沈佳杰，江 紅，王 肅

（華東師范大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，上海200241）

0 引 言

差分進(jìn)化算 法 （differential evolution，DE）是 由D.Storn和K.Price在1995年共同提出的一個(gè)在連續(xù)空間內(nèi)啟發(fā)式搜索的隨機(jī)算法［1，2］。由于其優(yōu)良的可擴(kuò)展性和通用性，已經(jīng)廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。但是標(biāo)準(zhǔn)的差分進(jìn)化算法依然存在很多問(wèn)題，如早熟和對(duì)于在高維多峰函數(shù)條件下難以找到全局最優(yōu)值等等。對(duì)于這一些問(wèn)題已提出了很多新的解決辦法，如增加新的算子、混合算法等等，對(duì)于差分進(jìn)化算法存在的問(wèn)題和對(duì)于問(wèn)題相應(yīng)的改進(jìn)可以參考文獻(xiàn) ［3，4］。

本文針對(duì)差分進(jìn)化算法在高維函數(shù)上易早熟和難以找到全局最優(yōu)值的問(wèn)題，提出一個(gè)基于自適應(yīng)縮放比例因子改進(jìn)的差分進(jìn)化算法，通過(guò)理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)證明了改進(jìn)的基于自適應(yīng)縮放比例因子差分進(jìn)化算法可以有效地減少算法在高維多峰環(huán)境下的迭代步驟數(shù)以及更好的找到目標(biāo)問(wèn)題的全局最優(yōu)值。

1 標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法

1.1 差分進(jìn)化算法簡(jiǎn)介

差分進(jìn)化算法是基于群體智能的進(jìn)化算法，其主要的操作有變異操作、交叉操作和選擇操作，通過(guò)這3種不同操作，標(biāo)準(zhǔn)的差分進(jìn)化算法［1，2］可以高效地找出函數(shù)的最優(yōu)值，其主要定義如下：

個(gè)體種群由N個(gè)獨(dú)立的個(gè)體組成，記為

式中：N——種群數(shù)。

每一個(gè)個(gè)體是一個(gè)D維向量，記為

式中：D——問(wèn)題維數(shù)。

類似于遺傳算法，需要通過(guò)差分進(jìn)化算法中的變異、交叉和選擇操作對(duì)種群進(jìn)行變換，從而找出最優(yōu)值點(diǎn)。

1.1.1 變異操作

變異操作的主要作用是對(duì)于不同個(gè)體進(jìn)行差分變換，從而產(chǎn)生新的變異個(gè)體。變異公式如下

新的變異個(gè)體Vi由3個(gè)不同的個(gè)體通過(guò)式 （3）計(jì)算而得。

1.1.2 交叉操作

交叉操作的主要作用是生成的實(shí)驗(yàn)個(gè)體與原個(gè)體進(jìn)行交叉操作，從而生成新的變異個(gè)體。交叉操作如下

式中：rand（0，1）為 ［0，1］之間隨機(jī)數(shù)，CR 為交叉概率其取值在 ［0，1］之間，rnbr（i）是指第i個(gè)個(gè)體的向量標(biāo)號(hào)。

如式 （4）所示，交叉操作的本質(zhì)是將變異個(gè)體與原個(gè)體在各個(gè)維度向量上以一定的概率進(jìn)行交叉，生成新的實(shí)驗(yàn)個(gè)體ui。

1.1.3 選擇操作

選擇操作的主要作用是在個(gè)體進(jìn)入下一步迭代時(shí)，在現(xiàn)在個(gè)體和實(shí)驗(yàn)個(gè)體中選擇一個(gè)適應(yīng)度較高的個(gè)體生成下一代的種群。選擇操作如式 （5）所示

如式 （5）所示，當(dāng)改進(jìn)實(shí)驗(yàn)個(gè)體的適應(yīng)度大于原來(lái)個(gè)體適應(yīng)度值，則采用改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)個(gè)體，其它情況下采用原來(lái)個(gè)體。

1.2 標(biāo)準(zhǔn)差分算法步驟

標(biāo)準(zhǔn)差分算法步驟如下：

步驟1 初始化種群X0進(jìn)入差分進(jìn)化算法，確定CR，將迭代步數(shù)t設(shè)為1，同時(shí)設(shè)定最大迭代步數(shù)tmax。

步驟2 調(diào)用變異操作。通過(guò)式 （3），計(jì)算所有個(gè)體的變異個(gè)體。

步驟3 調(diào)用交叉操作。通過(guò)式 （4），生成所有個(gè)體的實(shí)驗(yàn)個(gè)體。

步驟4 調(diào)用選擇操作。通過(guò)式 （5），判斷生成的實(shí)驗(yàn)個(gè)體是否比現(xiàn)存?zhèn)€體的適應(yīng)度高，如果適應(yīng)度高于現(xiàn)存?zhèn)€體，則讓實(shí)驗(yàn)個(gè)體替當(dāng)前個(gè)體；否則，保留，生成下一代。

步驟5 判斷是否已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)值或迭代步驟數(shù)是已經(jīng)超過(guò)最大迭代步驟數(shù)，如果是，轉(zhuǎn)向步驟6；否則轉(zhuǎn)向步驟2。

步驟6 輸出最優(yōu)值點(diǎn)。

1.3 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差分算法的改進(jìn)

從標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法可以看出，標(biāo)準(zhǔn)的CR是一定的，極易造成差分進(jìn)化算法的早熟，所以部分文獻(xiàn)針對(duì)于這個(gè)問(wèn)題提出改進(jìn)CR的計(jì)算方法［5，6］。文獻(xiàn) ［5］中將CR的計(jì)算方法改為

式中：g——當(dāng)前算法的步驟數(shù)，G——算法整體的迭代步驟上限，CRmin——變異值的最小值，CRmax——變異值的最大值。

其最大的優(yōu)點(diǎn)是在算法開始時(shí)，盡量關(guān)注全局范圍的變異情況，而在算法接近于收斂的時(shí)候，更加關(guān)注局部的收斂情況，形成二次變異差分進(jìn)化算法。

除此之外，許多文獻(xiàn)還對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法進(jìn)行了其它方面的改進(jìn)，如對(duì)差分進(jìn)化算法交叉和變異操作的改進(jìn)［7，8］，對(duì)編碼進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)［9］、對(duì)個(gè)體進(jìn)行排序以提高算法效率［10］、利用信息論中熵的概念提高算法效率［11］，以及對(duì)多目標(biāo)問(wèn)題使用差分進(jìn)化算法的求解，如使用不同的理論對(duì) 進(jìn)化算法進(jìn)行改進(jìn)［12，13］、 進(jìn)化算法綜述［14，15］和對(duì)多目標(biāo)差分算法收斂性的討論［16］。

2 改進(jìn)的差分進(jìn)化算法

2.1 假設(shè)和定義

本文中改進(jìn)的差分進(jìn)化算法的假設(shè)和定義如下：

假設(shè)1：個(gè)體適應(yīng)度為正數(shù)，其隨著個(gè)體對(duì)于環(huán)境適應(yīng)能力的增強(qiáng)而變大，即需要將問(wèn)題歸一為正數(shù)最大值問(wèn)題。

假設(shè)2：多峰函數(shù)是連續(xù)的且最優(yōu)值點(diǎn)存在且可以被找到。

假設(shè)3：多峰函數(shù)每一維變量是獨(dú)立的影響函數(shù)的取值。

定義1 整個(gè)種群適應(yīng)度的方差稱為適應(yīng)度方差，記為

式中：fi——當(dāng)前個(gè)體的適應(yīng)度，favg——平均適應(yīng)度，N——種群數(shù)。δ2的值越大，說(shuō)明種群越分散，對(duì)于隨機(jī)搜索越有利；反之，δ2的值越小，說(shuō)明種群越集中。

定義2 種群整體集中程度反比于種群的方差，稱為早熟比例基數(shù)，記為

式中：f——一個(gè)比例系數(shù)。

定義3 個(gè)體的適應(yīng)度相對(duì)于最大適應(yīng)度和最小適應(yīng)度歸一化的值，稱為歸一化適應(yīng)度，記為

定義4 早熟比例基數(shù)與歸一化適應(yīng)度的乘積稱為個(gè)體的健康值，記為Hi＝Fsimi＊Kbase（10）

當(dāng)個(gè)體的健康值大于某個(gè)閾值，則此個(gè)體稱為優(yōu)勢(shì)個(gè)體；當(dāng)個(gè)體的健康值小于該閾值，此個(gè)體稱為劣勢(shì)個(gè)體。

根據(jù)以上定義，對(duì)于不同個(gè)體的改進(jìn)，Ki計(jì)算公式如下

式中：a——一個(gè)系數(shù)，rand（0，1）為 （0，1）之間的隨機(jī)數(shù)，Kmin為在健康度較低條件下的K的低維比例因子，Kmax為在健康度較高條件下的K的高維比例因子。

定義5 對(duì)于函數(shù)極值點(diǎn)的第i極值點(diǎn)中第j維存在一個(gè)領(lǐng)域，使得在對(duì)于每一個(gè)個(gè)體的進(jìn)行一次小于比例因子Kminij的變異、交叉和選擇后，落在整個(gè)領(lǐng)域外的實(shí)驗(yàn)個(gè)體的適應(yīng)度值小于原來(lái)個(gè)體的值，領(lǐng)域叫做Kminij步長(zhǎng)最極值領(lǐng)域。在極值點(diǎn)比例系數(shù)中最小的比例系數(shù)稱為這極值點(diǎn)的最小比例系數(shù)，記為Kmini，所有極值點(diǎn)最小比例系數(shù)Kmini的最小值稱為最小比例系數(shù)，記為Kmin。

2.2 改進(jìn)差分進(jìn)化算法的步驟

本文中改進(jìn)的差分進(jìn)化算法的算法步驟如下：

步驟1 初始化種群X0進(jìn)入差分進(jìn)化算法，確定CR，將迭代步數(shù)T設(shè)為1，同時(shí)設(shè)定最大迭代步數(shù)Tmax。

步驟2 根據(jù)式 （7）和式 （8），以及現(xiàn)在的迭代步數(shù)T和適應(yīng)度，計(jì)算δ2、比例基值Kbase。

步驟3 根據(jù)式 （9）、式 （10）確定本個(gè)體的健康值Hi，根據(jù)式 （11）計(jì)算當(dāng)前個(gè)體的Ki。

步驟4 根據(jù)式 （3）調(diào)用變異操作，計(jì)算變異個(gè)體。

步驟5 根據(jù)式 （4）和CR進(jìn)行交叉操作，計(jì)算得到實(shí)驗(yàn)個(gè)體。

步驟6 根據(jù)式 （5），調(diào)用選擇操作生成下一代個(gè)體，檢查是否所有的個(gè)體都完成了迭代。如果還有個(gè)體未完成迭代，回到步驟3。

步驟7 判斷是否已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)值或迭代步驟數(shù)已經(jīng)超過(guò)最大迭代步驟數(shù)，如果是轉(zhuǎn)向步驟8，否則轉(zhuǎn)向步驟2。

步驟8 輸出最優(yōu)值點(diǎn)。

2.3 算法性質(zhì)及其定理證明

本文中改進(jìn)的差分進(jìn)化算法的性質(zhì)及其定理證明如下：

定理1 當(dāng)所有的個(gè)體每一維分量都落在極值而不是最優(yōu)值的Kminij步長(zhǎng)最極值領(lǐng)域，且算法的比例系數(shù)值小于對(duì)應(yīng)的最小比例系數(shù)值，即K＜Kmin時(shí)，則標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法無(wú)法找到最優(yōu)值點(diǎn)。

證明：假設(shè)原先個(gè)體為的個(gè)體編號(hào)是r0，而隨機(jī)選中的個(gè)體的編號(hào)為r1、r2和r3，所以對(duì)于t＋1步實(shí)驗(yàn)個(gè)體有以下組成

其中K≤Kmin，xr0j表示r0的第j維的分量，xr1j表示r1的第j維的分量、xr2j表示r2的第j維的分量、xr3j表示r3的第j維的分量。

對(duì)于式 （13），由于實(shí)驗(yàn)個(gè)體中的分量相較于上一步的個(gè)體分量沒有發(fā)生變化，所以只需要討論式 （12）。對(duì)于t＋1步的迭代，對(duì)于每一個(gè)個(gè)體的每一維變量有以下兩種可能：

（1）下一步迭代時(shí)跳出r1的最極值領(lǐng)域內(nèi)

由于所有的個(gè)體每一維都在極值而不是最值的Kminij步長(zhǎng)最極值領(lǐng)域內(nèi)且差分進(jìn)化算法的比例系數(shù)小于最小比例系數(shù) （即K＜Kmin），所以這一維變量的改變必然導(dǎo)致個(gè)體適應(yīng)度值的變小。又因?yàn)槎喾搴瘮?shù)每一維變量是獨(dú)立的影響函數(shù)，所以產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)個(gè)體必然小于原個(gè)體的適應(yīng)度值，在選擇步驟中必然會(huì)選擇原個(gè)體，而不是變異個(gè)體。

（2）下一步依然在r1的最極值領(lǐng)域內(nèi)

由于所有的個(gè)體的每一維分量都在極值而不是最優(yōu)值的Kminij步長(zhǎng)最極值領(lǐng)域，所以迭代后的個(gè)體也一定不在最優(yōu)值的Kminij步長(zhǎng)最極值領(lǐng)域內(nèi)，因此不會(huì)達(dá)到最優(yōu)值。

綜上所述，原命題成立。

推論1 當(dāng)多維函數(shù)的維數(shù)和函數(shù)極值點(diǎn)足夠多時(shí)，傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法很難找到全局最優(yōu)值點(diǎn)。

證明：隨著函數(shù)維數(shù)和局部極值點(diǎn)的增多，陷入局部極值點(diǎn)的概率將增大，所以隨著函數(shù)維數(shù)和局部極值點(diǎn)增多其越難找到全局最優(yōu)值點(diǎn)。

定理1與推論1說(shuō)明了標(biāo)準(zhǔn)的差分進(jìn)化算法在多峰函數(shù)條件下，如果比例系數(shù)值選擇過(guò)小，則較容易發(fā)生早熟現(xiàn)象，即過(guò)早進(jìn)入找到局部最優(yōu)值的搜索而忽略了全局的最優(yōu)值點(diǎn)，而如果比例因子取得太大的話，又會(huì)因?yàn)槠涞缍忍螅焕谧顑?yōu)值點(diǎn)的局部搜索。

定理2 如果高維比例因子足夠大，在迭代步驟數(shù)足夠多的情況下，改進(jìn)差分進(jìn)化算法可以找到最優(yōu)值。

證明：由于迭代步驟足夠多，那么當(dāng)陷入局部極值的個(gè)體必然有n步迭代進(jìn)入式 （11）中高維部分，又因?yàn)楦呔S的步長(zhǎng)足夠長(zhǎng)，所以必然存在個(gè)體高維的迭代可以跳出局部極值。而與此同時(shí)在最優(yōu)值周圍的個(gè)體，由于迭代步驟足夠多，必然存在個(gè)體通過(guò)式 （11）的低維搜索找到最優(yōu)值。

所以改進(jìn)差分進(jìn)化算法可以在迭代步驟數(shù)足夠多的情況下找到最優(yōu)值。

3 實(shí) 驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)是在MATLAB2010b環(huán)境下進(jìn)行測(cè)試，本文選擇表1所示的5個(gè)函數(shù)作為本實(shí)驗(yàn)的測(cè)試函數(shù)，其中測(cè)試函數(shù)1～5的性質(zhì)各不相同：函數(shù)1、函數(shù)4和函數(shù)5是多峰函數(shù)，函數(shù)2和函數(shù)3為單峰函數(shù)。在實(shí)驗(yàn)中分別對(duì)于低維數(shù)據(jù) （2，2，2，3，3）和高維數(shù)據(jù) （2，15，10，10，15）各自獨(dú)立進(jìn)行10次實(shí)驗(yàn)，分別對(duì)10次試驗(yàn)迭代次數(shù)的最大值、最小值和平均值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

表1 模擬使用的測(cè)試函數(shù)

為了減少CR對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，實(shí)驗(yàn)中采用規(guī)定CR為常數(shù)的方法。表2是在低維 （2，2，2，3，3）情況下標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法和改進(jìn)后的差分進(jìn)化算法迭代步驟數(shù)的對(duì)比，表3是在高維 （2，15，10，10，15）情況下標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法和改進(jìn)后的差分進(jìn)化算法迭代步驟數(shù)的對(duì)比。

其中SDE代表標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法，IDE代表本文中的差分進(jìn)化算法。

由表2可知，改進(jìn)差分進(jìn)化算法相較于傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法沒有明顯的改進(jìn)，在某些函數(shù)上，甚至有時(shí)性能還低于標(biāo)準(zhǔn)的差分進(jìn)化算法，其主要原因是改進(jìn)的差分進(jìn)化算法為了提高對(duì)于全局最優(yōu)值的查找能力，進(jìn)行了不必要的高維搜索。由表3可知，隨著測(cè)試函數(shù)維度的增加，在多維函數(shù)4和函數(shù)5中改進(jìn)差分進(jìn)化算法其達(dá)標(biāo)時(shí)的迭代次數(shù)相較傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法明顯減少，甚至在函數(shù)4中，在交叉概率CR為0.2的情況下，有1000次無(wú)法迭代出結(jié)果的情況，而改進(jìn)的差分進(jìn)化算法依然可以在最多343步下找到函數(shù)的達(dá)標(biāo)值點(diǎn)，這符合推論1和定理2。

圖1 顯示了迭代結(jié)束時(shí)傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法和改進(jìn)差分進(jìn)化算法在算法終止時(shí)，高維和低維不同環(huán)境下，對(duì)于5個(gè)實(shí)驗(yàn)中的測(cè)試函數(shù)的平均最小值。

表2 對(duì)于第一組維數(shù) （2，2，2，3，3）其優(yōu)化結(jié)果前后迭代步數(shù)比較

表3 對(duì)于第一組維數(shù) （2，15，10，10，15）其優(yōu)化結(jié)果前后迭代步數(shù)比較

圖1 低維和高維條件下，差分算法平均最小值的比較

從圖1（a）中可以看出，低維的條件下，改進(jìn)差分進(jìn)化算法與傳統(tǒng)方法找到函數(shù)最小值相似，圖1（b）高維條件下，改進(jìn)后的差分進(jìn)化算法的平均最小值小于或等于標(biāo)準(zhǔn)的差分進(jìn)化算法，尤其是在多維函數(shù)4中其平均值相差較大。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文中通過(guò)對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法引入自適應(yīng)的比例因子，提出了一個(gè)基于自適應(yīng)比例算子的改進(jìn)的差分進(jìn)化算法，通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析和理論推導(dǎo)證明改進(jìn)的差分進(jìn)化算法較傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法在高維多峰函數(shù)環(huán)境下，可以有效地提高算法對(duì)于全局最優(yōu)值點(diǎn)的查找能力以及減少差分進(jìn)化算法的迭代步驟數(shù)，但是由于本文中對(duì)于改進(jìn)的差分進(jìn)化算法的實(shí)驗(yàn)數(shù)量有限，是否可以找出一個(gè)即可以不依賴于函數(shù)先驗(yàn)知識(shí)的通用比例因子的計(jì)算方法，依然是值得研究的問(wèn)題。

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