方成剛，黃筱調(diào)，郭二廓，張 虎

（1.南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210009；2.南京工業(yè)大學(xué) 江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210009）

0 引言

隨著齒輪傳動(dòng)向高速、高精度方向不斷發(fā)展，齒輪齒向修形技術(shù)得到越來(lái)越多的關(guān)注。齒輪齒向修形是齒輪沿齒向方向進(jìn)行微量的齒面修整，以使其偏離理論齒面。通過(guò)齒向修形可以改善載荷沿輪齒接觸線不均勻分布的現(xiàn)象，從而大大提高齒輪承載能力。最常見(jiàn)的齒向修形方法有齒端修薄、螺旋角修整和鼓形修形。齒向修形常用的砂輪附加運(yùn)動(dòng)方式有附加徑向運(yùn)動(dòng)（中心距變動(dòng)）、附加轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)和附加切向運(yùn)動(dòng)等。其中附加徑向運(yùn)動(dòng)因其在機(jī)床上容易實(shí)現(xiàn)、附加運(yùn)動(dòng)精度高而在實(shí)際應(yīng)用中得到了廣泛應(yīng)用。

關(guān)于成形磨齒方面，早期研究主要是砂輪廓形求解及砂輪安裝參數(shù)調(diào)整方面。YOSHINO 等［1-2］通過(guò)對(duì)砂輪廓形和位置的補(bǔ)償提出一種成形磨削的齒向修正方法；NISHIDA 等［3-4］通過(guò)對(duì)砂輪廓形的精確求解提出一種通過(guò)調(diào)整砂輪安裝偏轉(zhuǎn)角的接觸線形態(tài)優(yōu)化方法，并將該方法應(yīng)用于齒向修形；蘇建新等［5］采用數(shù)值模擬方法對(duì)砂輪廓形進(jìn)行了建模求解。同時(shí)，成形磨削修形理論是成形磨齒的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)，LITVIN 等［6］建立了成形磨削以及展成磨削的數(shù)學(xué)模型；吳序堂等［7］闡述了漸開(kāi)線交錯(cuò)軸齒輪建模與加工的相關(guān)核心理論；DING 和ZHU等［8-10］基于單參數(shù)曲面族包絡(luò)原理的研究，得到多軸數(shù)字控制（Numerical Control，NC）加工的特征曲面在任意剛體運(yùn)動(dòng)下掃掠包絡(luò)曲面的解析表達(dá)式。

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)數(shù)字控制（Computer Numerical Control，CNC）技術(shù)的發(fā)展，成形磨齒技術(shù)的研究集中在多軸數(shù)控成形磨削修形加工方面。梁錫昌［11］與吉野英弘［4］等研究了三種附加運(yùn)動(dòng)方式對(duì)齒輪修形的變化規(guī)律，并通過(guò)綜合運(yùn)用三種附加運(yùn)動(dòng)的方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)齒面的模擬修整；SHIH 等［12］基于六軸笛卡爾坐標(biāo)系數(shù)控準(zhǔn)雙曲面成形磨齒機(jī)提出了一種齒向修正理論；隨后，SHIH 等［13-14］又提出了一種基于多自由度五軸數(shù)控成形磨齒機(jī)的高階修正的齒向修形方法。這種通過(guò)多種附加運(yùn)動(dòng)或多軸聯(lián)動(dòng)的磨削方式，雖然磨齒精度較高，但機(jī)床的復(fù)雜程度及成本也較大。此外，與多軸數(shù)控磨削修形對(duì)應(yīng)的，是單一的附加徑向運(yùn)動(dòng)齒向修形。李國(guó)龍等［15］基于附加徑向運(yùn)動(dòng)的成形磨削拓?fù)湫扌锡X輪進(jìn)行了研究，提出了一種減小磨削誤差的砂輪廓形優(yōu)化方法，但該方法是基于對(duì)刀具截形的優(yōu)化。

傳統(tǒng)的斜齒輪鼓形修形采用的是徑向等效進(jìn)刀法，是一種近似的進(jìn)刀方法，這種方法并沒(méi)有考慮修形量附加徑向運(yùn)動(dòng)對(duì)瞬時(shí)接觸線的影響，因?yàn)楫?dāng)砂輪有附加運(yùn)動(dòng)時(shí)，包絡(luò)面特征線不再是一條空間不變的曲線，而是隨著附加運(yùn)動(dòng)變化的時(shí)變曲線，這種變化使得實(shí)際修形齒面在嚙合區(qū)域發(fā)生修形扭曲，尤其是在測(cè)量圓（通常取節(jié)圓）處存在較大的磨削修形誤差。因此，為了進(jìn)一步提高成形磨齒的修形精度，本文采用較為常用的附加徑向運(yùn)動(dòng)鼓形修形為研究對(duì)象，提出一種刀位軌跡的優(yōu)化方法，并通過(guò)實(shí)例對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 成形磨削斜齒輪齒向修形的數(shù)學(xué)模型

1.1 圓柱齒輪的鼓形修形

常見(jiàn)齒輪的齒向修形方式有K 形圖修形、鼓形修形和點(diǎn)對(duì)點(diǎn)修形，不同齒向修形方式在數(shù)控成形磨削的本質(zhì)是一致的。本文選取數(shù)學(xué)描述較為簡(jiǎn)潔的鼓形齒向修形齒輪作為研究對(duì)象。

修形量ε（z）與z軸的關(guān)系如圖1所示。對(duì)于整齒面鼓形齒而言，可以通過(guò)建立圓弧ABC 的方程求解任一軸向坐標(biāo)值處的修形量。

設(shè)齒輪的寬度為b，齒向修緣值在端部為ε（z=0）=ε（z=b）=ε，修形方式為正齒面對(duì)稱全鼓形修形，由幾何關(guān)系可得在任意的zi處，齒輪的齒向修形量為

1.2 鼓形修形的齒面方程

齒輪做齒向修形時(shí)，可以將齒輪端面截形沿其法矢作等距線。漸開(kāi)線圓柱齒輪端截形存在以下性質(zhì)：若漸開(kāi)線的基圓為rb，則與該漸開(kāi)線等距rbΔu的曲線仍然是漸開(kāi)線，并且該等距線相當(dāng)于將原漸開(kāi)線繞基圓圓心旋轉(zhuǎn)Δu。因此，可將該漸開(kāi)線繞基圓圓心旋轉(zhuǎn)Δu，則修形量ε（z）與轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系為

則齒向修形后螺旋面方程為：

式中：τ=σ0+u+θ+Δu，p=pz／2π；θ為端截形上參數(shù)為u 的點(diǎn)M 繞z 軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度；p 為螺旋參數(shù)，右旋為正，左旋為負(fù)；pz為螺旋導(dǎo)程。

1.3 成形磨削坐標(biāo)系建立及其變換關(guān)系

圖2所示為成形磨削修形漸開(kāi)螺旋齒面的空間關(guān)系示意圖。建立Ogxgygzg，Oxyz，Owxwywzw三個(gè)左手坐標(biāo)系。其中：Oxyz為空間固定坐標(biāo)系；坐標(biāo)系Ogxgygzg與齒輪固連，其軸線為坐標(biāo)軸zg；Owxwywzw與砂輪固聯(lián)，其軸線為坐標(biāo)軸zw，它與z軸負(fù)方向之間的夾角為Σ，坐標(biāo)軸xw與齒輪坐標(biāo)系的xg軸重合，兩坐標(biāo)系原點(diǎn)間的距離OOg等于中心距a。磨削時(shí)齒輪作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，砂輪除了沿齒輪軸線的移動(dòng)，還有徑向的附加運(yùn)動(dòng)。因此，Ogxgygzg與Owxwywzw的相對(duì)位置可由徑向位移ax、安裝角Σ及轉(zhuǎn)角θ 表示。開(kāi)始磨削前即θ=0 時(shí)，Oxyz 與Ogxgygzg重合，ax等于砂輪與齒輪的初始軸間距a0，zg=0，a為齒寬中部處的軸間距，Σ 為砂輪安裝角（與齒輪螺旋角互余）。

由工件坐標(biāo)系Ogxgygzg到空間固定坐標(biāo)系Oxyz 的變換關(guān)系為

由固定坐標(biāo)系Oxyz 到砂輪坐標(biāo)系Owxwywzw的變換關(guān)系為

因此從砂輪坐標(biāo)系Owxwywzw到工件坐標(biāo)系Ogxgygzg的變換關(guān)系為

其中變換矩陣為

2 砂輪廓形的逆包絡(luò)及B樣條逼近

砂輪廓形精度直接影響齒輪成形磨削的精度。刀具路徑的優(yōu)化求解不但要求砂輪離散點(diǎn)足夠多，而且要保證迭代求解的效率。因此，本文采用無(wú)瞬心包絡(luò)法求解砂輪廓形，并對(duì)求解的砂輪廓形離散點(diǎn)進(jìn)行B 樣條逼近，以實(shí)現(xiàn)對(duì)砂輪回轉(zhuǎn)曲面的精確控制。

2.1 砂輪廓形的逆包絡(luò)

利用盤形砂輪無(wú)瞬心包絡(luò)式給出的漸開(kāi)螺旋面，參考文獻(xiàn)［7］給出了砂輪與工件的接觸線條件為

接觸條件式（7）是參變數(shù)u和θ 的關(guān)系式，該方程為超越方程，不易求得解析解，可以通過(guò)，遍歷定義域內(nèi)參數(shù)ui∈［u0，un］，求出相應(yīng)的θi，將（ui，θi）代入螺旋面方程（3），得到刀具與螺旋面之間的空間接觸線離散點(diǎn)矩陣［xi，yi，zi］。

圖2建立了盤形刀具坐標(biāo)系Owxwywzw與工件坐標(biāo)系Ogxgygzg之間的變換關(guān)系，利用該變換關(guān)系，將螺旋面上的離散點(diǎn)陣［xi，yi，zi］變換到刀具坐標(biāo)系中的離散點(diǎn)矩陣［Xi，Yi，Zi］：

將刀具坐標(biāo)系中的接觸線繞刀具軸線旋轉(zhuǎn)一周后，可以得到相應(yīng)的刀具回轉(zhuǎn)面，取其軸向截形為

2.2 砂輪刀具的回轉(zhuǎn)曲面

由微分幾何知識(shí)可以求得砂輪截形曲線的控制頂點(diǎn)dj（j=0，1，…，n），用k次B樣條曲線表示為

如圖3所示，建立刀具坐標(biāo)系OXYZ，將該曲線繞Z 軸旋轉(zhuǎn)后得到砂輪的回轉(zhuǎn)曲面。任取刀具軸向截形上一點(diǎn)（px（ui），pz（ui）），則刀具回轉(zhuǎn)面方程可表示為

根據(jù)刀具曲面方程（11）可知，刀具曲面上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的徑矢R＊可以通過(guò)對(duì)OXZ 平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)矢量R 繞Z 軸旋轉(zhuǎn)φ 角后得到，該點(diǎn)的法矢n＊同樣可以通過(guò)對(duì)OXZ 平面內(nèi)相對(duì)應(yīng)的法矢n 繞Z 軸旋轉(zhuǎn)φ 角后得到。則砂輪回轉(zhuǎn)曲面上任一點(diǎn)的徑矢和法矢可以表示為：

2.3 徑向附加運(yùn)動(dòng)的砂輪曲面族包絡(luò)

包絡(luò)理論在數(shù)控加工誤差校驗(yàn)、共軛曲面設(shè)計(jì)中有重要的應(yīng)用。本文主要采用單參數(shù)曲面族的包絡(luò)理論建立修形后的包絡(luò)齒面。包絡(luò)出的齒面是一個(gè)單參數(shù)曲面族｛Sλ｝，其中λ是參數(shù)，當(dāng)λ的值變化時(shí)，得到族中不同的曲面Sλ。

［7］可得一般回轉(zhuǎn)面在任意剛體運(yùn)動(dòng)下掃掠包絡(luò)面的解析表達(dá)式。砂輪在歐式空間R3中作剛體復(fù)合運(yùn)動(dòng)，其連續(xù)剛體運(yùn)動(dòng)在慣性坐標(biāo)系中的表示采用下列單參數(shù)剛體變換：

式中：p（t）為與剛體固連的活動(dòng)標(biāo)架在慣性坐標(biāo)系中的平動(dòng)矩陣；R（t）為與剛體固連的活動(dòng)標(biāo)架在慣性坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)矩陣。直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)矩陣具有正交性，即滿足RTR=RRT=1。

由砂輪坐標(biāo)系Owxwywzw到工件坐標(biāo)系Ogxgygzg的變換矩陣，可得對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣

對(duì)應(yīng)的平動(dòng)矩陣

砂輪在慣性坐標(biāo)系（工件坐標(biāo)系）中的瞬時(shí)角速度為

砂輪在慣性坐標(biāo)系中的平動(dòng)速度

將砂輪回轉(zhuǎn)面的方程式Q（u，φ）與法向量表達(dá)式n（u，φ），以及角速度和平動(dòng)速度代入接觸條件式，求得附加徑向運(yùn)動(dòng)后齒向修形齒面的接觸條件為

3 附加徑向運(yùn)動(dòng)的成形磨削刀位規(guī)劃

徑向附加運(yùn)動(dòng)的齒向修形通常用于圓柱齒輪的單齒面或雙齒面磨削，齒向修形齒輪通常要求齒輪在測(cè)量圓處的螺旋線逼近齒向修形曲線，即砂輪曲面族包絡(luò)曲面與修形螺旋面在測(cè)量圓處達(dá)到高階逼近。

3.1 建立刀位規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)

齒向修形螺旋面在測(cè)量圓上的測(cè)量螺旋線方程為

式中：rm為漸開(kāi)線螺旋面上的測(cè)量圓半徑；σm為漸開(kāi)線螺旋面上的測(cè)量圓對(duì)應(yīng)的齒槽半角。

齒向修形齒面要求在砂輪的每個(gè)離散刀位上，砂輪特征線（即砂輪與螺旋面的接觸線）上處于測(cè)量圓處的接觸點(diǎn)與螺旋面上處于測(cè)量圓處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離最小。即在每個(gè)離散刀位pθi處有徑向附加運(yùn)動(dòng)Δxi（θi），此時(shí)砂輪曲面的特征線與測(cè)量螺旋線 在zg=zi=pθi處 滿 足D（Δxi（θi））=最小，則相應(yīng)的刀位點(diǎn)坐標(biāo)（zi，θi，Δxi（θi））為最優(yōu)刀位。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述上述優(yōu)化準(zhǔn)則為：

3.2 刀位軌跡的確定

當(dāng)采用附加徑向運(yùn)動(dòng)進(jìn)行刀位規(guī)劃時(shí)，不但附加徑向運(yùn)動(dòng)的位移（即砂輪與工件中心距的變動(dòng)）會(huì)影響接觸線位置，而且附加徑向的速度也會(huì)影響接觸線位置。因此，在刀位點(diǎn)尋優(yōu)時(shí)要同時(shí)兼顧徑向附加運(yùn)動(dòng)位移及速度造成的特征線變化。由于接觸線條件中的附加運(yùn)動(dòng)速度以其一階導(dǎo)數(shù)形式x（θ）出現(xiàn)，難以用解析法直接求解，這里采用有限差分代替徑向附加運(yùn)動(dòng)的速度x（θ），即

通過(guò)尋找適當(dāng)?shù)膹较蚋郊又郸i（θ），使得砂輪初始刀位的特征線滿足上述優(yōu)化條件，則可得到刀具的優(yōu)化軌跡。具體的求解過(guò)程（如圖4）如下

步驟2 遍歷砂輪截形的變參量u∈［0，1］，并根據(jù)接觸線條件求得相應(yīng)的φi，得到接觸線上的一點(diǎn)（ui，φi）滿足

式中εg為砂輪接觸點(diǎn)逼近測(cè)量圓半徑的允許精度。

步驟3 將砂輪接觸線上處于測(cè)量圓的點(diǎn)轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系中：

將該砂輪曲面族接觸點(diǎn)的軸向坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換到端面中，對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角

則齒面測(cè)量螺旋線位于砂輪特征線在測(cè)量圓處接觸點(diǎn)的坐標(biāo)滿足式（22）。

步驟4 計(jì)算砂輪特征線上處于測(cè)量圓半徑接觸點(diǎn)與相應(yīng)的齒面測(cè)量螺旋線對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離為

對(duì)應(yīng)給定的逼近精度εw，若D＜εw，則相應(yīng)的Δx0（θ）滿足要求；否則，Δxi+1（θ）=Δxi（θ）+Δxstep，重復(fù)上述步驟，直至D＜εw。

通過(guò)上述4個(gè)步驟的循環(huán)迭代，可以確定滿足精度要求的齒向修形刀位軌跡。最后，綜合所有刀位點(diǎn)，得到磨削整個(gè)齒面的刀位點(diǎn)（zi，θi，Δxi（θi））。

4 徑向附加運(yùn)動(dòng)的誤差分析

在齒向修形過(guò)程中，由于附加運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致包絡(luò)面特征線不再是一條空間不變的曲線，而是隨著附加運(yùn)動(dòng)而變化的時(shí)變曲線，這種變化使修形后的齒面產(chǎn)生扭曲變形。通過(guò)對(duì)比傳統(tǒng)的修形方法與文中所提方法的修形誤差，可以驗(yàn)證該方法的有效性。下面針對(duì)本文所采用的誤差評(píng)價(jià)原理和結(jié)論進(jìn)行討論。

4.1 砂輪曲面正向包絡(luò)的求解

將前面求解得到的砂輪截形按所給的優(yōu)化刀位軌跡進(jìn)行正向包絡(luò)，得到相應(yīng)的包絡(luò)面方程為：

在任一刀位點(diǎn)θi處，利用式（23）可以求出相應(yīng)的接觸線（px（ui）cosφ，px（ui）sinφ，pz（ui））。通 過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系式（6）將砂輪瞬時(shí)特征線轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系中，可得砂輪曲面族方程為：

遍歷齒輪端截形旋轉(zhuǎn)角θi，得到刀具在不同的軸向位置zi=pθi，按式（27）可求得在該瞬時(shí)的砂輪特征線，通過(guò)砂輪曲面的正向包絡(luò)可以得到刀位優(yōu)化后的包絡(luò)修形齒面。

4.2 傳統(tǒng)修形方法及等高線表示

為了綜合表示附加徑向運(yùn)動(dòng)的齒向修形效果，利用等高線法將整個(gè)螺旋面的三維空間修形量及修形誤差在平面中表示出來(lái)。根據(jù)不同齒向變化量將等高線圖中的修形量或誤差分區(qū)進(jìn)行標(biāo)志，可以方便地了解修形量或誤差在螺旋面上的分布情況。如圖5所示，該矩陣以齒輪寬度為橫坐標(biāo)，齒面展開(kāi)長(zhǎng)度為縱坐標(biāo)，得到一個(gè)齒頂在上、齒根在下的齒面展開(kāi)圖。將計(jì)算出的齒向修形量用等高線表示在該矩形內(nèi)，得到修形齒面的等高線表示，圖形中部的修形量為0，等高線以5μm 為間隔，如圖5左上角（即齒輪的左端齒頂）修形量約為45μm，而右下角（即齒輪的左端齒根）修形量約為10μm。

圖6所示為修形量為0.05 mm 時(shí)傳統(tǒng)的采用單一附加徑向運(yùn)動(dòng)后的實(shí)際齒向修形等高線（單位：μm），此時(shí)由于空間接觸線的變異，使得修形后的齒面修形量發(fā)生扭曲變形，且造成左右修形量不對(duì)稱，左端過(guò)修，而右端欠修。

4.3 兩種優(yōu)化方法對(duì)比

為了減小傳統(tǒng)的徑向等效進(jìn)刀法在測(cè)量圓處造成的齒向修形誤差，改善整個(gè)齒面修形磨削誤差分布，本文采用刀位優(yōu)化方法，即在砂輪附加徑向運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)圖4給出的算法流程，動(dòng)態(tài)調(diào)整砂輪附加徑向進(jìn)給值，從而得到最優(yōu)的刀具路徑。

將優(yōu)化后的刀具路徑用于實(shí)際的齒向修形中，即可減小測(cè)量圓處的修形誤差，并能改善齒面上磨削誤差的分布。圖7所示為根據(jù)以上算法流程對(duì)該工件進(jìn)行刀位優(yōu)化后，得到的不同測(cè)量圓處的修形誤差分布曲線。

圖7a所示為當(dāng)rm=513.42 mm 時(shí)，理論修形曲線與實(shí)際修形曲線重合，修形誤差最小，為Δδ=2 μm；圖7b所示為當(dāng)rm=504.42mm（分度圓）時(shí)，修形誤差增大，在測(cè)量齒面的端部最大值為Δδ=6 μm；圖7c所示為當(dāng)rm=495.42 mm 時(shí)，修形誤差較大，并在齒根右側(cè)測(cè)量齒面的端部達(dá)到最大Δδ=12.5μm。

影響不同測(cè)量圓處齒向修形誤差的不同原因，主要是空間接觸曲線上位于測(cè)量圓處的點(diǎn)偏離了端平面，偏離端平面的距離越大，修形誤差就越大，反之修形誤差就越小。例如圖7a中測(cè)量圓上位于接觸線上的點(diǎn)在端面附近，使得修形的誤差值最??；圖7b和圖7c中測(cè)量圓位于接觸線上的點(diǎn)偏離端面的距離不等，造成的修形誤差也不等。

因此，在實(shí)際的斜齒輪齒向修形加工中，從理論上來(lái)說(shuō)，若不通過(guò)機(jī)床和刀具等其他的附加運(yùn)動(dòng)，修形誤差則難以避免，使得不同測(cè)量圓得到的修形曲線不同。為了準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)修形曲線是否滿足修形要求，應(yīng)選取合適的測(cè)量圓半徑，有時(shí)測(cè)量圓不一定在合理的齒面評(píng)價(jià)范圍內(nèi)，但為了在合理的齒面評(píng)價(jià)范圍內(nèi)準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)齒向修形精度，可以通過(guò)額外的附加徑向運(yùn)動(dòng)進(jìn)行刀位軌跡優(yōu)化，使其在測(cè)量圓處滿足齒向修形精度評(píng)價(jià)的要求。

5 磨削實(shí)例

待磨削工件為右旋漸開(kāi)線圓柱斜齒輪，要求齒向做0.05mm 的全鼓形修形。工件具體參數(shù)如表1所示。

為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)采用附加徑向運(yùn)動(dòng)修形造成的磨削誤差，將齒面劃分成6×10的矩陣網(wǎng)格形式，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的誤差為δi；將實(shí)際齒向修形等高線與理論齒向修形等高線進(jìn)行對(duì)比，得到磨削誤差的等高線云圖。圖8a所示為優(yōu)化前實(shí)際的修形誤差等高線圖（單位：μm），由圖可知，位于測(cè)量圓（一般取節(jié)圓處，這里對(duì)應(yīng)Y=14mm）處的修形誤差最大值為7μm，而對(duì)于整個(gè)齒面來(lái)說(shuō)，在齒寬80%的評(píng)價(jià)范圍內(nèi)靠近齒向左側(cè)齒根部分的修形誤差最大，為11 μm，則整齒面的誤差平方和1 642μm2。

表1 工件參數(shù)

如圖8b所示，通過(guò)優(yōu)化算法對(duì)刀具路徑進(jìn)行規(guī)化后，得到測(cè)量圓節(jié)圓處（Y=14 mm）的修形誤差等高線為±1μm，即理論的修形曲線與刀位優(yōu)化后的修形曲線吻合，若不考慮實(shí)際磨削中的其他因素干擾，則滿足測(cè)量圓處的修形精度評(píng)價(jià)要求。而在齒寬80%評(píng)價(jià)范圍內(nèi)的靠近齒向左側(cè)齒頂部分的修形誤差最大，僅為6μm，比刀位優(yōu)化前減小了5 μm，此時(shí)整齒面的誤差平方和，比優(yōu)化前減少了42.3%。

對(duì)比表2可知，采用該方法對(duì)刀位進(jìn)行優(yōu)化，一方面可以消除測(cè)量圓節(jié)圓處的修形誤差，另一方面可以減小齒面嚙合區(qū)域的整體修形誤差，從而進(jìn)一步提高齒向修形的精度。

表2 優(yōu)化前后修形誤差對(duì)比分析

圖9所示為成形磨齒加工及在線測(cè)量實(shí)驗(yàn)，如圖10 所示為齒向和齒廓測(cè)量曲線示意圖。圖中：（A）曲線rce=513.42 mm，（B）曲線rce=504.42 mm，（C）曲線rce=495.42mm。

將優(yōu)化后的刀位軌跡信息輸入自主研發(fā)的某型成形磨齒機(jī)軟件中，得到刀位優(yōu)化后的齒向和齒廓實(shí)際修形量測(cè)量結(jié)果，如圖11所示。將對(duì)應(yīng)點(diǎn)的修形量及修形的誤差大小與圖7進(jìn)行對(duì)比，可得實(shí)測(cè)值與理論值相吻合，此時(shí)測(cè)量圓rce=504.42mm處的修形曲線對(duì)應(yīng)于理論修形曲線，吻合度達(dá)到90%，且其他測(cè)量圓處的誤差較優(yōu)化前減小，從而驗(yàn)證了本文采用的附加徑向運(yùn)動(dòng)齒向修形刀位規(guī)劃方法的可行性。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文從成形磨削的本質(zhì)出發(fā)，研究并求解得到砂輪與工件之間動(dòng)態(tài)的瞬時(shí)空間接觸曲線，精確地表達(dá)了位形空間曲面的動(dòng)態(tài)嚙合特性，并采用逆包絡(luò)法和B樣條逼近得到砂輪廓形的回轉(zhuǎn)曲面。

根據(jù)單參數(shù)曲面包絡(luò)原理，建立了成形磨削齒向修形誤差評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)對(duì)瞬時(shí)接觸線包絡(luò)出的修整齒面與理論齒面的誤差分析，基于嚙合區(qū)域誤差平方和最小的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，提出一種基于動(dòng)態(tài)調(diào)整砂輪附加徑向運(yùn)動(dòng)軌跡的齒向修形刀位優(yōu)化方法。

以一種齒向鼓形修形齒輪為例，通過(guò)模擬和實(shí)驗(yàn)對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證，與傳統(tǒng)的徑向等效進(jìn)刀法相比，該方法可有效消除節(jié)圓處的修形誤差，并可降低整個(gè)嚙合區(qū)域的修形誤差，從而提高齒向修形精度。

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