張 煜，容芷君，馬 杰

（1.武漢理工大學(xué) 物流工程學(xué)院，湖北 武漢 430063；2.武漢理工大學(xué) 智能運(yùn)輸系統(tǒng)研究中心，湖北 武漢 430063；3.武漢科技大學(xué) 機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，湖北 武漢 430081）

0 引言

有堵塞的混合流水車(chē)間（Hybrid Flow Shop with Blocking，HFS-B）問(wèn)題在鋼鐵、石油化工、港口等流程工業(yè)中廣泛存在。在港口中，單裝或單卸的集裝箱作業(yè)系統(tǒng)常被描述為3階HFS-B 問(wèn)題。例如：Chen等使用禁忌算法（Tabu Search，TS）解決單裝或單卸的集裝箱作業(yè)系統(tǒng)中無(wú)緩沖的3 階HFS-B問(wèn)題［1］；Zeng 等使用仿真優(yōu)化的方法求解出口箱作業(yè)的3階HFS-B問(wèn)題［2］；梁 亮 等 使 用Johnson規(guī)則構(gòu)造啟發(fā)式算法求解文獻(xiàn)［1］的案例［3］。以上文獻(xiàn)將集裝箱作業(yè)系統(tǒng)的前沿操作、水平輸送和堆場(chǎng)操作映射為HFS-B的3個(gè)階段，每個(gè)階段的機(jī)器集合分別為岸橋、集卡和場(chǎng)橋集合。

近年來(lái)，雙40 岸橋（tandem-40quay crane）在我國(guó)各大海港廣泛使用，能夠一次同時(shí)裝或卸2個(gè)40英尺集裝箱，要求兩個(gè)集卡與其協(xié)同配合，具有批處理機(jī)的特點(diǎn)。而邊裝邊卸（dual cycle）工藝［4］需要岸橋交替處理進(jìn)口箱和出口箱任務(wù)，即設(shè)備要交替處理兩種流向的工件族。因此，文獻(xiàn)［1-3］提出的3階HFS-B 模型無(wú)法描述當(dāng)前系統(tǒng)所具有的批處理機(jī)和多工件族的特點(diǎn)。對(duì)于帶有批處理機(jī)的HFS-B問(wèn)題，Luo等使用遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）對(duì)冶金行業(yè)中的無(wú)緩沖2階HFS-B 問(wèn)題進(jìn)行求解，第1階由多臺(tái)批處理機(jī)組成，第2階僅有一臺(tái)機(jī)器［5］。對(duì)于帶有多工件族的HFS-B問(wèn)題，F(xiàn)ouad Riane等研究了機(jī)械加工行業(yè)中的一類(lèi)帶有特殊結(jié)構(gòu)的3階HFS問(wèn)題，第1階和第3階各有1臺(tái)機(jī)器，第2階有2臺(tái)專(zhuān)用機(jī)分別處理2種工件族（Job families）［6］。因此，目前還缺乏同時(shí)考慮雙40岸橋和邊裝邊卸工藝的集裝箱作業(yè)系統(tǒng)的建模與優(yōu)化的研究。

由于雙40英尺岸橋和邊裝邊卸工藝的應(yīng)用，導(dǎo)致集裝箱作業(yè)系統(tǒng)的設(shè)備調(diào)度和任務(wù)分配等決策問(wèn)題在固有HFS-B特征的基礎(chǔ)上，又具有批處理機(jī)和多工件族的特點(diǎn)，其決策愈加復(fù)雜。本文結(jié)合以上應(yīng)用背景，將采用雙40岸橋和邊裝邊卸的集裝箱作業(yè)系統(tǒng)描述為具有批處理機(jī)和多工件族的3 階HFS-B問(wèn)題，構(gòu)建了問(wèn)題的混合整數(shù)規(guī)劃模型。由于問(wèn)題的NP特性，精確算法無(wú)法對(duì)港口實(shí)際案例（規(guī)模較大）進(jìn)行快速求解，本文從第2階段的設(shè)備狀態(tài)變遷入手，構(gòu)建協(xié)同算法求解該問(wèn)題。最后，通過(guò)仿真、算法比較和基于下界理論的算法間隙分析，對(duì)協(xié)同算法進(jìn)行評(píng)估和驗(yàn)證。該算法不只適用于港口集裝箱作業(yè)系統(tǒng)，對(duì)其他背景下的HFS-B問(wèn)題也具有一定借鑒意義。

1 問(wèn)題描述

港口集裝箱作業(yè)系統(tǒng)存在2種流向（進(jìn)口和出口箱流）的工件（集裝箱），任意一種流向的工件都經(jīng)歷3個(gè)階段，同流向工件經(jīng)歷的階段相同；對(duì)于任意流向的工件，每個(gè)階段都存在多個(gè)不相關(guān)的并行機(jī)供其選擇；在前沿操作環(huán)節(jié)，并行機(jī)為批處理機(jī)，對(duì)應(yīng)能夠同時(shí)裝或卸2個(gè)40英尺集裝箱的岸橋，即雙40岸橋；對(duì)于任意流向的工件，各個(gè)階段之間沒(méi)有緩沖區(qū)；對(duì)于任意流向工件的第2個(gè)階段，即水平運(yùn)輸，存在與上下游機(jī)器和工件順序相關(guān)的準(zhǔn)備時(shí)間和處理時(shí)間。綜上，將不同流向的集裝箱箱流凝練為2種工件族，給出具有批處理機(jī)和多工件族特征的HFS-B問(wèn)題的描述，如圖1所示。

在圖1 中，帶有批處理機(jī)和多工件族特征的HFS-B問(wèn)題具有以下特征：①針對(duì)不同的工件族，階段1 和階段3 都存在不同的專(zhuān)用機(jī)（dedicated machine）集合，分別為進(jìn)口箱工件服務(wù)和出口箱工件服務(wù)；②對(duì)于任何工件族的工件，都經(jīng)歷3個(gè)作業(yè)階段，每個(gè)階段都有多臺(tái)不相干的并行機(jī)供該工件選擇；③相鄰工序之間無(wú)緩沖區(qū)；④第1階段和第3階段有部分機(jī)器集合重合，會(huì)加劇資源的爭(zhēng)奪；⑤任意工件i在第2階段的處理時(shí)間pi2不可預(yù)知，與上下游機(jī)器m（Oi1）和m（Oi3）之間的距離成正比，Oi1和Oi3表示工件i在第1階段和第3階段的操作，因此該處理時(shí)間與機(jī)器和順序相關(guān)；⑥任意工件i在第2階段的準(zhǔn)備時(shí)間si2不可預(yù)知，如果操作Ok2是Oi2的緊前操作，si2也可表示為Ok2和Oi2之間的準(zhǔn)備時(shí)間sk2i2，簡(jiǎn)寫(xiě)為ski2，則ski2與m（Ok3）和m（Oi1）之間的距離成正比，因此準(zhǔn)備時(shí)間與機(jī)器和順序相關(guān)；⑦存在批處理機(jī)，能夠同時(shí)處理多個(gè)工件（如雙40岸橋），一次同時(shí)裝或卸2個(gè)40英尺集裝箱，需要階段2的兩個(gè)設(shè)備與該批處理機(jī)協(xié)同配合，才能釋放當(dāng)前機(jī)器。

2 數(shù)學(xué)模型

對(duì)于第1章提出的含批處理機(jī)和多工件族的3階混合流水車(chē)間調(diào)度問(wèn)題，結(jié)合批處理機(jī)、多工件族、無(wú)緩沖等特征，本章構(gòu)建了這類(lèi)問(wèn)題的0-1混合整數(shù)規(guī)劃模型，細(xì)節(jié)如下。

（1）基本符號(hào)

工件索引i，k∈N=N-∪N+，i≠k，N-和N+分別表示進(jìn)口和出口箱工件族集合；

工序索引j=1，2，3；

j階段的機(jī)器索引mj∈Mj，Mj為j 階段機(jī)器集合，分別表示j階段處理進(jìn)口箱工作族和出口箱工件族的機(jī)器集合，存在和；

QC，YT，YC-和YC+分別表示雙40岸橋、集卡、進(jìn)口堆場(chǎng)場(chǎng)橋和出口堆場(chǎng)場(chǎng)橋集合；

Oij表示工件i在j 階段的操作；

Tsd表示從機(jī)器s 到機(jī)器d 的集卡行駛時(shí)間（已知）；

H 表示一個(gè)大數(shù)。

（2）決策變量

如果Oij由機(jī)器m 處理，則xijm=1，否則xijm=0；

如果Oij和Okj都是由同一個(gè)機(jī)器m 處理，則yikjm=1，否則yikjm=0；

如果Oij操作是Okj操作在機(jī)器m 上的緊前操作，則zikjm=1，否則zikjm=0；

如果Oi1和Oi3操作分別在機(jī)器m1和m3上執(zhí)行，則uim1m3=1，否則uim1m3=0；

如果Oi2是Ok2的緊前操作，由機(jī)器m2加工，且Oi3和Ok1分別在機(jī)器m3和m1上執(zhí)行，則vm2im3km1=1，否則vm2im3km1=0；

如果Oij在Pj的順序索引為b，則δijb=1，否則δijb=0；

如果Oij和Okj在Pj的順序索引相同，即處于同一批中，則λikjb=1，否則λikjb=0；

pij為Oij操作的處理時(shí)間；

sikj為Oij操作與Okj操作之間的準(zhǔn)備時(shí)間（Oij為Okj的緊前操作）；

tij表示Oij操作的開(kāi)始時(shí)間。

假設(shè)僅考慮第2階段機(jī)器的準(zhǔn)備時(shí)間，不考慮其他階段機(jī)器的準(zhǔn)備時(shí)間，因?yàn)榭梢园谔幚頃r(shí)間內(nèi)?；旌险麛?shù)規(guī)劃模型如下：

其中：目標(biāo)函數(shù)（1）最小化總完工時(shí)間（Makespan）；約束（2）和約束（3）定義了3元副（i，j，m），保證進(jìn)口箱和出口箱工件族的任意工件的任意操作只能由一臺(tái)機(jī)器處理，并強(qiáng)制定義了各工序能夠處理不同工件族工件的設(shè)備類(lèi)型；約束（4）定義了第1（第3）階段批處理機(jī)的批處理能力（等于2）；約束（5）～約束（9）定義了3元副（i，j，b），保證任意Oij在Pj中有且僅占用一個(gè)位置，且同批工件一定占用同一位置；約束（10）根據(jù)xijm和xkjm定義yikjm；約束（11）根據(jù)工件同批與否定義λikjb；約束（12）保證同批工件必同機(jī)處理；約束（13）保證同批工件不會(huì)被分配到不同機(jī)器上，依據(jù)文獻(xiàn)［7］，該非線性約束可轉(zhuǎn)化為線性。以上約束確定了四元副（i，j，m，b）。約束（14）定義當(dāng)Oij為Okj的緊前操作時(shí)，zikjm=1。約束（15）定義當(dāng)xi1m1和xi3m3都為1時(shí)，uim1m3=1，其他為0；約束（16）定義了與機(jī)器和順序相關(guān)的處理時(shí)間；約束（17）定義當(dāng)xi3m3，xk1m1和zik2m2都為1時(shí)，vm2im3km1=1，其他為0；約束（18）定義了與機(jī)器和順序相關(guān)的準(zhǔn)備時(shí)間；約束（19）保證所有操作的開(kāi)始時(shí)間大于0；約束（20）保證任意工件各操作的時(shí)間順序關(guān)系；約束（21）定義工件最初被加工的時(shí)間需要滿(mǎn)足預(yù)定義的順序約束；約束（22）保證任意階段同批操作同時(shí)開(kāi)工；約束（23）和約束（24）定義工件i的下一個(gè)操作Oi（j+1）開(kāi)始時(shí)才能釋放當(dāng)前設(shè)備m，當(dāng)前設(shè)備m 只有準(zhǔn)備好才能處理緊后操作Okj。

3 算法設(shè)計(jì)

第1 章給出帶有批處理機(jī)和多工件族的3 階HFS-B問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，該模型能夠轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。鑒于帶有批處理機(jī)和多工件族特征的3階HFS-B調(diào)度問(wèn)題源于港口背景，屬于大規(guī)模組合優(yōu)化問(wèn)題，無(wú)法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)獲得問(wèn)題的精確解，本章以HFS-B問(wèn)題的第2階段設(shè)備（集卡）的狀態(tài)變遷為核心（如圖2），設(shè)計(jì)協(xié)同算法，求解HFS-B問(wèn)題，解的質(zhì)量通過(guò)第3 章的仿真實(shí)驗(yàn)、算法比較和基于下界理論的算法間隙分析進(jìn)行評(píng)估。

圖2中HFS-B第2階段的任意設(shè)備（集卡）處于閑置空車(chē)狀態(tài)，將申請(qǐng)和獲取任務(wù)，該過(guò)程僅發(fā)生在進(jìn)口堆場(chǎng)Z-或碼頭前沿Y，即閑置集卡在Z-時(shí)，獲取出口箱任務(wù)（用“任務(wù)1”標(biāo)示路徑和任務(wù)類(lèi)型）或進(jìn)口箱任務(wù)（用“任務(wù)2”標(biāo)示路徑和任務(wù)類(lèi)型）；閑置集卡在Y 時(shí)，獲取進(jìn)口箱任務(wù)（用“任務(wù)3”標(biāo)示路徑和任務(wù)類(lèi)型）或出口箱任務(wù)（用“任務(wù)4”標(biāo)示路徑和任務(wù)類(lèi)型）。當(dāng)閑置集卡獲取任務(wù)時(shí)，該集卡執(zhí)行任務(wù)的路徑確定，并依次訪問(wèn)路徑上的設(shè)備。碼頭前沿、出口堆場(chǎng)、進(jìn)口堆場(chǎng)的設(shè)備分別對(duì)應(yīng)雙40岸橋、出口堆場(chǎng)場(chǎng)橋、進(jìn)口堆場(chǎng)場(chǎng)橋，設(shè)備對(duì)集卡裝車(chē)或卸車(chē)，進(jìn)而改變集卡的狀態(tài)為重車(chē)或空車(chē)。為了減少集卡空跑，進(jìn)口堆場(chǎng)發(fā)出的任務(wù)申請(qǐng)優(yōu)先安排任務(wù)“任務(wù)1”，同理碼頭前沿發(fā)出的任務(wù)申請(qǐng)優(yōu)先安排任務(wù)“任務(wù)3”。對(duì)于任意集卡，其最佳的任務(wù)組合為“任務(wù)1”→“任務(wù)3”或“任務(wù)3”→“任務(wù)1”，以減少集卡的“空車(chē)”狀態(tài)及其空跑距離。

根據(jù)以上描述，基于設(shè)備狀態(tài)變遷的協(xié)同算法如算法1和算法2所示。涉及的符號(hào)如下：

C=C-∪C+為進(jìn)口箱和出口箱任務(wù)集的并集。

S 為處于閑置空車(chē)狀態(tài)的設(shè)備（集卡）集合。

L（i）=（l1，l2）表示設(shè)備i∈M2執(zhí)行下一個(gè)任務(wù)的路徑，l1和l2對(duì)應(yīng)裝和卸i的設(shè)備。

對(duì)于m∈M1∪M3，ψ（m）表示與設(shè)備m 配合的在途和排隊(duì)集卡數(shù)之和；ω（m）表示設(shè)備m 裝卸集卡的總數(shù)；Q（m）?C 為任意設(shè)備的任務(wù)排序集合，根據(jù)卸船和裝船的順序要求，事先已知。

Y 和Z-分別表示碼頭前沿和進(jìn)口堆場(chǎng)的位置集合。

其他符號(hào)請(qǐng)參見(jiàn)第1章的基本符號(hào)說(shuō)明。

算法1 基于“設(shè)備／集卡”狀態(tài)變遷的協(xié)同算法。

（1）已知任務(wù)集合C≠φ，令S=φ，判斷第2階段的所有設(shè)備狀態(tài)，如果i∈M2閑置，則S=S∪｛i｝。

（2）如果S≠φ，則提取第一個(gè)元素i及其位置p（i）；否則，轉(zhuǎn)（3）。

1）調(diào)用任務(wù)分配子程序（如表2），獲取i對(duì)應(yīng)的任務(wù)k和路徑L（i），C=C＼｛k｝，S=S＼｛i｝。

2）如果S≠φ，則轉(zhuǎn)（2）；否則，轉(zhuǎn)（3）。

（3）基于事件調(diào)度法，運(yùn)行eM-Plant構(gòu)建的仿真程序。

1）?i∈M2，更新i的狀態(tài)與位置p（i）；如果i閑置，則S=S∪｛i｝。

2）?m∈M1∪M3，更新ψ（m）。

3）如果S≠φ，則轉(zhuǎn)（2）。

4）如果C≠φ，則轉(zhuǎn)（3）；否則，轉(zhuǎn)（4）。

（4）輸出仿真數(shù)據(jù)，根據(jù)下界理論評(píng)估解的質(zhì)量。

算法1涉及任務(wù)分配子程序（如算法2），其核心思想是基于設(shè)備作業(yè)均衡的思想進(jìn)行任務(wù)分配，并優(yōu)先考慮批處理機(jī)（即雙40岸橋）的作業(yè)效率，即優(yōu)先滿(mǎn)足批處理機(jī)同時(shí)裝或卸2個(gè)40英尺集裝箱的要求，避免批處理機(jī)因無(wú)法批處理而長(zhǎng)時(shí)間等待。

算法2 任務(wù)分配子程序。

（1）根據(jù)p（i），確定i申請(qǐng)任務(wù)的類(lèi)型τ（i）。

p（i）∈Z-且C+≠φ，則τ（i）=任務(wù)1；p（i）∈Z-且C+=φ和C≠φ，則τ（i）=任務(wù)2；p（i）∈Y 且C-≠φ，則τ（i）=任務(wù)3；p（i）∈Y 且C-=φ和C≠φ，則τ（i）=任務(wù)4。

（2）根據(jù)τ（i），確定L（i）=（l1，l2）上的設(shè)備類(lèi)型。

（3）重復(fù)1）～4），直到設(shè)備l1和l2都被確定。

1）令l表示當(dāng)前需要確定的設(shè)備，根據(jù)l的所屬關(guān)系，定義設(shè)備集合Ml。

2）在Ml中，?m∈Ml，按ψ（m）非減對(duì)設(shè)備排序；按ω（m）非減，對(duì)具有相同ψ（m）值的設(shè)備進(jìn)行排序。

3）如果Ml?QC，則將ψ（m）為奇數(shù)的設(shè)備排在ψ（m）為偶數(shù)的設(shè)備之前。

4）獲取Ml中的第一個(gè)元素j，令l=j，ψ（j）++和ω（j）++。

（4）根據(jù)設(shè)備l1，確定任務(wù)k。

獲取Q（l1）中的第一個(gè)元素r，令k=r。

（5）輸出k和L（i）。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本文場(chǎng)景下的問(wèn)題描述是在文獻(xiàn)［1］的HFS問(wèn)題描述基礎(chǔ)上擴(kuò)展而來(lái)的，都采用同樣的下界理論［8］對(duì)3階混合流水車(chē)間調(diào)度問(wèn)題進(jìn)行算法評(píng)價(jià)。本文仿真案例和設(shè)備運(yùn)行參數(shù)選用文獻(xiàn)［1］的數(shù)據(jù)，如表1所示。岸橋作業(yè)時(shí)間服從均勻分布U（105，161）（單位：s／每次操作）；場(chǎng)橋裝車(chē)和卸車(chē)時(shí)間服從均勻分布U（9，41）和U（38，70）；集卡水平輸送時(shí)間服從均勻分布U（60，130）（單位：s）。文獻(xiàn)［1］采用常規(guī)岸橋，每次裝或卸1個(gè)40英尺箱；采用“先卸后裝”工藝，卸和裝互逆，仿真中僅需考慮一類(lèi)任務(wù)（進(jìn)口箱或出口箱任務(wù)）。本文采用雙40岸橋，每次操作能同時(shí)裝或卸2個(gè)40英尺箱；采用“邊裝邊卸”工藝，需同時(shí)考慮進(jìn)口箱和出口箱任務(wù)。

表1 案例及其仿真結(jié)果

為了評(píng)價(jià)第2章基于設(shè)備狀態(tài)變遷的協(xié)同算法性能，對(duì)表1的每個(gè)案例仿真運(yùn)行100次，算法性能評(píng)價(jià)采用與文獻(xiàn)［1］相同的下界理論［8］，表3中的間隙（gap）是算法的總完工時(shí)間與理論下界的相對(duì)波動(dòng)值［1］，仿真結(jié)果如表1所示，算法間隙曲線如圖3所示。本文算法的間隙性能僅在案例1～案例3上不如文獻(xiàn)［1］的TS算法，但CPU 時(shí)間在所有案例中都小于1s；文獻(xiàn)［1］的TA1算法表示帶有非延遲多重插入式（Multiple Insertion Heuristics with Non Delay，MIH-ND）的禁忌算法，該算法在案例1的CPU 時(shí)間最短（26s），在案例20的CPU 時(shí)間最長(zhǎng)（563s）。

在圖3中，本文算法的間隙性能在案例1～案例3中劣于文獻(xiàn)［1］，其他案例好于文獻(xiàn)［1］，主要原因如下：①案例1～案例3的任務(wù)數(shù)偏少，仿真處于預(yù)熱（warm-up）階段；②本文算法的核心是作業(yè)均衡，需要一定量的設(shè)備和任務(wù)數(shù)才能體現(xiàn)算法的性能優(yōu)勢(shì)。此外，隨著案例規(guī)模的增大，如從案例13到案例20，本文算法性能逐漸趨于穩(wěn)定且遠(yuǎn)好于文獻(xiàn)［1］。實(shí)際中，沿海港口的岸橋、場(chǎng)橋和集卡總數(shù)往往大于100，任務(wù)數(shù)大于1 000。因此在實(shí)際應(yīng)用中，本文的協(xié)同算法能夠比文獻(xiàn)［1］的TA1算法獲得更好的間隙性能。

為了驗(yàn)證第2章的設(shè)想“對(duì)于任意集卡，其最佳的任務(wù)組合為①→③或③→①”，本文按照邊裝邊卸和先卸后裝兩種工藝（都采用雙40岸橋）分別仿真，兩者的比較如圖4所示。顯然，邊裝邊卸工藝比先卸后裝工藝獲得更小的Makespan 值，這是因?yàn)榍罢咄ㄟ^(guò)“①→③”或“③→①”的組合任務(wù)，減少了集卡的空車(chē)狀態(tài)和空跑時(shí)間，進(jìn)而減少了岸橋等待集卡時(shí)間。該仿真驗(yàn)證了上述設(shè)想，保證了本文算法的合理性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文從采用雙40岸橋和邊裝邊卸的集裝箱作業(yè)系統(tǒng)中，提取了一類(lèi)具有批處理機(jī)和多工件族的3階HFS-B問(wèn)題，該問(wèn)題呈現(xiàn)一些新的特征，例如：部分機(jī)器的準(zhǔn)備時(shí)間和作業(yè)時(shí)間與順序和機(jī)器相關(guān)，多工件族的存在增大了資源的爭(zhēng)奪，批處理機(jī)要求同時(shí)處理2個(gè)工件。結(jié)合這些特征，發(fā)展了新的混合整數(shù)規(guī)劃模型，考慮了同批工件必須在同一個(gè)批處理機(jī)上加工，同批工件需同時(shí)開(kāi)工和同時(shí)離開(kāi)等約束。鑒于實(shí)踐應(yīng)用對(duì)計(jì)算成本的要求，以及實(shí)際問(wèn)題的規(guī)模，基于3階HFS-B中第2階段設(shè)備狀態(tài)變遷，從設(shè)備作業(yè)均衡和批處理優(yōu)先安排出發(fā)，設(shè)計(jì)協(xié)同算法求解該問(wèn)題。最后采用仿真實(shí)驗(yàn)、基于下界理論的性能評(píng)估和算法比較，驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)的協(xié)同算法是快速和高效的。后期結(jié)合該算法，將進(jìn)一步開(kāi)發(fā)“雙40岸橋”和“邊裝邊卸”下的集裝箱作業(yè)系統(tǒng)設(shè)備協(xié)同調(diào)度決策工具。

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