tǒng)方案。

3.2 基于傳統(tǒng)信息公理的評價

為了驗證所提方法的有效性和優(yōu)越性，現(xiàn)將該方法與傳統(tǒng)的信息公理設(shè)計方法進(jìn)行比較。c1～c5的信息量計算方法與3.1節(jié)相同。其中c1，c2和c3按照傳統(tǒng)的信息公理計算，c4和c5按照模糊信息公理計算。傳統(tǒng)的信息公理不考慮隨機(jī)性指標(biāo)的模糊性，因此c6，c7，c8的設(shè)計范圍是精確區(qū)間，分別為［0，51.5］h，［0，1.5］%和［0，34.0］h。其信息量的計算結(jié)果如表8所示，各方案的信息量及排序如表9所示。

表8 傳統(tǒng)的信息公理中c6，c7，c8的信息量

表9 傳統(tǒng)的信息公理中各方案的信息量

由表9可知，傳統(tǒng)信息公理的排序a5＞a3＞a1＞a4＞a2與本文所提方法的排序結(jié)果略有不同（a3與a1的次序不同）。由于所提方法對系統(tǒng)范圍為隨機(jī)變量的評價指標(biāo)，采用模糊數(shù)描述其設(shè)計范圍，能更有效地表達(dá)實際評價過程中決策者的意圖。而傳統(tǒng)的信息公理將這些指標(biāo)的設(shè)計范圍表示成定量的數(shù)值，沒有考慮評價值的模糊性，造成某些信息丟失，使計算結(jié)果不夠準(zhǔn)確。因此，本文提出的方法更有效、實用。

4 結(jié)束語

本文針對方案評價中存在模糊和隨機(jī)兩種不確定因素的特點，提出混合不確定條件下基于信息公理的方案評價方法，構(gòu)建了以隨機(jī)和模糊變量分別表達(dá)系統(tǒng)和設(shè)計范圍的混合不確定性指標(biāo)模型，針對成本型、效益型和固定型指標(biāo)，采用模糊模擬方法分別提出信息量的計算方法。以起重機(jī)產(chǎn)品服務(wù)系統(tǒng)方案評價為例，驗證了所提方法的可行性和有效性。本文的主要貢獻(xiàn)在于：

（1）拓展了信息公理的應(yīng)用范圍，提出以隨機(jī)變量表示系統(tǒng)范圍、以模糊變量表示設(shè)計范圍的混合不確定性處理方法，對同時具有模糊性和隨機(jī)性因素的方案評價具有重要的參考價值。

（2）提出了混合不確定條件下評價指標(biāo)信息量的計算方法，分別針對成本型、效益型和固定型指標(biāo)，采用模糊模擬方法提出其信息量的算法，將上界和下界為模糊數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為離散點積分的加權(quán)和，通過信息量比較獲得最佳方案。

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