呂 威，吳秀山，胡 明，郇昌紅

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，浙江杭州310018)

自從20世紀(jì)80年代可編程邏輯門陣列(FPGA)被發(fā)明以來(lái)，它被廣泛地用作設(shè)計(jì)中等符合邏輯和不太復(fù)雜的狀態(tài)機(jī)設(shè)計(jì)，且只能用在數(shù)據(jù)處理非常有限的的任務(wù)中。隨著FPGA的容量、性能、運(yùn)行速度等指標(biāo)的提高，F(xiàn)PGA可以被用在越來(lái)越高端的應(yīng)用中，例如在需要并行處理數(shù)據(jù)和對(duì)速度要求很高的系統(tǒng)中，由于基于FPGA系統(tǒng)的并行性，其處理速度往往快于在通用處理器上的軟件實(shí)現(xiàn)。FPGA現(xiàn)在已經(jīng)被普遍的應(yīng)用在數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中。同時(shí)FPGA具有的在系統(tǒng)可編程的特性使得基于FPGA的設(shè)計(jì)成為在線可編程系統(tǒng)。FPGA也被用在了以前只能使用專用集成電路(ASIC)和微處理器才能實(shí)現(xiàn)的應(yīng)用中，因?yàn)樗梢蕴峁┫嗤男阅?、低功耗、更短的研發(fā)周期和較低的開(kāi)發(fā)成本［1－4］。

在一個(gè)用于脈沖寬度調(diào)制(PWM)的數(shù)模轉(zhuǎn)換器(ADC)中，該系統(tǒng)的數(shù)字部分可以比較經(jīng)濟(jì)地在ALTER公司的AFlex10K器件上實(shí)現(xiàn)，使用這個(gè)裝置可以迅速地對(duì)有功功率、無(wú)功功率和視在功率進(jìn)行測(cè)量。這個(gè)功率分析儀在FPGA上實(shí)現(xiàn)，可以對(duì)單相功率進(jìn)行測(cè)量，所占用的資源大概為該器件上60%的邏輯單元。所有的操作都是并行執(zhí)行的，所以響應(yīng)的時(shí)間非常短。為了得到正確的測(cè)量值，所有的信號(hào)必須先通過(guò)一個(gè)有限脈沖響應(yīng)濾波器(FIR)。在硬件上FIR濾波器比無(wú)限脈沖響濾波器(IIR)更容易實(shí)現(xiàn)，這是因?yàn)镕IR濾波器具有更簡(jiǎn)單和規(guī)則的結(jié)構(gòu)，但是要達(dá)到相同的濾波效果，F(xiàn)IR濾波器往往比IIR濾波器具有更高的階數(shù)，所以需要占用更多的硬件資源，所以在FPGA上實(shí)現(xiàn)FIR濾波器需要考慮速度、面積和功耗等約束條件，這就是為什么會(huì)提出一種不含乘法器模塊的 FIR 濾波器的原因［1，5－6］。

1 FIR濾波器

具有固定系數(shù)的FIR濾波器是線性時(shí)不變數(shù)字濾波器，突出特點(diǎn)是其單位取樣響應(yīng)h(n)是一個(gè)N點(diǎn)長(zhǎng)的有限序列，0≤n≤N－1，濾波器的輸出y(n)可以表示為輸入x(n)和單位響應(yīng)f(n)的線性卷積

對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，Z變換可以更方便地表示為

式中:F(z)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其表達(dá)式為

L階線性時(shí)不變FIR濾波器可以用圖1表示，實(shí)現(xiàn)1個(gè)數(shù)字濾波器需要的運(yùn)算單元有加法器、乘法器和延遲單元等。乘法器為固定系數(shù)乘法器，該系數(shù)被稱作階權(quán)，歷史上FIR濾波器也被稱作橫向?yàn)V波器，是由于它的抽頭延遲線結(jié)構(gòu)［7－9］。

數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)質(zhì)是數(shù)值運(yùn)算，這些運(yùn)算可以在計(jì)算機(jī)上用軟件實(shí)現(xiàn)，也可以通過(guò)硬件實(shí)現(xiàn)。無(wú)論哪種方式，運(yùn)算過(guò)程中的一些系數(shù)、信號(hào)序列及結(jié)果都要以二進(jìn)制形式存儲(chǔ)在有限字長(zhǎng)的單元中。為了在FPGA器件中實(shí)現(xiàn)FIR濾波器，需要對(duì)乘法器的系數(shù)進(jìn)行量化，如果乘法器的系數(shù)為整數(shù)的二次冪，或者是可以用兩項(xiàng)或者三項(xiàng)二次冪表示，那么乘法器可以用移位寄存器替換。由于以前基于兩項(xiàng)二次冪之和的系數(shù)替換誤差較大，擴(kuò)展到三項(xiàng)二次冪之和，并且計(jì)算了誤差。圖2為用加法器和移位寄存器替換的乘法器結(jié)構(gòu)，乘法器的系數(shù)可以表示為

圖1 直接型FIR濾波器

式中:ai，k范圍是{－1，1};bi，k范圍是 {－t，…，0，…，u}，t和u決定了系數(shù)的動(dòng)態(tài)范圍，t和u越大近似值越接近于真實(shí)值［5］。

圖2 系數(shù)為二次冪之和的運(yùn)算單元

2 系數(shù)計(jì)算

濾波器的系數(shù)計(jì)算通過(guò)ALTERA公司的軟件FIR編輯器或者其他專用軟件來(lái)獲得，一旦得到了該系數(shù)就可以將這些系數(shù)進(jìn)行二次冪之和轉(zhuǎn)換。

提出的轉(zhuǎn)換系數(shù)的算法如圖3所示，該算法將濾波器中乘法器的系數(shù)轉(zhuǎn)換成二次冪的三項(xiàng)之和，如果將算法中的條件(i＞2)替換成(i＞1)，則該算法可以很方便地將系數(shù)轉(zhuǎn)換成二次冪的兩項(xiàng)之和。

流程圖中，a［i，k］和b［i，k］分別表示的是式(4)中的系數(shù)ai，k和bi，k，該算法有2 個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，i循環(huán)計(jì)算的是向量a［i，k］和b［i，k］，k循環(huán)用來(lái)計(jì)算濾波器中每個(gè)乘法器的系數(shù)。該算法的主要思想是計(jì)算系數(shù)f［k］的基于2的對(duì)數(shù)，在輸入口的f［k］為乘法器的系數(shù)值。在第一步中，計(jì)算取決于系數(shù)的b［0，k］的二次冪的差，a［i，k］的取值－1或者1由有符號(hào)數(shù)f［k］除以f［k］的絕對(duì)值得到。

隨著i值的增大，剩余的系數(shù)a［i，k］和b［i，k］相繼被計(jì)算出。如果在某個(gè)節(jié)點(diǎn)或者是輸入點(diǎn)，b［i，k］等于乘法器系數(shù)的字長(zhǎng)n，濾波器的乘法相當(dāng)于乘以系數(shù)0，因?yàn)榇藭r(shí)濾波器的階數(shù)為0。濾波器也相當(dāng)于進(jìn)行n位移位運(yùn)算，在這個(gè)運(yùn)算中，移位的方向并不重要，因?yàn)椴还茏笠七€是右移計(jì)算的結(jié)果都為0。當(dāng)i＞2時(shí)，此時(shí)k的值增加，下一個(gè)乘法器的的系數(shù)將被進(jìn)行近似轉(zhuǎn)換，由于在FPGA上實(shí)現(xiàn)該算法的復(fù)雜性，這些系數(shù)的轉(zhuǎn)換將完全在外部進(jìn)行，并且將計(jì)算得到的結(jié)果在FPGA的隨機(jī)存儲(chǔ)器上配置。

圖3 乘法器系數(shù)的轉(zhuǎn)換算法

3 測(cè)試結(jié)果

基于以上提出的系數(shù)近似轉(zhuǎn)換算法，對(duì)比了二次冪的兩項(xiàng)和三項(xiàng)和對(duì)乘法器系數(shù)轉(zhuǎn)換誤差的區(qū)別，圖4描繪了在計(jì)算過(guò)程中將系數(shù)轉(zhuǎn)換成二次冪的兩項(xiàng)或者三項(xiàng)和的相對(duì)誤差?？梢钥吹剑绻麑⒁粋€(gè)字長(zhǎng)為8位的系數(shù)用二次冪的兩項(xiàng)之和來(lái)表示，那么相對(duì)誤差最多可達(dá)10.3%，而用二次冪的三項(xiàng)之和來(lái)近似該系數(shù)時(shí)，相對(duì)誤差將會(huì)低很多，最大誤差為2.3%。如果乘法器系數(shù)字長(zhǎng)為12位，用二次冪的兩項(xiàng)之和的最大誤差將達(dá)到10.8%，二次冪的三項(xiàng)之和的最大誤差為2.6%。

圖4 二次冪的兩項(xiàng)和三項(xiàng)和近似誤差(截圖)

表1給出了幾個(gè)整數(shù)系數(shù)的轉(zhuǎn)換，可以看出將乘法器的系數(shù)用二次冪的三項(xiàng)之和來(lái)進(jìn)行近似，精確度將遠(yuǎn)大于用二次冪的兩項(xiàng)之和進(jìn)行近似。

表1 系數(shù)轉(zhuǎn)換的例子

在MATLAB軟件上對(duì)以上提出的濾波器進(jìn)行仿真，圖5的結(jié)果是一個(gè)15階的高通FIR濾波器的幅值響應(yīng)，濾波器中乘法器的系數(shù)被量化到8位整數(shù)的精度，圖中顯示了系數(shù)量化前和系數(shù)近似為二次冪的兩項(xiàng)或三項(xiàng)之和時(shí)的幅度響應(yīng)，圖中可以看出，將系數(shù)近似為二次冪兩項(xiàng)之和后濾波器的阻帶與系數(shù)量化前的阻帶有很大的區(qū)別。

圖5 三種不同系數(shù)編碼的高通濾波器幅度響應(yīng)(截圖)

不過(guò)在有些情況下，將乘法器系數(shù)近似為二次冪的兩項(xiàng)之和的濾波器可能在幅度響應(yīng)上比系數(shù)近似為二次冪的三項(xiàng)之和更為準(zhǔn)確，但是對(duì)于在FPGA上硬件資源的占用來(lái)說(shuō)，將系數(shù)近似為二次冪的三項(xiàng)之和可以更加節(jié)約資源。

圖6為一個(gè)13階的低通FIR濾波器的幅度響應(yīng)，可以看到只有在歸一化頻率為0.8～0.85時(shí)，將系數(shù)近似為兩項(xiàng)二次冪之和的幅度響應(yīng)比將系數(shù)近似為三項(xiàng)二次冪之和的幅度響應(yīng)更為精確。

圖6 三種不同系數(shù)編碼的低通濾波器幅度響應(yīng)(截圖)

圖7給出了基于三項(xiàng)二次冪之和系數(shù)的FIR濾波器框圖，該結(jié)構(gòu)很適合在FPGA上實(shí)現(xiàn)，只需做很小的修改就可以將其改變?yōu)橄禂?shù)近似為兩項(xiàng)二次冪之和的濾波器結(jié)構(gòu)。圖中D表示為一個(gè)時(shí)鐘周期延遲的單元，用D觸發(fā)器實(shí)現(xiàn)。LSR是一個(gè)左移移位寄存器，由QUARTUS軟件提供的參數(shù)化組合邏輯單元設(shè)計(jì)，該移位寄存器可以將輸入左移3種不同的位數(shù)，由bi，k的數(shù)值決定。輸入符號(hào)由的值確定，如果ai，k=+1，則輸入符號(hào)為邏輯0，如果ai，k= －1，則輸入符號(hào)為邏輯1，框圖中的“+”代表加法器。

圖7 基于二次冪三項(xiàng)之和系數(shù)的FIR濾波器框圖

圖7描述的結(jié)構(gòu)在ALTERA的Flex10k器件中實(shí)現(xiàn)，一個(gè)7階系數(shù)字長(zhǎng)為12位的FIR濾波器用該方法實(shí)現(xiàn)，作為資源占用對(duì)比也用傳統(tǒng)的含乘法器的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該濾波器，傳統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法需要的邏輯單元為2 067個(gè)，而采用上述方法實(shí)現(xiàn)占用邏輯單元為1 540個(gè)。

4 結(jié)論

本文介紹了基于三項(xiàng)二次冪之和結(jié)構(gòu)的FIR濾波器結(jié)構(gòu)，采用該結(jié)構(gòu)的濾波器與傳統(tǒng)需要乘法器模塊的濾波器結(jié)構(gòu)相比，這種結(jié)構(gòu)的濾波器具有很好的性能并且可以達(dá)到更快的速度，在FPGA器件上實(shí)現(xiàn)一個(gè)7階系數(shù)為12位的FIR濾波器時(shí)，所占用的面積減小了近75%，這種新的結(jié)構(gòu)可以讓設(shè)計(jì)者在同一個(gè)FPGA器件上實(shí)現(xiàn)更多的濾波器。

［1］趙健等.數(shù)字信號(hào)處理［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2012.

［2］黃鳳英.基于模塊局部可重構(gòu)FIR濾波器設(shè)計(jì)［J］.電視技術(shù)，2013，37(9):83－86.

［3］ PARHAMI B.Computer arithmetic:Algorithms and hardware designs［M］.New York:Oxford Univ.Press，2000.

［4］ CILETTID.Verilog HDL高級(jí)數(shù)字設(shè)計(jì)［M］.張雅綺，李鏘，譯.北京:電子工業(yè)出版社，2005.

［5］ PARHIK K.VLSI digital signal processing systems design and implementation［M］.New York:Wiley InterScience，2003.

［6］金燕.FPGA應(yīng)用中CIC抽取濾波器增益矯正的實(shí)現(xiàn)［J］.電視技術(shù)，2013，37(7):57－59.

［7］高亞軍.基于FPGA的數(shù)字信號(hào)處理［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2012.

［8］ RABAEY JM，CHANDRAKASAN A，NIKOLIC B.數(shù)字集成電路——設(shè)計(jì)透視［M］.2版.北京:清華大學(xué)出版社，2004.

［9］RABAEY JM.數(shù)字集成電路——系統(tǒng)與設(shè)計(jì)［M］.周潤(rùn)德，譯.北京:電子工業(yè)出版社，2004.