彭寶營(yíng)，蔡力鋼，韓秋實(shí)，楊慶東，李啟光

（1.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100022；2.北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192）

0 引言

平面曲線輪廓回轉(zhuǎn)類(lèi)零件（如凸輪、橢圓活塞、轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室等）的磨削，普遍采用X，C 兩軸聯(lián)動(dòng)加工，廓形精度要求很高。由永磁同步直線電機(jī)（PMLSM）及永磁環(huán)形力矩電機(jī)（PMRTM）組成的X-C 直驅(qū)磨削加工平臺(tái)，會(huì)由于加工軌跡變化、負(fù)載擾動(dòng)、機(jī)械延遲及兩軸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)不匹配等因素，引起X，C 軸跟蹤誤差，在很大程度上影響輪廓加工的精度［1-3］。研究表明，與先進(jìn)的單軸伺服控制器相比，基于輪廓廓形誤差的多軸耦合控制是提高系統(tǒng)輪廓精度更有效的途徑［4］。

Yeh等［5］首先提出雙軸耦合控制策略，然而該方法沒(méi)有考慮刀具半徑的存在使加工坐標(biāo)誤差不能等同于輪廓誤差的問(wèn)題，不能有效地適用于曲線輪廓加工廓形誤差控制；Lo等［6］提出加工坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法來(lái)減小輪廓誤差，并設(shè)計(jì)了切向輪廓誤差控制器（Tangential Contouring Controller，TCC），但其本質(zhì)為恒增益的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換補(bǔ)償，所建立的輪廓誤差無(wú)法適用于曲線輪廓補(bǔ)償；Su等［7］在實(shí)時(shí)輪廓誤差計(jì)算法則的基礎(chǔ)上，提出了基于摩擦前饋的改進(jìn)型X-Y 平臺(tái)耦合控制方法，該方法適用于曲線的輪廓誤差控制，但不能有效減小跟蹤的位置誤差，改善輪廓誤差精度的效果并不理想。一些文獻(xiàn)在X-Y 直驅(qū)平臺(tái)的廓形誤差補(bǔ)償控制方面進(jìn)行了研究，例如Slin等［8］設(shè)計(jì)了耦合魯棒控制器用于多軸非線性運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的輪廓誤差補(bǔ)償控制。此外，一些研究人員采用等效誤差［9］、重復(fù)跟蹤控制［10］等先進(jìn)的控制方法設(shè)計(jì)耦合控制器，以提高控制器的響應(yīng)能力，這些方法計(jì)算過(guò)程復(fù)雜、響應(yīng)速度慢，不適合數(shù)控系統(tǒng)使用。

上述研究都基于加工坐標(biāo)軌跡偏差等同于輪廓廓形偏差的前提，在非圓輪廓切點(diǎn)跟蹤磨削加工中，由于輪廓特征、砂輪半徑等因素，加工坐標(biāo)為砂輪中心軌跡，并不是真正的切觸點(diǎn)，加工坐標(biāo)誤差并不直接等同于廓形誤差。而且，研究?jī)?nèi)容大多集中于XY 平臺(tái)的輪廓誤差控制，X-C 平臺(tái)耦合控制的相關(guān)研究較少。李靜等［11］對(duì)X-C 平臺(tái)的非圓輪廓耦合控制進(jìn)行了研究，但采用的仍然是X-Y 平臺(tái)廓形誤差計(jì)算方法替代X-C 平臺(tái)廓形誤差計(jì)算。與X-Y平臺(tái)不同的是，X-C 平臺(tái)的單軸跟蹤誤差對(duì)廓形誤差的形成不但存在耦合影響，而且各自對(duì)誤差形成的影響不同，其廓形誤差還與輪廓軌跡及砂輪半徑等因素密切相關(guān)。

本文以X-C 直驅(qū)磨削平臺(tái)平面曲線輪廓的廓形誤差控制為研究對(duì)象，首先提出X-C 平臺(tái)單軸跟蹤誤差耦合形成廓形誤差的計(jì)算模型，設(shè)計(jì)了耦合非線性輪廓誤差控制器，利用非線性控制器的快速自適應(yīng)能力減小耦合輪廓誤差。最后進(jìn)行了仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，為平面曲線輪廓類(lèi)零件X-C 加工質(zhì)量的提升提供了依據(jù)。

1 X-C 直驅(qū)平臺(tái)廓形誤差分析

1.1 平面曲線輪廓X-C 加工原理

X-C 直驅(qū)加工平臺(tái)由直線電機(jī)和力矩電機(jī)構(gòu)成，加工對(duì)象一般為非圓回轉(zhuǎn)類(lèi)零件，刀具為砂輪。其中：X 軸由直線電機(jī)帶動(dòng)砂輪架水平往復(fù)移動(dòng)，C軸由力矩電機(jī)帶動(dòng)工件旋轉(zhuǎn)，X，C 軸兩軸聯(lián)動(dòng)完成零件的加工。

平面曲線輪廓X-C 聯(lián)動(dòng)磨削的加工原理如圖1所示，對(duì)于非圓輪廓極坐標(biāo)方程ρ=ρ（φ），其廓形XC 聯(lián)動(dòng)加工公式為

1.2 X-C 跟蹤誤差與廓形誤差

X-C 單軸跟蹤誤差主要指伺服誤差，即某一時(shí)刻電機(jī)指令位置與實(shí)際位置之差。因?yàn)閄-C 直驅(qū)平臺(tái)直接驅(qū)動(dòng)工件及砂輪部件，減少了中間環(huán)節(jié)，所以控制補(bǔ)償X-C 單軸跟蹤誤差，就能在很大程度上減小最終的加工廓形誤差。

引起X-C 單軸跟蹤誤差的原因有很多，如磨削力的變化、加工速度的變化、機(jī)床振動(dòng)等都會(huì)引起X，C 軸跟蹤誤差的變化；此外，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的非線性、不確定性因素，如數(shù)控系統(tǒng)的死區(qū)、限幅及機(jī)床溫度等，也會(huì)引起X，C 軸跟蹤誤差的變化。

平面曲線輪廓誤差指實(shí)際位置與指令位置在輪廓軌跡指定點(diǎn)處法線方向上的偏差，用ε表示。由式（1）可知，X-C 直驅(qū)平臺(tái)磨削非圓零件時(shí)，由X-C單軸跟蹤誤差并不能直接形成廓形誤差，廓形誤差還與砂輪半徑、廓形軌跡等因素密切相關(guān)。

1.3 平面曲線輪廓輪廓X-C 廓形誤差模型構(gòu)建

根據(jù)圖1可知，X-C 單軸跟蹤誤差沿法向O2A方向的誤差分量的矢量和為最終的廓形誤差。因此，分別對(duì)由X-C 單軸跟蹤誤差引起的廓形誤差進(jìn)行分析，將二者法向矢量進(jìn)行疊加，即可得到最終的廓形誤差。

X 軸跟蹤誤差引起的廓形誤差分析如圖2 所示。理論加工點(diǎn)為A 點(diǎn)，當(dāng)X 軸跟蹤誤差為ΔX時(shí)，使實(shí)際加工點(diǎn)變?yōu)锳1點(diǎn)，引起相應(yīng)的廓形誤差為εx。

利用三角幾何關(guān)系可以得到X 軸跟蹤誤差引起的廓形誤差計(jì)算公式

C 軸跟蹤誤差引起的廓形誤差及局部放大圖如圖3所示。在極坐標(biāo)系MO1N 中，理論加工點(diǎn)為A（ρ，φ）點(diǎn)，當(dāng)C 軸跟蹤誤差為ΔC 時(shí)，實(shí)際加工點(diǎn)變?yōu)锳1（ρ+Δρ，φ+Δφ）點(diǎn)，引起相應(yīng)的廓形誤差為εc。

利用三角幾何關(guān)系可以得到C 軸跟蹤誤差引起的廓形誤差

按泰勒展開(kāi)，將ρ（φ+Δφ）≈ρ（φ）+ρ′（φ）Δφ 及代入式（3），得到C 軸跟蹤誤差引起的廓形誤差

由式（1）可知，對(duì)于同一個(gè)理論點(diǎn)，ΔC=Δφ。將式（2）和式（4）聯(lián)立，得到平面曲線輪廓X-C 聯(lián)動(dòng)加工廓形誤差計(jì)算公式

2 X-C 直驅(qū)平臺(tái)耦合控制器設(shè)計(jì)

2.1 X 軸單軸控制器設(shè)計(jì)［12］

對(duì)于直線電機(jī)采用d-q 坐標(biāo)系下的模型，電流內(nèi)環(huán)采用電流在d 軸上的分量id=0的控制策略，使定子電流矢量與永磁體磁場(chǎng)在空間正交。在理想情況下，其直軸、交軸的電壓方程為

直線電機(jī)電磁推力及機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為

式中：Fe為電磁推力；τ為極距；f為頻率；R為永磁同步直線電機(jī)的動(dòng)子繞組電阻；Ld和Lq分別為永磁同步直線電機(jī)d 軸和q 軸電感；ud和uq為永磁同步直線電機(jī)電壓的d 軸和q 軸分量；Fd為直線電機(jī)的負(fù)載；Ψf為永磁體磁鏈。

X 軸直線電機(jī)矢量控制仿真的程序框圖如圖4所示。

2.2 C軸單軸控制器設(shè)計(jì)［13］

忽略鐵芯飽和、磁滯損耗、阻尼繞組等因素的影響，環(huán)形永磁力矩電機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

式中：ud和uq分別為d 軸和q 軸上的定子電壓；id和iq分別為d 軸和q 軸上的定子電流；Ld和Lq分別為d 軸和q 軸上的定子電感；Rs為定子繞組電阻；Ψf為永磁體磁鏈；p 為極對(duì)數(shù)。

C 軸力矩電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制仿真的程序框圖如圖5所示。

2.3 X-C 直驅(qū)平臺(tái)耦合控制方案設(shè)計(jì)

在X-C 單軸控制的基礎(chǔ)上，采用耦合控制［14］方法進(jìn)行非圓面輪廓誤差補(bǔ)償控制，以減小廓形誤差。X-C 直驅(qū)平臺(tái)耦合控制原理圖如圖6所示，其控制思想是首先將X-C 的跟蹤誤差在耦合控制器中進(jìn)行綜合，計(jì)算得到廓形誤差；然后經(jīng)過(guò)非線性比例-積分-微分（Proportional-Integral-Derivative，PID）控制器進(jìn)行調(diào)節(jié)，將誤差信息分配給各軸以產(chǎn)生相應(yīng)的實(shí)時(shí)附加補(bǔ)償作用。設(shè)Gx 與Gc 分別為X 軸和C 軸耦合控制器的耦合增益，由式（5）可得

2.4 非線性耦合PID 控制器設(shè)計(jì)

非圓輪廓加工過(guò)程中存在大量的非線性環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)的定值PID 很難取得滿意的控制效果。如果非線性PID 的各項(xiàng)參數(shù)選擇適當(dāng)，能夠使控制系統(tǒng)響應(yīng)快且無(wú)超調(diào)現(xiàn)象。另外，因?yàn)榉蔷€性PID 中的參數(shù)能夠隨控制誤差變化，所以其抗干擾能力也大大超過(guò)常規(guī)線性PID 控制［15］。一般系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖7所示。

為減小控制誤差抑制誤差的變化趨勢(shì)，在t1，t2，t3和t4時(shí)刻，比例Kp、積分Ki、微分Kd的變化過(guò)程如表1所示［16］。

表1 非線性PID階躍響應(yīng)參數(shù)變化過(guò)程

非線性PID 在不同響應(yīng)區(qū)域，比例、積分和微分分別取不同的值，其變化趨勢(shì)可用雙曲函數(shù)及e指數(shù)函數(shù)表示。Kp，Ki和Kd的連續(xù)時(shí)域計(jì)算公式為［17］

式中：ap，bp，cp，ai，bi，ad，bd，cd，dd均為正實(shí)數(shù)，通過(guò)調(diào)整cp，bi和dd的大小可以分別調(diào)整Kp，Ki和Kd的變化速率。

本文設(shè)計(jì)的廓形誤差非線性耦合補(bǔ)償控制器Simulink仿真程序圖如圖8所示，圖中增加了前饋環(huán)節(jié)，以提高控制器的預(yù)測(cè)控制能力，比例、積分和微分三項(xiàng)參數(shù)按式（10）計(jì)算。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及驗(yàn)證

凸輪是平面曲線輪廓X-C 聯(lián)動(dòng)加工零件的典型代表，以平底直動(dòng)凸輪加工為例，建立了X-C 直驅(qū)平臺(tái)仿真平臺(tái)。采用砂輪反轉(zhuǎn)法驗(yàn)證了平面曲線輪廓X-C 廓形誤差計(jì)算模型的有效性，并對(duì)廓形誤差的非線性耦合控制效果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

3.1 X-C 直驅(qū)平臺(tái)廓形誤差控制仿真模型的建立

X-C 直驅(qū)平臺(tái)廓形誤差非線性耦合補(bǔ)償控制Simulink仿真程序圖如圖9所示。其中，直線電機(jī)模型按圖4所示的直線電機(jī)矢量控制Simulink仿真程序圖建立；力矩電機(jī)模型按圖5所示的力矩電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制Simulink仿真程序圖建立；非線性廓形誤差調(diào)節(jié)模塊按圖8所示的非線性耦合補(bǔ)償控制Simulink仿真程序圖建立。Xt，Ct為X-C 單軸指令位置；Gx，Gc為X 軸、C 軸的廓形誤差增益。

3.2 凸輪廓基本參數(shù)

凸輪升程曲線如圖10所示，極坐標(biāo)廓形圖如圖11所示。

其中該凸輪一圈加工的X-C 坐標(biāo)如圖12所示。

按照式（9）分別計(jì)算出X，C 軸廓形誤差耦合增益Gx，Gc，如圖13所示。

3.3 凸輪廓形誤差非線性耦合控制仿真

按圖9所示的X-C 直驅(qū)平臺(tái)廓形誤差控制仿真模型，進(jìn)行凸輪廓形誤差非線性耦合控制的仿真實(shí)驗(yàn)。X-C 單軸位置指令按圖11所示發(fā)出，凸輪一圈加工時(shí)間為9s，仿真結(jié)果采樣周期設(shè)置為0.025 s。仿真過(guò)程中，X 軸的速度指令Vx 和C 的軸速度指令Vc 如圖14所示。

采用測(cè)力儀測(cè)量凸輪磨削過(guò)程中的一組磨削力并中值濾波后，按照凸輪表面的切線方向計(jì)算出X軸所受的磨削力和C 軸承受的扭矩，如圖15所示。仿真過(guò)程中按圖15所示的負(fù)載曲線，分別對(duì)X 軸的直線電機(jī)、C 軸的力矩電機(jī)施加模擬負(fù)載。

仿真過(guò)程中，X 軸、C 軸的PID 各項(xiàng)參數(shù)及非線性廓形誤差控制器的各項(xiàng)初始控制參數(shù)如表2所示。

表2 廓形誤差非線性耦合控制仿真參數(shù)

續(xù)表2

3.4 仿真結(jié)果分析

采集仿真過(guò)程中的非線性PID 參數(shù)調(diào)節(jié)曲線如圖16所示。與圖14和圖15對(duì)比可以看出，在7 s左右，由于加工坐標(biāo)轉(zhuǎn)換導(dǎo)致的加工點(diǎn)間距不均，C 軸在該處速度波動(dòng)較大，同時(shí)該處的磨削力較大，廓形誤差非線性PID 迅速進(jìn)行了調(diào)節(jié)。

分別采集常規(guī)加工與采用非線性耦合控制仿真中的廓形誤差，得到常規(guī)加工與采用非線性耦合補(bǔ)償控制的結(jié)果廓形誤差對(duì)比，如圖17所示。可以看出，與常規(guī)加工相比，非線性耦合控制較廓形誤差最大值下降了一半，而且更加均勻。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出廓形誤差計(jì)算模型，可用于平面曲線輪廓X-C 磨削加工中快速計(jì)算廓形誤差并提供補(bǔ)償系數(shù)。與常規(guī)控制相比，非線性耦合控制可以快速應(yīng)對(duì)曲線加工過(guò)程的輪廓軌跡、磨削力變化、加工速度變化、控制系統(tǒng)死區(qū)以及限幅對(duì)廓形誤差的影響，在一定程度上提高了X-C 直驅(qū)平臺(tái)平面曲線輪廓零件的輪廓加工精度。

對(duì)于引起跟蹤誤差及廓形誤差的其他因素，如機(jī)床振動(dòng)、溫升及加工過(guò)程中其他動(dòng)態(tài)的非線性、不確定性因素的控制效果，有待于進(jìn)一步研究。

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