朱永建

（海軍駐蘇州地區(qū)通信軍事代表室 蘇州 215101）

1 引言

當(dāng)前靜態(tài)頻譜分配政策導(dǎo)致了頻譜平均利用率低下的問題，認(rèn)知無線電是一項(xiàng)有望解決該問題的智能無線通信技術(shù)。頻譜感知［1］是認(rèn)知無線電的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，其目的在于尋找當(dāng)前未被主用戶占用的頻譜空穴，供認(rèn)知無線電使用，因此其需要在很寬頻段內(nèi)進(jìn)行搜索，即寬帶頻譜感知。針對寬帶頻譜感知問題，目前研究人員已進(jìn)行了大量研究，提出了一些頻譜感知方法［2］。這些方法可以歸納為兩種實(shí)現(xiàn)途徑，一種是將感知頻段劃分成多個窄帶，然后對各個窄帶進(jìn)行判決，這種方法感知時間過長。另一種途徑是針對寬帶采樣后的信號，估計各個主用戶信號子帶的邊界，從而得到頻譜空穴。本文采用后一種途徑，提出了一種應(yīng)用多抽頭譜估計和小波變換相結(jié)合的寬帶頻譜感知方法，仿真分析了該方法的性能。相對于周期圖估計功率譜再利用小波變換的方法，本文方法具有更好的性能。

2 多抽頭譜估計

周期圖譜估計是一種常用的非參數(shù)功率譜估計方法，給定時間序列x（n），n＝0，1，…，N－1，周期圖采用式（1）對功率譜進(jìn)行估計：

為降低估計方差，還可采用如下平均周期圖估計：

其中N／L為將x（n）順序均勻劃分的分段數(shù)，每段包含L個數(shù)據(jù)，段與段之間不重疊。

在實(shí)際中，周期圖法可以用FFT實(shí)現(xiàn)，由于其實(shí)現(xiàn)簡單，周期圖法獲得了廣泛的應(yīng)用。但是不可避免地存在缺陷，即無法解決估計偏差與方差的矛盾。那么，如何才能通過減少加窗引入的信息丟失來解決該矛盾？答案即為采用多個正交抽頭（窗），即為 多 抽 頭 譜 估 計 方 法［3］（multi－taper spectrum estimation，MTSE）的核心思想。多抽頭譜估計使用的窗為Slepian序列，有時也被稱為離散扁長球面小波函數(shù)［4］。Slepian序列的重要特征在于有限點(diǎn)數(shù)約束下它們的Fourier變換在帶寬2W 內(nèi)具有最大的能量集中度。這使得可以利用譜分辨率來交換譜特征，即可以在不增加估計偏差的情況下減少譜估計方差。換句話說，原有的偏差與方差的折中變成了偏差與分辨率的折中。因此，多抽頭方法可以得到期望功率譜的準(zhǔn)確估計。

令n表示離散時間，給定時間序列x（n），n＝0，1，…，N－1，MTSE估計采用式（3）：

K為可控制多抽頭譜估計方差的自由度。參數(shù)Co以及K的選擇提供了譜分辨率、偏差、方差之間的折中。偏差在很大程度上由最大特征值ρ0（N，W）決定，其值由下式近似給定：

式（5）給出了總旁瓣能量?？偱园昴芰侩S著Co的增加快速減少?；谇皫讉€具有最小旁瓣泄露的特征譜的譜估計由式（6）給定：

雖然低階的特征譜具有很好的偏差性能，但是隨著階數(shù)K趨近于式（4）定義的極限值，特征譜的性能逐漸下降。文獻(xiàn)［5］中采用一系列自適應(yīng)權(quán)重｛dk（f）｝來降低高階特征譜的影響。采用均方誤差優(yōu)化過程，得到如下權(quán)重公式：

其中，S（f）為真實(shí)功率譜，Bk（f）為第k個特征譜的寬帶偏差，E［·］表示求均值，并且具有如下關(guān)系：

其中，σ2為方差：

為采用式（7）計算dk（f），需要知道真實(shí)功率譜S（f）。顯然，如果知道真實(shí)功率譜，就不需要進(jìn)行任何譜估計了。式（7）的作用在于可以建立一個迭代過程用來進(jìn)行自適應(yīng)譜估計：

由此，可以得到如下遞推式：

自適應(yīng)譜估計得到的另一個有用參數(shù)是估計的穩(wěn)定性度量，即：

3 寬帶頻譜感知方法

3.1 功率譜密度的小波變換

在頻譜感知的應(yīng)用中，小波變換［6］用來分析功率譜密度。令φ（f）表示具有m消失矩的緊支撐小波平滑函數(shù)，其m階可微。φ（f）由尺度因子s擴(kuò)展后為

對于二進(jìn)制尺度，s取2的指數(shù)次，即s＝2j，j＝1，2，…，J。令＊表示卷積運(yùn)算，功率譜密度Sx（f）的連續(xù)小波變換為

注意式（16）是針對功率譜Sx（f）進(jìn)行計算的。從接收信號x（t）得到WsSx（f）有兩種途徑。一種是先計算x（t）的自相關(guān)函數(shù)Rx（τ）＝E｛x（t）x（t＋τ）｝，然后計算Rx（τ）的Fourier變換得到Sx（f），最后根據(jù)式（16）得到WsSx（f）。另一種途徑則是先求φs（f）的Fourier反變換得到Φs（τ），并計算Rx（τ）＝E｛x（t）x（t＋τ）｝，然后求得Rx（τ）·Φs（τ），最后求Rx（τ）·Φs（τ）的Fourier變換得到WsSx（f）。

3.2 基于多抽頭譜估計和小波變換的感知方法

寬帶頻譜感知最為關(guān)鍵的問題是如何估計得到各個子帶的邊界｛fn｝。PSDSx（f）在尺度s下的邊界不規(guī)則點(diǎn)定義為WsSx（f）的局部劇烈變化點(diǎn)。函數(shù)的邊界通常由其導(dǎo)數(shù)的形狀表征。WsSx（f）的一階導(dǎo)數(shù)為

其中F｛·｝表示Fourier變換。一階導(dǎo)數(shù)的局部極值點(diǎn)反映了待分析信號（功率譜）的不規(guī)則（畸變）特征［6～7］。因此，可以通過尋找一階導(dǎo)數(shù)絕對值的局部極大值點(diǎn)來確定各個子帶的頻率邊界［7］，即：

在邊界突變劇烈的情況下，W′sSx（f）的局部極值點(diǎn)是能很好反映Sx（f）的突變特性，但是，當(dāng)邊界變換緩慢或受噪聲影響嚴(yán)重的情況下，W′sSx（f）的局部極值點(diǎn)就不能很好地與Sx（f）的突變位置匹配，此時WsSx（f）的局部極值點(diǎn)更能反映Sx（f）的邊界。因此，可以采用如下多尺度小波積［8］：

頻率邊界｛fn｝表現(xiàn)為｜VJSx（f）｜的局部極大值點(diǎn)。Sx（f）的各個子帶邊界通常具有不同的傾斜度，如果采用同一組尺度｛sj｝進(jìn)行分析，則可能會漏掉一些邊界。一種解決途徑是采用多組尺度進(jìn)行分析，然后再對各組尺度下估計所得的邊界進(jìn)行合并。

4 仿真分析

以下對本文方法性能進(jìn)行仿真分析，仿真采用Haar小波，主用戶信號為BPSK和QPSK信號，個數(shù)為3。圖1給出了多尺度小波一階導(dǎo)數(shù)積以及多尺度小波積的性能比較。其中圖1（a）是周期圖譜估計結(jié)果，圖1（b）是多抽頭譜估計結(jié)果，對比可知，多抽頭譜估計更好地保持了功率譜子帶邊界的突變特性。圖1（c）是針對多抽頭譜估計進(jìn)行小波變換的結(jié)果，圖1（d）是最終找到的邊界。由圖可知多尺度小波積在第三組尺度下（s＝2j，j＝7，8，9，10）找到了各個子帶的邊界。

圖1 多組尺度下小波（一階導(dǎo)數(shù)）積

5 結(jié)語

寬帶頻譜感知是認(rèn)知無線電的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。本文在討論多抽頭譜估計和小波變換的基礎(chǔ)上，給出了一種結(jié)合多抽頭譜估計和小波變換的寬帶頻譜感知方法，利用了多尺度小波積。仿真結(jié)果表明在功率譜子帶邊界突變不是非常劇烈的情況下，該方法能夠找到主用戶信號頻率邊界，從而找到頻譜空穴。

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