鄭漫慶，王高潮，徐雪峰，喻淼真

（南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌330063）

國(guó)際航空結(jié)構(gòu)材料的設(shè)計(jì)概念正由單純靜強(qiáng)度設(shè)計(jì)向現(xiàn)代的損傷容限設(shè)計(jì)準(zhǔn)則轉(zhuǎn)變［1］，要求鈦合金在具有一定強(qiáng)度水平條件下，同時(shí)具有高的斷裂韌性和低的裂紋擴(kuò)展速率［2，3］，這對(duì)鈦合金提出了更高的要求，從而影響了鈦合金的熱加工工藝方向［4，5］。作為一種新型的損傷容限型鈦合金，TC4－DT合金因其優(yōu)異的綜合力學(xué)性能主要應(yīng)用于飛機(jī)承力構(gòu)件上。研究TC4－DT合金的超塑性變形過(guò)程中的動(dòng)態(tài)再結(jié)晶行為以及本構(gòu)關(guān)系，可以準(zhǔn)確描述TC4－DT合金的流變行為，為該合金超塑成形工藝過(guò)程設(shè)計(jì)和數(shù)值模擬分析提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

本工作采用恒應(yīng)變速率拉伸方法對(duì)TC4－DT合金的動(dòng)態(tài)再結(jié)晶進(jìn)行研究，這是因?yàn)榻饘俨牧蠠嶙冃螘r(shí)所發(fā)生的組織演變決定其成形后的性能，其中，一種重要的組織演變機(jī)制是動(dòng)態(tài)再結(jié)晶。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，可通過(guò)有限元模擬技術(shù)模擬材料在熱變形過(guò)程中的微觀組織演變，以達(dá)到預(yù)測(cè)與控制材料組織的目的［6］。采用有限元軟件模擬材料熱變形組織演變的必要條件之一是建立動(dòng)態(tài)再結(jié)晶動(dòng)力學(xué)模型，從而為科學(xué)地制定TC4－DT合金熱加工工藝提供理論依據(jù)。材料本構(gòu)關(guān)系不僅可以通過(guò)經(jīng)典數(shù)學(xué)模型來(lái)建立［7，8］，也可以通過(guò)回歸軟件來(lái)直接建立，如著名的Origin，SPSS，Matlab及國(guó)產(chǎn)的1stopt軟件，但無(wú)論是通過(guò)經(jīng)典數(shù)學(xué)模型還是直接利用回歸軟件建立本構(gòu)關(guān)系，都存在精度問(wèn)題，而要對(duì)變形過(guò)程做到精確控制，就必須要求所建立的本構(gòu)模型具有足夠的精度，而精度問(wèn)題在構(gòu)建本構(gòu)方程時(shí)不是一次就能保證的，往往需要通過(guò)若干次的修正來(lái)保證，因此本工作在建立本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行了修正。

1 實(shí)驗(yàn)材料與方法

實(shí)驗(yàn)用材料為TC4－DT鈦合金，對(duì)其進(jìn)行能譜測(cè)試，精確測(cè)定其成分（原子分?jǐn)?shù)）為：Ti 90.09%，Al 5.56%，V 4.34%。合金原始晶粒尺寸約為15μm，組織為初生α相和轉(zhuǎn)變?chǔ)孪嗲曳植驾^為均勻［9，10］。

本實(shí)驗(yàn)使用CMT4104電子萬(wàn)能拉伸試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行超塑性拉伸實(shí)驗(yàn)。將TC4－DT合金棒材加工成如圖1所示的拉伸試樣，變形區(qū)域應(yīng)無(wú)裂紋、劃痕等可能影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的缺陷。

圖1 TC4－DT合金超塑性拉伸試樣尺寸Fig.1 The superplastic tensile sample dimension of TC4－DT alloy

恒應(yīng)變速率超塑性拉伸實(shí)驗(yàn)：在870℃下，應(yīng)變速率為3.3×10－4s－1。

應(yīng)變速率循環(huán)超塑性拉伸實(shí)驗(yàn)：在850～890℃下，應(yīng)變速率循環(huán)范圍為3.3×10－5～3.3×10－3s－1。

2 動(dòng)態(tài)再結(jié)晶動(dòng)力學(xué)模型

恒應(yīng)變速率法的應(yīng)力－應(yīng)變曲線如圖2所示，表現(xiàn)為三個(gè)階段：初始階段為加工硬化階段；當(dāng)應(yīng)變超過(guò)臨界應(yīng)變時(shí)，材料開始出現(xiàn)動(dòng)態(tài)再結(jié)晶，硬化率下降；當(dāng)動(dòng)態(tài)再結(jié)晶造成的軟化與應(yīng)變硬化達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，進(jìn)入穩(wěn)定再結(jié)晶階段，流變應(yīng)力趨于恒定［11，12］。

圖2 恒應(yīng)變速率法的應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.2 Stress－strain curve of the constant strain rate method

本工作采用經(jīng)典的Avrami方程來(lái)描述TC4－DT合金的動(dòng)態(tài)再結(jié)晶動(dòng)力學(xué)模型［13］，動(dòng)態(tài)再結(jié)晶的體積分?jǐn)?shù)Xd與應(yīng)變?chǔ)胖g的關(guān)系可以表示為：

式中：εc為發(fā)生再結(jié)晶的臨界應(yīng)變；εp為發(fā)生再結(jié)晶的峰值應(yīng)變；βd，kd均為與材料有關(guān)的系數(shù)。

根據(jù)應(yīng)力－應(yīng)變曲線來(lái)確定Xd：

式中：σde為動(dòng)態(tài)回復(fù)過(guò)程中的瞬態(tài)應(yīng)力；σdes為動(dòng)態(tài)回復(fù)過(guò)程中的穩(wěn)態(tài)應(yīng)力；σdx為動(dòng)態(tài)再結(jié)晶過(guò)程中的瞬態(tài)應(yīng)力；σdxs為動(dòng)態(tài)再結(jié)晶過(guò)程中的穩(wěn)態(tài)應(yīng)力。

采用峰值應(yīng)力近似地代替σde和σdes，則式（3）可表示為：

由式（1）推導(dǎo)可得：

通過(guò)繪制ln［－ln（1－Xd）］與ln［（ε－εc）／εp］的曲線，并利用Origin軟件進(jìn)行擬合，便可求得kd與lnβd的值，如圖3所示。

圖3 ln［－ln（1 －Xd ）］與ln［（ε－εc ）／εp］的關(guān)系曲線Fig.3 The curve of ln［－ln（1 －Xd）］and ln［（ε－εc）／εp］

由圖3擬合出的公式為：Y＝A＋BX，其中：A＝－2.60208，B＝1.42114，該公式的精度R＝0.98137。計(jì)算 得：kd＝1.42114，βd＝exp（－2.60208）＝0.07412。

所以該動(dòng)態(tài)再結(jié)晶動(dòng)力學(xué)方程為：

3 本構(gòu)模型的建立與修正

3.1 Arrhenius型方程的建立與檢驗(yàn)

反映材料動(dòng)態(tài)特性的本構(gòu)關(guān)系可能因?yàn)椴牧系牟煌嬖谳^大的差異，即使是同一種材料，也可能因?yàn)椴煌哪康牟煌男枨蠖⒉煌问降谋緲?gòu)關(guān)系。常用Arrhenius型方程一般有三種形式：

根據(jù)Arrhenius型方程中流動(dòng)應(yīng)力的表現(xiàn)形式，式（7）～（9）分別稱為指數(shù)方程、冪函數(shù)方程與雙曲正弦方程。其中：Q為變形激活能（J／mol）；R為氣體常數(shù)（J／（mol·K））；T為絕對(duì)溫度（K）；A1，A2，A3和α為常數(shù)；β，n1，n為與應(yīng)變速率敏感性因子有關(guān)的參數(shù)。

由式（7）～（9）兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后整理可得統(tǒng)一形式：

式中：f（σ）可分別表示σ，ln（σ）和ln［sinh（ασ）］。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算［14，15］可最后求得不同溫度下的β與n1及計(jì)算所得的α值如表1所示。

表1 不同溫度下的β，n1與α值Table1 The values ofβ，n1andαat different temperatures

由表1數(shù)據(jù)可得α的平均值為0.019570MPa－1。

應(yīng)用雙曲正弦型Arrhenius方程對(duì)TC4－DT合金進(jìn)行適用性分析時(shí)，均采用α的平均值進(jìn)行計(jì)算。由Arrhenius雙曲正弦型方程可推導(dǎo)出變形激活能的表達(dá)式為：

通過(guò)計(jì)算可求得各溫度下的n，k值及l(fā)nA值如表2所示。由表2計(jì)算激活能Q＝Rnk＝171.9kJ／mol。

由式（9）可得：

表2 各溫度下的n，k值及計(jì)算所得的lnA值Table2 The values of n，kand lnAat different temperatures

代入表2相關(guān)的值可得TC4－DT合金在兩相區(qū)超塑性拉伸的本構(gòu)方程為：

通過(guò)計(jì)算，在用于構(gòu)建本構(gòu)方程的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)中，誤差小于15%的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)占總數(shù)據(jù)點(diǎn)的74%，誤差小于10%的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)占總數(shù)據(jù)點(diǎn)的51%。圖4為所構(gòu)建本構(gòu)方程的誤差精度效果圖，圖4中兩條直線組成的楔形帶為滿足相對(duì)誤差小于和等于15%的誤差帶，中間一條直線上的點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值相等的點(diǎn)。從圖4可以看出，相當(dāng)一部分點(diǎn)落在15%的誤差帶外。

圖4 計(jì)算應(yīng)力與實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分散圖Fig.4 The scatter diagram of calculated stress and experimental stress

以上分析表明，所構(gòu)建本構(gòu)方程的精度不足，需對(duì)現(xiàn)有的本構(gòu)方程加以修正。

3.2 本構(gòu)模型的修正與檢驗(yàn)

以上述本構(gòu)方程求得的σcalc及溫度T為自變量，以σexp為因變量，可借助國(guó)產(chǎn)1stopt軟件進(jìn)行二元非線性回歸，獲得的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果如圖5所示。

圖5（a）為利用1stopt軟件進(jìn)行二元非線性回歸擬合后的X－Y散點(diǎn)圖，各點(diǎn)與對(duì)角線的垂直距離表示修正后的誤差，即σcor與σexp的偏差，落在對(duì)角線上的點(diǎn)表示σcor與σexp相等的點(diǎn)。圖5（b）為利用1stopt軟件進(jìn)行二元非線性回歸擬合后的雙線圖，其中，藍(lán)色曲線表示σexp曲線，紅色曲線表示σcor曲線，紅色曲線與藍(lán)色曲線的偏差即表示σcor與σexp的偏差。

擬合出的方程如式（16）所示，精度R2＝0.9990。

圖5 應(yīng)變速率循環(huán)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合圖形（a）X－Y散點(diǎn)圖；（b）雙線圖Fig.5 The experimental data fitting graphs（a）X－Yscatter plot；（b）double figure

其中：σcalc＝arsinh［（ε·exp（171.9／RT ＋7.97））1／1.11］／0.0196。

所得的回歸系數(shù)見表3。

表3 修正后方程的回歸系數(shù)Table3 The regression coefficient of corrected equation

通過(guò)計(jì)算，在用于構(gòu)建本構(gòu)方程的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)中，誤差小于15%的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)占總數(shù)據(jù)點(diǎn)的99.8%，誤差小于10%的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)占總數(shù)據(jù)點(diǎn)的95.5%。圖6為修正本構(gòu)方程后的誤差精度效果圖，圖中兩條直線組成的楔形帶為滿足相對(duì)誤差小于和等于15%的誤差帶，中間一條直線上的點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值相等的點(diǎn)。從圖6可以看出，幾乎所有點(diǎn)落在15%的誤差帶內(nèi)。以上檢驗(yàn)表明，所構(gòu)建的本構(gòu)方程的精度較高。

圖7為不同溫度下所構(gòu)建的本構(gòu)方程求出的流動(dòng)應(yīng)力計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的比較圖。可以看出根據(jù)所構(gòu)建的本構(gòu)方程計(jì)算所得的流動(dòng)應(yīng)力值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合程度較好。

以上的誤差分析表明，構(gòu)建的TC4－DT合金的本構(gòu)方程有較高的精度，且具有普遍適用性，可用于實(shí)際熱加工過(guò)程的變形抗力計(jì)算，也可作為有限元模擬的本構(gòu)方程。

圖6 修正后計(jì)算應(yīng)力與實(shí)驗(yàn)應(yīng)力散點(diǎn)圖Fig.6 The scatter diagram of calculated stress and the experimental stress after correction

4 結(jié)論

（1）在超塑性變形過(guò)程中存在動(dòng)態(tài)回復(fù)與動(dòng)態(tài)再結(jié)晶現(xiàn)象，采用Avrami方程描述了動(dòng)態(tài)再結(jié)晶動(dòng)力學(xué)行為，在870℃，應(yīng)變速率為3.3×10－4s－1時(shí)合金的再結(jié)晶體積分?jǐn)?shù)為：Xd＝1－exp［－0.0741

圖7 不同溫度下流動(dòng)應(yīng)力計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值比較（a）850℃；（b）870℃；（c）890℃Fig.7 The comparison ofσcalcandσexpat different temperatures（a）850℃；（b）870℃；（c）890℃

（2）采用逐步回歸、逐步修正的方法，即利用經(jīng)典模型Arrhenius方程獲得了本構(gòu)關(guān)系后，把方程左邊的因變量即σcalc作為自變量，再加一個(gè)溫度T或1／T的調(diào)節(jié)變量作為自變量，而將實(shí)驗(yàn)所得σexp作為因變量，通過(guò)1stopt軟件在程序中自動(dòng)查找擬合，可使本構(gòu)關(guān)系得到修正，修正后本構(gòu)方程的精度可達(dá)99.9%。

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