徐麗珍， 何常香

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 基本定義

式中，I為n 階單位矩陣.

如果連通圖G 的邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)，則稱G 為單圈圖；如果連通圖G 的邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)加1，則稱G為雙圈圖.G－e表示由G 刪去邊e后得到的圖.

定義1［1］設(shè)H 是圖G 的一個(gè)生成子圖，若H的連通分支是樹，或者是圈長(zhǎng)為奇數(shù)的單圈圖，則稱H 是圖G 的一個(gè)TU－子圖；若H 恰有c個(gè)圈長(zhǎng)為奇數(shù)的單圈分支和s個(gè)樹分支T1，T2，…，Ts，則定義表示樹Ti的階數(shù).

引理1［1］設(shè)Hi為圖G 中所有具有i 條邊的TU－子圖集合，則式（1）中p0（G）＝1，

在引理1中，由于Hi的確定比較困難，所以，pi（G）也很難被確定.文獻(xiàn)［1］給出了無(wú)符號(hào)拉普拉斯特征多項(xiàng)式系數(shù)p1（G）和p2（G）的表達(dá)式.文獻(xiàn)［2］給出了p3（G）的表達(dá)式.文獻(xiàn)［3］給出了經(jīng)刪邊、剖分及移鄰等變換后所得圖G′的pi（G′）的絕對(duì)值與原圖pi（G）的絕對(duì)值的大小關(guān)系，并以此為工具，確定了無(wú)符號(hào)拉普拉斯特征多項(xiàng)式系數(shù)絕對(duì)值最小的單圈圖.更多關(guān)于系數(shù)的研究見(jiàn)文獻(xiàn)［4－9］.現(xiàn)主要研究雙圈圖的無(wú)符號(hào)拉普拉斯特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng).

2 雙圈圖的分類

設(shè)B（n）為所有n 階雙圈圖的集合，不含懸掛點(diǎn)的雙圈圖有B（r，s，l）和B（Pk，Pl，Pt）這兩類，如圖1所示.

易見(jiàn)Bn（n）＝B1（n）∪B2（n）.

圖1 B（r，s，l）和B（Pk，Pl，Pt）Fig.1 B（r，s，l）and B（Pk，Pl，Pt）

3 雙圈圖的無(wú)符號(hào)拉普拉斯系數(shù)pn（G）

現(xiàn)主要給出兩類雙圈圖的無(wú)符號(hào)拉普拉斯特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng).

定義4 設(shè)圖G 是n 階連通圖，e＝v1v2是圖G的一條非懸掛邊，在圖G 中的點(diǎn)v1處添加一條懸掛邊，再將邊e收縮（即將點(diǎn)v1和v2粘合）后得到一個(gè)新的n階連通圖G′＝τ（G，1，2）.

定理1 設(shè)G∈B1（n），則

證明 由引理1可知

若H∈Hn，則H 為G 的邊數(shù)為n＋1－1＝n 的TU－子圖，即存在e∈E（G）使得H ＝G－e；若e?E（），則G－e?Hn.以下假設(shè)e∈E），按r，s的奇偶性進(jìn)行討論.

情形1 若r，s均為偶數(shù).

此時(shí)Hn＝φ，從而有pn（G）＝0.

情形2 若r，s的奇偶性不同.

不失一般性，不妨設(shè)x＝r 為偶數(shù)（即Cr為偶圈）.只有當(dāng)e∈E（Cr）時(shí)，H＝G－e才是G 的TU－子圖，并且此時(shí)的W（H）＝4，從而有

情形3 若r，s均為奇數(shù).

若e不在圈上，則G－e是G 的含2個(gè)奇單圈分支的TU－子圖，故W（H）＝42；若e在圈上，則Ge是G 的恰有1個(gè)奇單圈分支的TU－子圖，且W（H）＝4.綜上

由定理1的結(jié)論可知，收縮加懸掛邊后雙圈圖中圈的奇偶性發(fā)生改變，所以，圖的無(wú)符號(hào)拉普拉斯特征多項(xiàng)式系數(shù)pn（G）的大小關(guān)系很難確定.

例1 設(shè)圖G 的階數(shù)為n＝9，圖G′和G″是由圖G 收縮邊v1v2加一條懸掛邊于點(diǎn)v1而得到的，如圖2和3所示.

圖2 圖G1和圖G′＝τ（G1，1，2）Fig.2 Graph G1and G′＝τ（G1，1，2）

圖3 圖G2和圖G″＝τ（G2，1，2）Fig3 Graph G2and G″＝τ（G2，1，2）

顯然pn（G1）＝pn（G2）＝－16，pn（G′）＝－（4×5＋4×3＋42×1）＝－48，pn（G″）＝0，pn（G1）≥pn（G′），pn（G2）≤pn（G″）.

定理2 設(shè)G∈B2（n），則

式中，x，y 為k，l，t中奇偶性相同的2個(gè)數(shù).

證明 由引理1可知

若H∈Hn，則H 為G 的邊數(shù)為n＋1－1＝n 的TU－子圖，即存在e∈G 使得H ＝G－e；若e?，則G－e?Hn.以下假設(shè)e∈，按k，l，t的奇偶性進(jìn)行討論.

情形1 若k，l，t這三者的奇偶性相同.

不失一般性，不妨假設(shè)k，l，t均為偶數(shù)，此時(shí)Hn＝φ，從而有pn（G）＝0.

情形2 若k，l，t這三者的奇偶性不完全相同.不妨設(shè)x＝l，y＝t為偶數(shù)，k為奇數(shù).

若e在x 到y(tǒng) 的長(zhǎng)為k 的路中，則G－e不是TU－子圖；若e在x 到y(tǒng) 的長(zhǎng)為l或t的路中，則G－e是G 的恰有一個(gè)奇單圈分支的TU－子圖，故W（H）＝4.綜上

由定理1和定理2可知，對(duì)于非二部雙圈圖，pn（G）的絕對(duì)值有最小值16.由定理1和r≥3，s≥3可知，當(dāng)r＝4或s＝4時(shí)，pn（G）的絕對(duì)值取到最小值16，即非二部雙圈圖的pn（G）的絕對(duì)值取到最小值16時(shí)，第一類雙圈圖B1（n）必含有1個(gè)C4圈和1個(gè)奇單圈；由定理2可知，當(dāng)x＝1，y＝3或x＝2，y＝2時(shí)，pn（G）的絕對(duì)值取到最小值16，即非二部圖pn（G）的絕對(duì)值取到最小值16時(shí)，第二類雙圈圖B2（n）必含有1個(gè)C4圈和1個(gè)奇單圈.同時(shí)，由以上定理可知，雙圈圖的無(wú)符號(hào)拉普拉斯特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)只與圈長(zhǎng)的奇偶性有關(guān).

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