陳朝陽

在高三復(fù)習(xí)到導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)的時(shí)候，有關(guān)已知不等式恒成立求參數(shù)范圍問題是學(xué)生感覺到比較困難的一類問題，這個(gè)問題是近幾年各省份高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題.針對(duì)這一問題，我們備課組通過微型課題的方式，集中研討，再將其反饋給學(xué)生，取得了較好的教學(xué)效果.下面對(duì)這一問題，以2010年全國(guó)新課標(biāo)卷理科21題的第二小問為背景，從不同角度分析這類問題的思考方向，供同行參考.

題目：設(shè)函數(shù)f（x）=e■-1-x-ax■.

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍.

這一道題看似簡(jiǎn)單，其實(shí)是命題經(jīng)過深思熟慮命制的試題，尤其是第二問，命題者給出的答案非常巧妙并且頗有思辨性，我們先看下命題組給出的解法.

解法一：f′（x）=e■-1-2ax，由于e■≥x+1，f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，

（i）若1-2a≥0，即a≤■時(shí)，當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）≥0，而f（0）=0，于是，有f（x）≥f（0）=0；

（ii）若a>■時(shí)，由于x≠0時(shí)，e■>x+1，可得e■>1-x，e■-1>-x，所以，-2ax<2a（e■-1），f′（x）

當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f′（x）<0，而f（0）=0，于是存在x∈（0，ln2a），

使得f（x）■時(shí)，f（x）≥0在[0，+∞）不恒成立，

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，■].

這種解法充分利用了第一小問得到的結(jié)論，即e■≥x+1，這也是高中導(dǎo)數(shù)涉及放縮問題常用的一個(gè)重要不等式.這種將已證結(jié)論作為條件的方法是高考導(dǎo)數(shù)問題中的常用方法.

解法二：f′（x）=e■-1-2ax，令g（x）=f′（x），則g′（x）=e■-2a.由于x≥0時(shí)，e■≥i，若a≤■時(shí)，g′（x）≥0（等號(hào)僅當(dāng)x=0時(shí)成立），

所以，g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且g（0）=0，

因此，當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，且f（0）=0，

所以，f（x）≥f（0）=0；

若a>■時(shí)，由g′（x）=e■-2a=0，得到x=ln2a，

∴x∈（0，ln2a），g′（x）<0；x∈（ln2a，+∞），g′（x）>0.

從而y=f′（x）在（0，ln2a）上單調(diào)遞減，在（ln2a，+∞）上單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，有f′（x）

于是，當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，有f（x）

綜上可知，a的取值范圍是（-∞，■].

這種解法是學(xué)生最容易想到的解法，也是恒成立問題中最常見的方法.在這種解法中，應(yīng)強(qiáng)調(diào)參數(shù)a的臨界值的取得技巧.

解法三：參變量分離法

（Ⅱ）（i）若x=0時(shí)，f（x）≥0成立時(shí)，a是任意實(shí)數(shù)；

（ii）若x>0時(shí)，f（x）≥0等價(jià)于a≤■-■-■，令g（x）=■，

令K（x）=e■-x-1-■x■，K′（x）=e■-1-x，由于e■≥x+1，K′（x）≥0，

K（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，即在[0，+∞）上是增函數(shù)，且K（0）=0，

K（x）≥K（0）=0，即e■≥1+x+■x■，而g（x）=■>■=■，

即a≤■，綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，■].

這種方法是求解恒成立問題的常見方法，分離參數(shù)問題不大，難點(diǎn)在函數(shù)K（x）的構(gòu)造，這個(gè)背景是e■的泰勒展開式.

解法四：利用極限思想

（Ⅱ）（i）若x=0時(shí)，f（x）≥0成立時(shí)，a是任意實(shí)數(shù)；

（ii）若x>0時(shí)，f（x）≥0等價(jià)于a≤■-■-■，令g（x）=■，由（Ⅰ）知e■≥x+1（僅x=0等號(hào)成立），所以g（x）=■>0，g′（x）=■.

因?yàn)閤>0，要g′（x）>0，只需（e■+1）x-2（e■-1）>0，

現(xiàn)在設(shè)h（x）=（e■+1）x-2（e■-1），即只需h（x）=xe■-2e■+x+2>0（x>0），又h（0）=0，則只需h′（x）>0（x>0）.

（1）當(dāng)x≥1時(shí)，

因?yàn)閔′（x）=e■+xe■-2e■+1=xe■-e■+1=e■（x-1）+1>（x+1）（x-1）+1=x■>0，

即h′（x）>0.

（2）當(dāng)0

因?yàn)閔′（x）=e■+xe■-2e■+1

=xe■-e■+1

=e■（x-1）+1

此時(shí)，令t（x）=e■（x-1）+1，則t′（x）=xe■>0，

所以t（x）>t（0）=0，

綜上所述：h（x）>h（0）=0.

所以g′（x）=■=■>0，

則g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，

因此，a≤■g（x）=■■=■■=■■=■，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是（-∞，■].

這種解法在變量分離后能得出所構(gòu)造的函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，但是沒有最小值，這個(gè)時(shí)候需要求極限，由于用到了大學(xué)中的洛必達(dá)法則，這種方法不提倡，但對(duì)于參數(shù)a的臨界值的取得是一種思路.

解法五：結(jié)合函數(shù)圖像

作出函數(shù)y=e■（x≥0）的圖像，其在點(diǎn)P（0，1）處的切線為y=x+1，由x≥0時(shí)f（x）≥0得到，e■≥1+2ax，直線y=1+2ax是過定點(diǎn)P（0，1）的一條直線，通過圖像可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，■].

這種解法學(xué)生容易接受，但在高考解答題中慎用以形代替證明.原因有二：一是本題就是要證明圖像所表示的結(jié)論；二是萬一圖像法沒做出來中間的過程分是沒有的.但是，利用圖像，先找出參數(shù)a的臨界值，在結(jié)合代數(shù)證明，這也是值得向?qū)W生推介的.

通過上述幾種方法，對(duì)已知不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的解題思路，應(yīng)該是一種啟發(fā).下面給出了近幾年的高考和自主招生中相關(guān)的問題.

練習(xí)1.（2011年高考全國(guó)新課標(biāo)理）已知函數(shù)f（x）=■+■，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f（x）>■+■，求k的取值范圍.

練習(xí)2.（2010年南開大學(xué)自主招生）已知函數(shù)f（x）=sinx（x≥0），g（x）=ax（x≥0）.

（1）若f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)a取（1）中的最小值時(shí)，求證：g（x）-f（x）≤■x■.

參考答案：

練習(xí)1：解析：（Ⅰ）f′（x）=■-■

由于直線x+2y-3=0的斜率為-■，且過點(diǎn)（1，1），故f（1）=1，f′（1）=-■，

即b=1，■-b=-■，

解得a=1，b=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=■+■，所以

f（x）-（■+■）=■（21nx+■）.

考慮函數(shù)h（x）=2lnx+■（x>0），則h′（x）=■.

（i）設(shè)k≤0，由h′（x）=■知，當(dāng)x≠1時(shí)，h′（x）<0，h（x）遞減.而h（1）=0，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）>0，可得■h（x）>0；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）<0，可得■h（x）>0

從而當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f（x）-（■+■）>0，即f（x）>■+■.

（ii）設(shè)00，對(duì)稱軸x=■>1.當(dāng)x∈（1，■）時(shí)，（k-1）（x■+1）+2x>0，故h′（x）>0，而h（1）=0，故當(dāng)x∈（1，■）時(shí)，h（x）>0，可得■h（x）<0，與題設(shè)矛盾.

（iii）設(shè)k≥1.此時(shí)x■+1≥2x，（k-1）（x■+1）+2x>0？圯h′（x）>0，而h（1）=0，故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）>0，可得■h（x）<0，與題設(shè)矛盾.

綜合得，k的取值范圍為（-∞，0].

練習(xí)2：（1）解：令h（x）=sinx-ax（x≥0），則h′（x）=cosx-a.

若a≥1，h′（x）=cos x-a≤0，h（x）=sin x-ax（x≥0）單調(diào)遞減，h（x）≤h（0）=0，則sin x≤ax（x≥0）成立.

若0

h′（x）=cos x-a>0，h（x）=sin x-ax（x∈（0，x■））單調(diào)遞增，h（x）>h（0）=0，不合題意，

結(jié)合f（x）與g（x）的圖像可知a≤0顯然不合題意，

綜上可知，a≥1.

（2）證明：當(dāng)a?。?）中的最小值1時(shí)，g（x）-f（x）=x-sin x.

設(shè)H（x）=x-sin x-■x■（x≥0），則H′（x）=1-cos x-■x■.

令G（x）=1-cos x-■x■，則G′（x）=sin x-x≤0（x≥0），

所以G（x）=1-cos x-■x■在[0，+∞）上單調(diào)遞減，

此時(shí)G（x）=1-cos x-■x■≤G（0）=0，即H′（x）=1-cos x-■x■≤0，

所以H（x）=x-sin x-■x■（x≥0）單調(diào)遞減.

所以H（x）=x-sin x-■x■≤H（0）=0，

即x-sin x-■x■≤0（x≥0），即x-sin x≤■x■（x≥0）.

所以，當(dāng)a?。?）中的最小值時(shí)，g（x）-f（x）≤■x■.