吳波兵 李瑛

對數(shù)學(xué)應(yīng)用能力及新情境問題考查的思考

吳波兵 李瑛

應(yīng)用能力與創(chuàng)新意識(shí)是更高層次的數(shù)學(xué)能力。本文通過對中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力以及其與數(shù)學(xué)諸能力之間的關(guān)系的闡述，強(qiáng)調(diào)了中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)的重要性。在此基礎(chǔ)上，通過湖南高考對數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和新情境問題考查的探索與實(shí)踐，結(jié)合我國目前對中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)以及高考考查的現(xiàn)狀，對高考考查數(shù)學(xué)應(yīng)用能力及新情境問題提出建議。

高考；數(shù)學(xué)應(yīng)用能力：新情境問題：思考

1 中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力概述

1.1 人類社會(huì)發(fā)展離不開數(shù)學(xué)

華羅庚教授曾說：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、生物之謎、日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)?！泵绹茖W(xué)院院士J.G.Glimm也曾幽默地說：“多年前中國有句話叫‘槍桿子里面出政權(quán)’，現(xiàn)在應(yīng)該是‘高技術(shù)里面出政權(quán)’，而‘高新技術(shù)的基礎(chǔ)是應(yīng)用科學(xué)，而應(yīng)用科學(xué)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)的應(yīng)用’?！币磺杏钪娆F(xiàn)象和規(guī)律的揭示都需要數(shù)學(xué)手段來解決，數(shù)學(xué)在人的一生中如影隨形，人們經(jīng)常性的無意識(shí)、被動(dòng)地在使用著數(shù)學(xué)。

1.2 應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)的應(yīng)用

數(shù)學(xué)源于人類的生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)，正是在數(shù)學(xué)不斷的應(yīng)用中人類社會(huì)才得以不斷進(jìn)步與發(fā)展。數(shù)學(xué)大體上可以分為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)三大類。應(yīng)用數(shù)學(xué)研究現(xiàn)實(shí)生活中具體的數(shù)學(xué)問題，它既采用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的成果，同時(shí)也反過來從實(shí)際中提煉問題。而數(shù)學(xué)的應(yīng)用則通常包括數(shù)學(xué)建模、模型分析與求解以及以某種數(shù)學(xué)理論作為工具解決其他科學(xué)問題（包括解決其他數(shù)學(xué)問題）。因此，數(shù)學(xué)的應(yīng)用需要基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)以及計(jì)算數(shù)學(xué)等知識(shí)，同時(shí)還要對實(shí)際問題的背景有很深入的了解。

1.3 中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與人類生活緊密結(jié)合。新課程教材中許多章節(jié)都是從實(shí)際問題開始導(dǎo)入相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)源于生活，從而使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活緊密相關(guān)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。

中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力要求中學(xué)生具備初步的數(shù)學(xué)建模能力，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)為主。具體表現(xiàn)為：

（1）閱讀理解能力：通過閱讀，理解問題所陳述的材料，并能夠?qū)λ峁┑奈淖植牧线M(jìn)行歸納、整理、分類；

B組：③數(shù)列是B-數(shù)列，④數(shù)列不是B-數(shù)列。

（3）數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力：能夠綜合應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法求解較簡單的數(shù)學(xué)模型，從而解決生產(chǎn)、生活中的簡單問題。

對于中學(xué)生而言，閱讀是基礎(chǔ)，但是需要閱讀理解的材料應(yīng)該符合中學(xué)生的認(rèn)知水平，切忌知識(shí)點(diǎn)過深、篇幅過長以及文字晦澀難懂等，同時(shí)所提供的文字材料應(yīng)是中學(xué)生較熟悉且最好能反映中學(xué)生身邊生活的材料；建模是關(guān)鍵，對較簡單的實(shí)際問題，以及可以用較簡單數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型，中學(xué)生應(yīng)該具備選擇合適的數(shù)學(xué)工具建立數(shù)學(xué)模型的能力；正確求解是重點(diǎn)，一般而言，模型求解包含對數(shù)學(xué)模型的理論分析與計(jì)算以及模型結(jié)果的驗(yàn)證與結(jié)果修正兩個(gè)方面的內(nèi)容，考慮到中學(xué)生的認(rèn)知水平，中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重點(diǎn)應(yīng)為模型的求解。

我省主要畜產(chǎn)品中，“食糧”的生豬產(chǎn)能相對過剩，草食牲畜肉牛和肉羊發(fā)展相對滯后。2017年，我省奶牛和生豬年末存欄量分別占全國比重為13%和5.1%，肉牛和肉羊所占比重僅為全國總量的1.6%和4.6%；全部畜產(chǎn)品中，以初級(jí)產(chǎn)品為主，加工產(chǎn)品比重低，低檔產(chǎn)品多，高端產(chǎn)品少。畜產(chǎn)品發(fā)展結(jié)構(gòu)不平衡一方面將影響我省糧食安全，另一方面，不利于我省畜牧業(yè)轉(zhuǎn)變發(fā)展方式和優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)。

2 中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與數(shù)學(xué)諸能力之間的關(guān)系及其地位與作用

2.1 中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與數(shù)學(xué)諸能力之間的關(guān)系

空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力五種能力屬于中學(xué)數(shù)學(xué)基本能力，而應(yīng)用能力與創(chuàng)新意識(shí)則屬于兩種更高層次的數(shù)學(xué)能力。對中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)主要表現(xiàn)為能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題。應(yīng)用能力不僅需要中學(xué)生同時(shí)具備上述五種數(shù)學(xué)基本能力及其綜合能力，還需要有一定的文字語言閱讀能力以及數(shù)學(xué)語言組織能力，另外一個(gè)不可或缺的因素就是需要關(guān)心身邊的數(shù)學(xué)問題，有一定的生活積累。數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與創(chuàng)新意識(shí)的共同點(diǎn)表現(xiàn)為：①能從題目的條件中提取有用的信息，從題目的求解（或求證）中尋找需要的信息；②能對獲得的信息進(jìn)行分析、歸納、整理與加工。一般而言，數(shù)學(xué)應(yīng)用需要建立較簡單的數(shù)學(xué)模型，在所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)的深度以及理性思維的層次等方面，數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的要求較創(chuàng)新意識(shí)要弱一些。

2.2 數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的地位與作用

數(shù)學(xué)應(yīng)用能力更多屬于技術(shù)與工程，現(xiàn)在流行的一個(gè)口號(hào)“數(shù)學(xué)技術(shù)”更多地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)涵。

隨著信息科學(xué)尤其是計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，包括微積分在內(nèi)的連續(xù)性科學(xué)其相對重要的地位有所弱化，而和應(yīng)用、計(jì)算相關(guān)的數(shù)學(xué)理論與方法尤其是和其他實(shí)用性學(xué)科相結(jié)合的交叉學(xué)科的地位日益突出，顯得越來越重要。

在發(fā)展中國家，數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)更為重要。例如，國際媒體以天河計(jì)算機(jī)的研制成功以及我國高鐵技術(shù)的不斷完善與發(fā)展為例，稱中國為“吸收大國”，這里的“吸收”其本質(zhì)即是應(yīng)用能力，這說明處于趕超階段的國家更需要優(yōu)秀的應(yīng)用能力人才。

3 考查應(yīng)用能力的一些嘗試

從2005年起，湖南理科數(shù)學(xué)卷對應(yīng)用能力的考查，嘗試設(shè)計(jì)“兩大多小”模式，“兩大”中的一道與概率、統(tǒng)計(jì)內(nèi)容相關(guān)，另外一道為傳統(tǒng)應(yīng)用題；文科卷則采用“一大多小”或“兩大一小”模式。湖南主要從以下三個(gè)角度來命制應(yīng)用題：

3.1 關(guān)注自己身邊的數(shù)學(xué)

典型試題分析

（2011年）如圖1所示,長方體物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動(dòng),速度為v（v＞0）,雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c（c∈R）。E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量,假設(shè)其值與|v-c|×S成正比,比例系數(shù)為；（2）其他面的淋雨量之和,其值為。記y為E移動(dòng)過程中的總淋雨量。當(dāng)移動(dòng)距離d=100,面積時(shí),

2013年是牛超創(chuàng)業(yè)的第一年，經(jīng)營的花生拌種劑由于銷售時(shí)忽略了春、夏拌種的區(qū)別，恰又趕上低溫天氣，花生出芽率極低。買藥的種植戶便跑到店里討要說法，牛超了解情況后賠給農(nóng)戶每畝150元的損失費(fèi)。這一賠，就把他在廣州創(chuàng)業(yè)掙來的30萬元的血汗錢白白的搭進(jìn)去了，可他并不后悔。

（Ⅰ）寫出y的表達(dá)式；

（Ⅱ）設(shè) 0＜v≤10,0＜c≤5,試根據(jù)c的不同取值范圍,確定移動(dòng)速度v,使總淋雨量y最少。

表1

本試題原型源于E.A.Bender于20世紀(jì)80年代初出版的《數(shù)學(xué)模型引論》（朱堯辰等譯）一書，后來國內(nèi)許多數(shù)學(xué)建模教材將其作為習(xí)題引入。該問題在20世紀(jì)90年代還曾在電視節(jié)目中作為數(shù)學(xué)趣味大賽試題頻頻亮相。一般提法是：當(dāng)人在雨中行走時(shí)，是否速度越快淋雨量越少？

為使試題內(nèi)容與考生水平相匹配，首先將移動(dòng)物體簡化為長方體，移動(dòng)方向?yàn)檠厮矫娣较颍矬w移動(dòng)速度與雨滴的速度均為勻速運(yùn)動(dòng)等。為了更符合實(shí)際情況并體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過程，初稿中考慮了雨滴沿水平移動(dòng)的方向分速度小于0（與雨滴速度相反）以及分速度大于0（與雨滴速度相同）兩種情況。另外，在假設(shè)雨滴沿其他方向的速度為常數(shù)的前提下，希望考生能夠通過建立與求解數(shù)學(xué)模型，得到單位時(shí)間內(nèi)其他方向的淋雨量之和為常數(shù)的結(jié)論，這樣做勢必增加考生的閱讀量，加大解題難度?？紤]到考生實(shí)際，題中只討論了分速度大于0的情形，并直接假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)其他面的淋雨量之和為某個(gè)常數(shù)值，以適當(dāng)減少思維量和計(jì)算量，有利于考生答題。

解答第（Ⅰ）問時(shí)，考生根據(jù)題設(shè)，利用速度與時(shí)間的關(guān)系容易建立總淋雨量的數(shù)學(xué)表達(dá)式；解答第（Ⅱ）問時(shí)，對于所得到的分段、反比例函數(shù)模型，通過去掉絕對值，利用分段函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，從而求得正確結(jié)論。本題建模較易，難點(diǎn)主要是對c如何分類討論。

3.2 關(guān)注環(huán)境保護(hù)與可持續(xù)發(fā)展

典型試題分析

（2010年）為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊(duì)在某冰川上相距8 km的A,B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地。視冰川面為平面形,以過A,B兩點(diǎn)的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（見圖2）。在直線x=2的右側(cè),考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過km的區(qū)域；在直線x=2的左側(cè),考察范圍為到A,B兩點(diǎn)的距離之和不超過km的區(qū)域。

（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；

（Ⅱ）如圖2所示,設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界）,當(dāng)冰川融化時(shí),邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng),第一年移動(dòng)0.2 km,以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍。求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間。

圖2

本題除了冰川融化等詞語外，大部分文字材料都為中學(xué)生所熟悉。通過閱讀，較易發(fā)現(xiàn)科考隊(duì)考察區(qū)域?yàn)楸恢本€x=2分為左右兩條不同曲線（橢圓和圓）所圍成的區(qū)域。將左端區(qū)域設(shè)置為橢圓主要想法是：以焦點(diǎn)作為大本營，使得科考隊(duì)能夠達(dá)到的最大邊界點(diǎn)距離之和為常數(shù)，便于隊(duì)員之間相互聯(lián)系與后勤補(bǔ)給。

設(shè)計(jì)第（Ⅱ）問時(shí)，遵循“主要考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，不在求解方法上設(shè)置較大障礙”的宗旨，將移動(dòng)速度簡化為等比數(shù)列問題，最短距離轉(zhuǎn)化為直線到曲線的最短距離，而所需要的最短時(shí)間即為兩條邊界線移動(dòng)到曲線需要的最短時(shí)間之較小者。

從試題考查的內(nèi)容分析，本題主要涉及以下知識(shí)點(diǎn)：①圓、橢圓的定義及方程；②直線和橢圓、圓的位置關(guān)系；③兩平行直線間的距離公式；④等比數(shù)列的前n和公式。試題將解析幾何的內(nèi)容和方法與數(shù)列知識(shí)相交匯，體現(xiàn)“從學(xué)科的整體高度上設(shè)計(jì)試題”的思路。

從建模的角度分析，考生只要具備一定的閱讀理解能力，并了解圓、橢圓的定義，就容易求出考察區(qū)域邊界曲線的方程。

從試題解決過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法分析，第（Ⅰ）問需要考生根據(jù)題設(shè)所提供的文字語言，聯(lián)想到它們所表示的圖形，并畫出圖形，再根據(jù)圖形寫出方程。這種由“數(shù)”到“形”，再從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程，著重體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，也體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想；解決第（Ⅱ）問時(shí)，需要將“冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間”的問題轉(zhuǎn)化為“直線分別和橢圓、圓相切”的問題，體現(xiàn)了分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想。

表2

表3

從試題依托的素材及陳述的方式分析，本題背景公平，貼近生活，語言通俗易懂，并基本保持了原有生活化的陳述。另外，已建好的坐標(biāo)系和做好的圖形，降低了該題的難度，體現(xiàn)了對考生的人文關(guān)懷。

從試題體現(xiàn)的教育價(jià)值分析，本題聯(lián)系溫室氣體排放這一全球關(guān)注的熱點(diǎn)問題，引導(dǎo)考生用數(shù)學(xué)眼光關(guān)注社會(huì)，關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問題，具有一定的教育價(jià)值。

（Ⅱ）求二面角D-AC-E的正切值；

4) 核心交換機(jī)CS6509與匯聚交換機(jī)CS3560G之間的鏈路利用率、吞吐量、排隊(duì)時(shí)延:根據(jù)這些指標(biāo)以觀察NIC與Student子網(wǎng)之間的鏈路情況．

3.3 關(guān)注生產(chǎn)與民生

在設(shè)計(jì)傳統(tǒng)應(yīng)用題時(shí)，我們遵循的一般原則是：實(shí)際背景簡明易懂；試題求解分為建立模型與求解數(shù)學(xué)問題兩個(gè)部分，在建模方面不刻意設(shè)置障礙，建模過程盡量簡單，主要考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；求解過程稍微復(fù)雜一些，從知識(shí)和方法上體現(xiàn)一定的深度，以增強(qiáng)其區(qū)分功能。

4 對新情境問題考查的實(shí)踐

高考對新情境問題的考查，既可以體現(xiàn)在創(chuàng)設(shè)試題的新穎情境上，還可以體現(xiàn)在試題的設(shè)問方式上，但更要體現(xiàn)在思維價(jià)值水平上。要構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題，要求考生能綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和研究。高考注重對新情境問題的考查的目的是引導(dǎo)考生重視創(chuàng)新意識(shí)。10年高考試卷對新情境問題的考查，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

治療中利用體表光學(xué)監(jiān)測系統(tǒng)對面部體表進(jìn)行光學(xué)監(jiān)測，每次取3次數(shù)據(jù)均數(shù)作為當(dāng)次數(shù)據(jù)，與Vision RT影像對比后誤差，均值接近于零，最大值為2 mm，最小值為0.6 mm。治療結(jié)束行CBCT驗(yàn)證的位置誤差，均值接近于0，最大值為2.1 mm，最小值為0.8 mm。

4.1 引入新概念或新符號(hào)

1）精準(zhǔn)——就是精準(zhǔn)定位店鋪消費(fèi)人群，不要再想著靠一家店鋪一網(wǎng)打盡18～58歲的消費(fèi)者了，筆者建議店鋪以30歲為區(qū)分線，店鋪品牌結(jié)構(gòu)要不只服務(wù)30歲以上的消費(fèi)者，以進(jìn)口品、高端品為主；店鋪品牌結(jié)構(gòu)要不就只服務(wù)30歲以下的消費(fèi)者，以國產(chǎn)品、潮流品為主；筆者認(rèn)為近年來誕生于浙江、江蘇、山東、河南、安徽等地的一些只銷售進(jìn)口品的連鎖店家就是這種思維的產(chǎn)物；根據(jù)筆者這兩年走訪市場的經(jīng)驗(yàn)可得，縣城和鄉(xiāng)鎮(zhèn)市場額CS渠道70/80后 消費(fèi)者銷售額占比至少在70%以上，縣城和鄉(xiāng)鎮(zhèn)市場的CS社區(qū)店基本上就不要考慮年輕人的生意，因?yàn)樵谑謾C(jī)和互聯(lián)網(wǎng)培養(yǎng)下的年輕人，基本上都是通過網(wǎng)購來購物，去社區(qū)店購物的概率不大。

10年試卷中，涉及新的數(shù)學(xué)概念或符號(hào)的試題見表4：

可見第二個(gè)問題，經(jīng)過學(xué)生自己的觀察與思考后，不難發(fā)現(xiàn)這些經(jīng)一條線段分開得到的兩個(gè)圖形，形狀和大小完全一樣，于是水到渠成地得到了結(jié)論：完全相等的兩個(gè)圖形，它們的周長也相等。

上述新概念或新符號(hào)在試題中的地位不一。少數(shù)只是為了敘述數(shù)學(xué)問題的方便，起到“名詞解釋”的作用，如 2006（理20），2008（理 20），2013（理20）等；大多數(shù)與需考查的中學(xué)數(shù)學(xué)主干內(nèi)容或某種數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力密切相關(guān)，如2005（理10），2008（理10），2009（理21），2010（理15），2011（理16）等。2010年試卷中未設(shè)計(jì)為考“新”而將高等數(shù)學(xué)知識(shí)照搬下放的試題。

表4

續(xù)表

4.2 考查考生探究問題的能力

新課程改革的一個(gè)基本理念是“倡導(dǎo)積極主動(dòng),勇于探索的學(xué)習(xí)方式”。2010年試卷對探究能力的考查，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：（1）考查考生在觀察、試驗(yàn)、類比、歸納、猜想的基礎(chǔ)上形成的發(fā)現(xiàn)力及探索力；（2）考查考生自主提出問題和解決問題的能力。下以幾道高考題為例進(jìn)行說明。

①（2004年）如圖3所示,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=,點(diǎn)E在PD上,且PE∶ED=2∶1。

（Ⅰ）證明：PA⊥平面ABCD；

海德聲科是全球領(lǐng)先的聲學(xué)解決方案及聲音與振動(dòng)分析領(lǐng)域供應(yīng)商HEAD acoustics GmbH在中國設(shè)立的子公司。其產(chǎn)品和服務(wù)廣泛用于汽車、電信、IT設(shè)備、辦公用品和家電行業(yè)的制造商和研究機(jī)構(gòu)，以及在聲音環(huán)保領(lǐng)域的企業(yè)與院所等。HEAD acoustics NVH 部門提供用于多通道聲音與振動(dòng)分析和雙耳記錄與回放的高性能產(chǎn)品及系統(tǒng)，涵蓋聲音與振動(dòng)領(lǐng)域的所有應(yīng)用：NVH、聲品質(zhì)、聲音與振動(dòng)、數(shù)據(jù)采集分析和環(huán)境噪聲等。

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論。

命題時(shí)設(shè)計(jì)一些考生以前沒有學(xué)習(xí)過，但符合學(xué)生認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)的試題，要求考生通過閱讀，正確理解符號(hào)語言或文字語言，并能作進(jìn)一步的運(yùn)算、分析、推理來解決問題，主要目的是測試考生通過獨(dú)立學(xué)習(xí)理解新信息、獲取新知識(shí)、解決新問題的能力。

圖3

本題第(Ⅲ)問采用“是否存在……，使……，證明你的結(jié)論”的設(shè)問方式，要求考生自己探索使結(jié)論“BF∥平面AEC”成立的充分條件。在探索的過程中，需要考生仔細(xì)觀察圖形特征，反復(fù)地進(jìn)行試驗(yàn)和猜想，然后判斷并證明，這主要考查考生的直覺思維以及思維的深刻性、批判性等思維品質(zhì)。

②（2007年）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖4所示的0-1三角數(shù)表。從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第___行；第61行中1的個(gè)數(shù)是___。

習(xí)近平總書記在中共十九大報(bào)告中強(qiáng)調(diào)指出：“要在繼續(xù)推動(dòng)發(fā)展的基礎(chǔ)上，著力解決好發(fā)展不平衡不充分問題，大力提升發(fā)展質(zhì)量和效益，更好滿足人民在經(jīng)濟(jì)、政治、文化、社會(huì)、生態(tài)等方面日益增長的需要，更好推動(dòng)人的全面發(fā)展、社會(huì)全面進(jìn)步?！盵14]這一論述是馬克思關(guān)于人的全面發(fā)展理論在當(dāng)代中國的與時(shí)俱進(jìn)，是對新時(shí)代堅(jiān)持和發(fā)展什么樣的中國特色社會(huì)主義、怎樣堅(jiān)持和發(fā)展中國特色社會(huì)主義這個(gè)重大時(shí)代課題的深刻解答。新時(shí)代中國特色社會(huì)主義的總目標(biāo)、總?cè)蝿?wù)、“五位一體”的總布局、“四位一體”的戰(zhàn)略布局等等，其實(shí)現(xiàn)都離不開人的主體作用。把經(jīng)濟(jì)社會(huì)的全面進(jìn)步與人的全面發(fā)展聯(lián)系起來，已然成為解決人的發(fā)展問題的話語內(nèi)核。

圖4

本題要求考生將楊輝三角數(shù)表轉(zhuǎn)換成0-1三角數(shù)表后，通過深入觀察數(shù)表的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用歸納的思想方法，猜想、發(fā)現(xiàn)數(shù)表中某些規(guī)律，從而獲得結(jié)論。

③（2009年）將正△ABC分割成n2（n≥2，n∈N?）個(gè)全等的小正三角形（圖5，圖6分別給出了n=2，3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別依次成等差數(shù)列。若頂點(diǎn)A，B，C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= __，…，f(n)=___。

圖5

圖6

本題主要考查考生對抽象數(shù)學(xué)問題的閱讀、理解能力以及由特殊到一般的合理推測、歸納推理能力。

|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M，

（Ⅰ）首項(xiàng)為1，公比為q(|q|＜1)的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由；

（Ⅱ）設(shè)Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和。給出下列兩組論斷：

A組：①數(shù)列是B-數(shù)列，②數(shù)列不是B-數(shù)列；

為對本文提出的球面波傳播的頻域分析方法進(jìn)行評估，利用表1給出的波傳播系數(shù)及r1處粒子速度作為輸入量，計(jì)算r2處的粒子速度，并將其和實(shí)測粒子速度進(jìn)行比較。按照粒子速度的頻率響應(yīng)函數(shù)的定義，r2處粒子速度的頻域計(jì)算公式可以寫為[20]

離預(yù)約的時(shí)間還有一個(gè)小時(shí)，李秋光老先生便已趕到約定的地點(diǎn)等候我們。當(dāng)我們匆匆而至，向老先生表達(dá)歉意時(shí)，老先生和藹一笑，讓我們不用介意，趕早不趕晚，只是自己多年習(xí)慣使然。50多年前，寶安人（深圳建市前身）李秋光就是這樣踏著早班車，駛?cè)肓私Y(jié)緣一生的印刷事業(yè)。

（2）數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力：能夠采用合適的“數(shù)學(xué)工具”（包括數(shù)學(xué)公式、算法、表格、圖示等）將“閱讀”內(nèi)容表示成某種“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)通常稱為“數(shù)學(xué)模型”；

請以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

本題將（Ⅰ）問設(shè)計(jì)成結(jié)論不確定的問題，需要考生自己去探索和證明；將第（Ⅱ）問設(shè)計(jì)成開放性問題，考查考生“自主提出問題—探究問題”的思維過程。解答時(shí)，需要考生自由組合命題，判斷其真?zhèn)?，并給出證明。考生選擇的命題組合方式?jīng)Q定了解答問題所涉及方法的繁簡性，這能有效區(qū)分不同考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

生態(tài)循環(huán)經(jīng)濟(jì)的最終目的在于經(jīng)濟(jì)發(fā)展，作為一項(xiàng)系統(tǒng)化的經(jīng)濟(jì)開發(fā)活動(dòng)，它已經(jīng)不再通過單一的模式來讓人們理解和認(rèn)知經(jīng)濟(jì)發(fā)展、保護(hù)環(huán)境與經(jīng)濟(jì)發(fā)展的系統(tǒng)化融合，主要強(qiáng)調(diào)了遵循生態(tài)系統(tǒng)的自然規(guī)律，注重經(jīng)濟(jì)效益的“質(zhì)量化”增長。因此，在這一經(jīng)濟(jì)理念的影響下，國家逐漸形成了良性發(fā)展結(jié)構(gòu)、管理機(jī)制創(chuàng)新和人文內(nèi)涵特色化的生態(tài)文明。

對探究能力的考查，還可從以下幾種角度進(jìn)行考查：（1）給定某個(gè)或多個(gè)結(jié)論，探索多樣化的條件；（2）在給定的條件下，探求多種結(jié)論；（3）利用不同知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別進(jìn)行推廣，探索新的問題。

因此，同伴反饋分為肯定性反饋、指正性反饋和其他三種反饋大類，再細(xì)分為整體肯定、局部肯定、負(fù)面評價(jià)、定位、直接糾錯(cuò)、錯(cuò)誤分析、重述、回應(yīng)、信息補(bǔ)充、提供樣例、理解核實(shí)、解釋需求、提出問題、建議、意見解釋、內(nèi)容解釋、討論邀請、謙辭、反思、移情、概括句、問候、互動(dòng)、祝愿和感謝等25個(gè)子類。

5 進(jìn)一步思考

5.1 命制數(shù)學(xué)應(yīng)用題的困惑

目前，高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的命制面臨“激發(fā)高三學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的熱情難”、“高考應(yīng)用題材料組織難”、“試題難度控制難”三大難題。

由于應(yīng)用題涉及內(nèi)容涵蓋面廣，猜題也較難猜中，因此，各中學(xué)在復(fù)習(xí)時(shí)很少甚至根本不涉及傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題方面的內(nèi)容，致使高三學(xué)生對應(yīng)用題鮮有熱情。事實(shí)上，經(jīng)過近一年的題海戰(zhàn)術(shù)與強(qiáng)化訓(xùn)練，許多學(xué)生解答應(yīng)用題的能力不升反降，2013年湖南高考理科卷應(yīng)用題實(shí)測后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)就是最好的例證。今年數(shù)學(xué)應(yīng)用題中出現(xiàn)的“L路徑”的概念其本質(zhì)就是沿縱橫方向不走回頭路，解答該題只需運(yùn)用絕對值的性質(zhì)，看似是一道比較簡單的試題，但由于高三階段復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生沒有涉及與此相關(guān)的內(nèi)容，導(dǎo)致分?jǐn)?shù)分布并不理想。

盡管高考應(yīng)用題考查內(nèi)容可以涵蓋中學(xué)數(shù)學(xué)的所有主干內(nèi)容，但由于受到學(xué)生認(rèn)知程度以及社會(huì)生活積累等諸多方面因素的影響，命題者選取情景新穎、背景公平以及符合生產(chǎn)生活實(shí)際的素材的難度較大。

我的朋友當(dāng)中，也有嬌嫩的月季花，月月盛開著美麗的花朵，像燈籠一樣高高懸掛的石榴，碧綠的海桐，默默站立的女貞樹……

對于概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題，由于中學(xué)教材對概率統(tǒng)計(jì)只涉及最基本的概念與性質(zhì)，且中學(xué)都有專門訓(xùn)練，所以中學(xué)生普遍反映與該內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用題難度較易。而對于傳統(tǒng)應(yīng)用題，由于中學(xué)生的認(rèn)知水平有限，社會(huì)積累不夠，復(fù)習(xí)訓(xùn)練較少，加之需要閱讀理解以及初步建模，導(dǎo)致命題時(shí)較難控制試題難度，實(shí)測結(jié)果難度往往也較大（近4年傳統(tǒng)應(yīng)用題難度接近0.3），但區(qū)分度較高（近4年傳統(tǒng)應(yīng)用題區(qū)分度位于0.7～0.75）。

5.2 三點(diǎn)建議

除課堂教學(xué)與課外數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)等傳統(tǒng)形式外，我們對培養(yǎng)中學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力考查有以下三點(diǎn)建議：

5.2.1 提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

目前，提高中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力必須具備高水平數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的教師隊(duì)伍。但由于我國開展中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模的研究起步比較晚，一大批中學(xué)教師在高校學(xué)習(xí)期間并沒有接受過這方面的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，導(dǎo)致對數(shù)學(xué)建模概念、建模意識(shí)、建模意義都較模糊。因此，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力首先需要多舉辦中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)研討和科研活動(dòng)，提高中學(xué)教師的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

5.2.2 借鑒國際先進(jìn)理念，重視中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)

自20世紀(jì)80年代初期開始，中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革呈現(xiàn)應(yīng)用性與實(shí)踐性兩大趨勢。自1983年在英國Exeter召開第一屆“數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用教學(xué)國際會(huì)議（ICTMA）”之后，每兩年召開一次ICTMA會(huì)議，2013年在巴西召開了第16屆ICTMA會(huì)議。會(huì)議主旨都是關(guān)于中學(xué)生數(shù)學(xué)建模教學(xué)研討，例如，在第16屆會(huì)議上，我國的5名代表都是探討大學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容，而其他國家的代表至少有70%以上是介紹中學(xué)數(shù)學(xué)建模方面的教學(xué)研討。國際上的一個(gè)廣泛共識(shí)是：中學(xué)時(shí)期開始培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)時(shí)機(jī)最好，否則從大學(xué)開始就已經(jīng)錯(cuò)過了培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的黃金時(shí)期。

美國有一個(gè)非常著名的競賽：國際數(shù)學(xué)建模競賽[包含大學(xué)生和高中生（HiMCM）兩個(gè)層次]，主辦方為COMAP公司，受到美國國家科學(xué)基金會(huì)（NSF）、運(yùn)籌和管理科學(xué)研究所（INFORMS）、美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（MAA）和美國全國數(shù)學(xué)教師委員會(huì)（NCTM）的資助。2013年，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽一共5600多支參賽隊(duì)（每隊(duì)三人組成），其中我國參賽隊(duì)數(shù)達(dá)到5200支之多，占整個(gè)參賽隊(duì)伍90%以上，而美國本土的參賽隊(duì)伍只有365支，不到7%。而一個(gè)有趣的現(xiàn)象是：盡管我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽規(guī)模如此之大，但是和COMAP組織的美國中學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽活動(dòng)相比，其規(guī)模要小許多。正如COMAP中國合作總監(jiān)、美國麻省大學(xué)計(jì)算機(jī)系教授王杰所說：“COMAP舉辦國際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽僅是其‘副產(chǎn)品’，其主打產(chǎn)品為國際高中生數(shù)學(xué)建模競賽?！绷硗庖粋€(gè)典型的例子是美國GRE考試數(shù)學(xué)題，其中應(yīng)用題占25%。另外，在中學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽中獲獎(jiǎng)的學(xué)生在大學(xué)招生時(shí)也將其作為一項(xiàng)指標(biāo)。由此說明美國對中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)要求可見一斑。

自20世紀(jì)90年代以來，北京、上海等地在中學(xué)生中開展了數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競賽等活動(dòng)，但是從全國范圍來看，不如高校數(shù)學(xué)建模競賽活動(dòng)那樣開展的生機(jī)勃勃。一個(gè)重要原因是高校學(xué)生競賽獲獎(jiǎng)可以作為保研的一個(gè)重要指標(biāo)，而中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用知識(shí)競賽獲獎(jiǎng)沒有相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)措施。是否可以通過建議相應(yīng)的評價(jià)機(jī)制，使數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)優(yōu)秀的學(xué)生在自主招生等方面享受到一定的優(yōu)惠。

5.2.3 適度加大應(yīng)用題在高考試卷中的比例

高考是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指揮棒，從高考試題可以明確反映我國中學(xué)數(shù)學(xué)教育對學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)的重視程度。1979—1981年高考試卷中分別有3道，1道，2道應(yīng)用題，1982—1992年高考試卷中基本沒有命制數(shù)學(xué)應(yīng)用題，1993年，隨著提高學(xué)生應(yīng)用能力的呼聲越來越高，高考試卷開始逐年增加數(shù)學(xué)應(yīng)用試題，直到1999年，每年高考應(yīng)用題基本保持“一大一小”或“一大多小”的模式。近年來，隨著概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容引入高考，以及存在前所述的“三難”問題，傳統(tǒng)應(yīng)用題的比重急劇減少。為此，我們可以廣泛開展相關(guān)的研討活動(dòng)，適度加大傳統(tǒng)應(yīng)用試題的命制力度。

[1]中華人民共和國教育部.普通高中語文課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京:人民教育出版社，2003.

[2]湖南省教育考試院.高考湖南卷試題分析[M].長沙：湖南教育出版社，2004，2005，2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013.

Reflections on the Testing of Mathematics Application Ability and Problems Context to the New Situations

WU Bobing and LI Ying

Application ability and consciousness of innovation are higher level of mathematics ability.The paper states the importance of developing mathematics application ability in middle schools through elaborating the relationship between mathematics application ability in middle schools and all kinds of mathematics ability.Based on that,we put foreword some suggestions about the test of mathematics application ability and problems context to the new situations through some exploration and practice combined with the training of mathematics application ability in middle schools and the current college entrance examination of mathematics.

College Entrance Examination;Mathematics Application Ability;Problems Context to the New Situations;Thinking

G405

A

1005-8427(2014)03-0048-10

本文系湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃一般資助課題“高考加強(qiáng)能力考查的創(chuàng)新研究”（課題編號(hào)：XJK012JKB014）的研究成果之一。

吳波兵，男，湖南省教育考試院（長沙 410006）

李 瑛，女，湖南省教育考試院（長沙 410006）