朱雪凌，張翠影，趙臣鵬，劉林飛

(華北水利水電大學(xué)，河南 鄭州450045)

牛頓法具有較好的收斂性，在解最優(yōu)潮流時必須用到Hessian 矩陣［1］的逆矩陣，其存儲量及計算量大，使問題變得復(fù)雜，因而如何簡化成為首要問題.

1984年，臺灣學(xué)者Sun D I 等［2］提出應(yīng)用二次罰函數(shù)的牛頓法處理該問題. 該算法不用區(qū)分狀態(tài)變量和控制變量，充分利用電力網(wǎng)絡(luò)的物理特征，運用Hessian 矩陣的導(dǎo)納稀疏結(jié)構(gòu)，把等式約束條件和不等式約束條件［3］用Lagrange 乘子引入到目標(biāo)函數(shù)中，直接對拉格朗日函數(shù)的Karush-Kuhn-Tucker 條件［4］(簡稱KKT 條件)進行牛頓法迭代求解，不等式約束用二次罰函數(shù)來處理. 文中采用二次罰函數(shù)的牛頓法來求解最優(yōu)潮流，并經(jīng)試驗驗證了該方法具有很強的實用性及經(jīng)濟性.

1 牛頓法的數(shù)學(xué)模型

1.1 非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型

典型的非線性規(guī)劃問題［5］就是求解目標(biāo)函數(shù)的極大值或極小值問題，文中所求的是極小值，數(shù)學(xué)模型可表示為:

1.2 牛頓法的描述

只考慮等式約束g(x)= 0 時，Lagrange 函數(shù)可表示為

其中λ 是Lagrange 乘子［6］，

根據(jù)庫恩－ 塔克條件［7］，在極小值點(x*，λ*)進行Taylor 展開:

將二次項及高次項忽略，式(5)變?yōu)?/p>

式中H 和J 分別為Hessian 和Jacobian 矩陣.

將等式約束g(x)= 0 在變量初始值x0處進行Taylor 展開:

忽略二次項與高次項得:

由式(6)和式(7)得:

式(8)則為求等式約束非線性規(guī)劃問題的牛頓修正方程式［8］.而不等式約束條件h(x)≥0，用二次罰函數(shù)［9］來處理，擴展后的Lagrange 函數(shù)表示為

式中:Ci為罰因子［10］;i 為不等式約束的個數(shù).把

作為擴展目標(biāo)函數(shù)，考慮不等式約束后的牛頓修正方程為

可見，不等式約束只影響Hessian 矩陣系數(shù)和等式的右側(cè).

2 最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型

2.1 最優(yōu)潮流

最優(yōu)潮流(OPF)問題［11］是一個典型的帶約束條件的非線性優(yōu)化問題，進行最優(yōu)潮流計算時，一般以系統(tǒng)發(fā)出有功、無功成本最小為目標(biāo)函數(shù)，其數(shù)學(xué)模型為

式中fpi(Pgi)，fqi(Qgi)為機組i 的燃料耗費.

2.2 約束條件

等式約束條件為

式中:Pgi，PLi分別為機組i 有功出力和有功負(fù)荷;Qgi，QLi分別為機組i 無功出力和無功負(fù)荷;P(V，θ)，Q(V，θ)分別為有功和無功網(wǎng)損. 式(12)和式(13)也是節(jié)點潮流方程［12］.

2.3 不等式約束

不等式約束條件為

3 算法步驟

算法步驟如下:

1)輸入原始數(shù)據(jù)，給出初始值θ0，V0，λP0，λQ0;

2)節(jié)點進行優(yōu)化排隊;

3)形成Hessian 矩陣和Jacobian 矩陣，進行懲罰修正;

4)求解修正方程，得出:

5)求得步驟4 中結(jié)果看是否符合庫恩－塔克條件，若符合則結(jié)束運算，否則返回到第2 步;

6)停止運算.

4 實例計算

以IEEE14［14］節(jié)點標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)為例，運用MATLAB 編程進行最優(yōu)潮流計算，所得支路節(jié)點和母線最優(yōu)潮流結(jié)果見表1和表2. 該算法求得的最優(yōu)潮流收斂時間在5. 52 s 以內(nèi)，系統(tǒng)的發(fā)電成本為8 081.53 |S/h. 由此可以看出，該算法收斂速度較快，求得的發(fā)電成本較低.

表1 支路節(jié)點最優(yōu)潮流計算結(jié)果

表2 母線最優(yōu)潮流計算結(jié)果

5 結(jié) 語

由試驗數(shù)據(jù)看出:對于復(fù)雜的電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流問題，牛頓法可以較為精確地求出計算的結(jié)果;用二次罰函數(shù)處理不等式約束條件，使復(fù)雜問題簡單化.同時，二次罰函數(shù)的牛頓法的收斂性較好，運算速度較快，求得的發(fā)電成本較低，具有很強的經(jīng)濟性與實用性，適合求解大系統(tǒng)的最優(yōu)潮流問題.

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