邊疆

摘 要：最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的經(jīng)典。該文論述了其中的基本支柱方法變分法和極小值原理。兩種方法都有自己獨(dú)有的特性，優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)和適用范圍，可分別用于求解不同種類的問題。最優(yōu)控制理論已經(jīng)廣泛地融入到了現(xiàn)代社會(huì)中，在將來仍有廣闊的發(fā)展前景。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制理論 變分法 極小值原理。

中圖分類號(hào)：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）07（b）-0255-02

早在20世紀(jì)50年代初，就開始了對(duì)最短時(shí)間控制問題的研究，形成了時(shí)間最優(yōu)控制理論，其中包含著名的Bang-Bang控制理論；隨后，由于空間技術(shù)的發(fā)展，導(dǎo)彈、衛(wèi)星等復(fù)雜系統(tǒng)提出了消耗燃料要少，飛行速度要快，運(yùn)行可靠性要高等嚴(yán)格的要求，在工程上刺激了最優(yōu)控制理論的發(fā)展，逐步形成了一套較為完整的最優(yōu)控制理論體系。

該文將介紹最優(yōu)控制理論中的經(jīng)典方法。

1 變分法

一個(gè)經(jīng)典的例子是，曲線上的最速降線問題，在重力作用下一個(gè)粒子沿著該路徑可以在最短時(shí)間從點(diǎn)A到達(dá)不直接在它底下的一點(diǎn)B[1]。任務(wù)是在所有可能的曲線中確定一條，使得下降的時(shí)間達(dá)到最小。

這是一個(gè)求取泛函極值的問題。泛函取極值的必要條件是泛函的變分為零。若連續(xù)可微，在點(diǎn)達(dá)到極值，則泛函在處的變分等于零。

泛函極值問題可以分解為有約束和無約束問題，其中對(duì)于端點(diǎn)不固定的問題采用橫截條件進(jìn)行處理。

無約束問題中，歐拉-拉格朗日方程是變分法的關(guān)鍵定理。如果已知一條

曲線，始端末端，則泛函

取到極值必要條件是曲線滿足歐拉方程。

其中應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。如果想得到是極大還是極小的結(jié)論還必須有充分條件進(jìn)行泛函二階變分的求解與分析。

若對(duì)于泛函極值問題在上述情況下存在端點(diǎn)不固定的情況需要列出額外的橫截條件來求解。

對(duì)于有等式約束的問題，一般為含有狀態(tài)空間（1-8）的等式約束。變分法

利用拉格朗日待定乘子法并且引入哈密頓函數(shù)，見式（1-9）。

這樣就可以將有條件約束的問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o條件約束的問題。并利用歐拉方程推導(dǎo)出協(xié)態(tài)方程（1-10）和控制方程（1-11），與狀態(tài)方程和橫截條件一起求解泛函極值問題。

2 極小值原理

當(dāng)采用變分法求解最優(yōu)控制問題時(shí)，存在一個(gè)約束即認(rèn)為控制向量是不受限制的。但是在實(shí)際的系統(tǒng)中，不受限制的控制是比較少存在的。因此我們給定。

極小值原理可以用來求解很多最優(yōu)控制問題，其中著名和經(jīng)典的例子就是時(shí)間控制理論中的Bang-Bang控制，還有如線性二次型問題中的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，輸出調(diào)節(jié)器，跟蹤調(diào)節(jié)器等。同樣極小值原理還可以應(yīng)用于離散系統(tǒng)，解決離散系統(tǒng)中的二次型調(diào)節(jié)器問題。

極小值原理中，一般求解的問題可以給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下所示。

其中是歐幾里得空間的子集，端點(diǎn)約束和目標(biāo)泛函如下，

定義Hamilton函數(shù)為：

當(dāng)初始狀態(tài)不固定的時(shí)候，我們需要引入式（31）；當(dāng)終端時(shí)刻不固定的時(shí)候，我們需要引入式（26）；當(dāng)終端狀態(tài)不固定的時(shí)候我們需要引入式（25）。

3 變分法與極小值原理的比較

變分法比較擅長(zhǎng)于求解微分方程或者差分方程所表示的問題，而對(duì)與更加一般化的實(shí)際問題則更多地用極小值原理的方法來求解。

可以從中觀察出來，當(dāng)控制函數(shù)不受約束或只受開集性約束條件下，與實(shí)際上是等價(jià)的。

極小值原理很好地?cái)U(kuò)大了變分法的適用范圍。不僅可以用來求解函數(shù)U（t）不受約束或只受開集性約束的最優(yōu)控制問題，而且也可以用來求解控制函數(shù)U（t）受到閉集性約束條件的最優(yōu)控制問題。這就意味著極小值原理放寬了對(duì)控制函數(shù)U（t）的要求。

極小值原理可以求解帶有閉域約束的更加一般的最優(yōu)控制問題，如最短的時(shí)間，最快的速度，最佳的利用，最短的路徑等等。

在沒有閉域約束的最優(yōu)控制問題中時(shí)，變分法，極小值原理是等價(jià)等效的。

4 結(jié)語

最優(yōu)控制理論已經(jīng)潛移默化地深深融入到了現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展中，在不久的將來仍然有廣闊的發(fā)展前景。

參考文獻(xiàn)

[1] 符曦.系統(tǒng)最優(yōu)化及控制[M].1北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1995：55.endprint

摘 要：最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的經(jīng)典。該文論述了其中的基本支柱方法變分法和極小值原理。兩種方法都有自己獨(dú)有的特性，優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)和適用范圍，可分別用于求解不同種類的問題。最優(yōu)控制理論已經(jīng)廣泛地融入到了現(xiàn)代社會(huì)中，在將來仍有廣闊的發(fā)展前景。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制理論 變分法 極小值原理。

中圖分類號(hào)：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）07（b）-0255-02

早在20世紀(jì)50年代初，就開始了對(duì)最短時(shí)間控制問題的研究，形成了時(shí)間最優(yōu)控制理論，其中包含著名的Bang-Bang控制理論；隨后，由于空間技術(shù)的發(fā)展，導(dǎo)彈、衛(wèi)星等復(fù)雜系統(tǒng)提出了消耗燃料要少，飛行速度要快，運(yùn)行可靠性要高等嚴(yán)格的要求，在工程上刺激了最優(yōu)控制理論的發(fā)展，逐步形成了一套較為完整的最優(yōu)控制理論體系。

該文將介紹最優(yōu)控制理論中的經(jīng)典方法。

1 變分法

一個(gè)經(jīng)典的例子是，曲線上的最速降線問題，在重力作用下一個(gè)粒子沿著該路徑可以在最短時(shí)間從點(diǎn)A到達(dá)不直接在它底下的一點(diǎn)B[1]。任務(wù)是在所有可能的曲線中確定一條，使得下降的時(shí)間達(dá)到最小。

這是一個(gè)求取泛函極值的問題。泛函取極值的必要條件是泛函的變分為零。若連續(xù)可微，在點(diǎn)達(dá)到極值，則泛函在處的變分等于零。

泛函極值問題可以分解為有約束和無約束問題，其中對(duì)于端點(diǎn)不固定的問題采用橫截條件進(jìn)行處理。

無約束問題中，歐拉-拉格朗日方程是變分法的關(guān)鍵定理。如果已知一條

曲線，始端末端，則泛函

取到極值必要條件是曲線滿足歐拉方程。

其中應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。如果想得到是極大還是極小的結(jié)論還必須有充分條件進(jìn)行泛函二階變分的求解與分析。

若對(duì)于泛函極值問題在上述情況下存在端點(diǎn)不固定的情況需要列出額外的橫截條件來求解。

對(duì)于有等式約束的問題，一般為含有狀態(tài)空間（1-8）的等式約束。變分法

利用拉格朗日待定乘子法并且引入哈密頓函數(shù)，見式（1-9）。

這樣就可以將有條件約束的問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o條件約束的問題。并利用歐拉方程推導(dǎo)出協(xié)態(tài)方程（1-10）和控制方程（1-11），與狀態(tài)方程和橫截條件一起求解泛函極值問題。

2 極小值原理

當(dāng)采用變分法求解最優(yōu)控制問題時(shí)，存在一個(gè)約束即認(rèn)為控制向量是不受限制的。但是在實(shí)際的系統(tǒng)中，不受限制的控制是比較少存在的。因此我們給定。

極小值原理可以用來求解很多最優(yōu)控制問題，其中著名和經(jīng)典的例子就是時(shí)間控制理論中的Bang-Bang控制，還有如線性二次型問題中的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，輸出調(diào)節(jié)器，跟蹤調(diào)節(jié)器等。同樣極小值原理還可以應(yīng)用于離散系統(tǒng)，解決離散系統(tǒng)中的二次型調(diào)節(jié)器問題。

極小值原理中，一般求解的問題可以給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下所示。

其中是歐幾里得空間的子集，端點(diǎn)約束和目標(biāo)泛函如下，

定義Hamilton函數(shù)為：

當(dāng)初始狀態(tài)不固定的時(shí)候，我們需要引入式（31）；當(dāng)終端時(shí)刻不固定的時(shí)候，我們需要引入式（26）；當(dāng)終端狀態(tài)不固定的時(shí)候我們需要引入式（25）。

3 變分法與極小值原理的比較

變分法比較擅長(zhǎng)于求解微分方程或者差分方程所表示的問題，而對(duì)與更加一般化的實(shí)際問題則更多地用極小值原理的方法來求解。

可以從中觀察出來，當(dāng)控制函數(shù)不受約束或只受開集性約束條件下，與實(shí)際上是等價(jià)的。

極小值原理很好地?cái)U(kuò)大了變分法的適用范圍。不僅可以用來求解函數(shù)U（t）不受約束或只受開集性約束的最優(yōu)控制問題，而且也可以用來求解控制函數(shù)U（t）受到閉集性約束條件的最優(yōu)控制問題。這就意味著極小值原理放寬了對(duì)控制函數(shù)U（t）的要求。

極小值原理可以求解帶有閉域約束的更加一般的最優(yōu)控制問題，如最短的時(shí)間，最快的速度，最佳的利用，最短的路徑等等。

在沒有閉域約束的最優(yōu)控制問題中時(shí)，變分法，極小值原理是等價(jià)等效的。

4 結(jié)語

最優(yōu)控制理論已經(jīng)潛移默化地深深融入到了現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展中，在不久的將來仍然有廣闊的發(fā)展前景。

參考文獻(xiàn)

[1] 符曦.系統(tǒng)最優(yōu)化及控制[M].1北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1995：55.endprint

摘 要：最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的經(jīng)典。該文論述了其中的基本支柱方法變分法和極小值原理。兩種方法都有自己獨(dú)有的特性，優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)和適用范圍，可分別用于求解不同種類的問題。最優(yōu)控制理論已經(jīng)廣泛地融入到了現(xiàn)代社會(huì)中，在將來仍有廣闊的發(fā)展前景。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制理論 變分法 極小值原理。

中圖分類號(hào)：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）07（b）-0255-02

早在20世紀(jì)50年代初，就開始了對(duì)最短時(shí)間控制問題的研究，形成了時(shí)間最優(yōu)控制理論，其中包含著名的Bang-Bang控制理論；隨后，由于空間技術(shù)的發(fā)展，導(dǎo)彈、衛(wèi)星等復(fù)雜系統(tǒng)提出了消耗燃料要少，飛行速度要快，運(yùn)行可靠性要高等嚴(yán)格的要求，在工程上刺激了最優(yōu)控制理論的發(fā)展，逐步形成了一套較為完整的最優(yōu)控制理論體系。

該文將介紹最優(yōu)控制理論中的經(jīng)典方法。

1 變分法

一個(gè)經(jīng)典的例子是，曲線上的最速降線問題，在重力作用下一個(gè)粒子沿著該路徑可以在最短時(shí)間從點(diǎn)A到達(dá)不直接在它底下的一點(diǎn)B[1]。任務(wù)是在所有可能的曲線中確定一條，使得下降的時(shí)間達(dá)到最小。

這是一個(gè)求取泛函極值的問題。泛函取極值的必要條件是泛函的變分為零。若連續(xù)可微，在點(diǎn)達(dá)到極值，則泛函在處的變分等于零。

泛函極值問題可以分解為有約束和無約束問題，其中對(duì)于端點(diǎn)不固定的問題采用橫截條件進(jìn)行處理。

無約束問題中，歐拉-拉格朗日方程是變分法的關(guān)鍵定理。如果已知一條

曲線，始端末端，則泛函

取到極值必要條件是曲線滿足歐拉方程。

其中應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。如果想得到是極大還是極小的結(jié)論還必須有充分條件進(jìn)行泛函二階變分的求解與分析。

若對(duì)于泛函極值問題在上述情況下存在端點(diǎn)不固定的情況需要列出額外的橫截條件來求解。

對(duì)于有等式約束的問題，一般為含有狀態(tài)空間（1-8）的等式約束。變分法

利用拉格朗日待定乘子法并且引入哈密頓函數(shù)，見式（1-9）。

這樣就可以將有條件約束的問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o條件約束的問題。并利用歐拉方程推導(dǎo)出協(xié)態(tài)方程（1-10）和控制方程（1-11），與狀態(tài)方程和橫截條件一起求解泛函極值問題。

2 極小值原理

當(dāng)采用變分法求解最優(yōu)控制問題時(shí)，存在一個(gè)約束即認(rèn)為控制向量是不受限制的。但是在實(shí)際的系統(tǒng)中，不受限制的控制是比較少存在的。因此我們給定。

極小值原理可以用來求解很多最優(yōu)控制問題，其中著名和經(jīng)典的例子就是時(shí)間控制理論中的Bang-Bang控制，還有如線性二次型問題中的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，輸出調(diào)節(jié)器，跟蹤調(diào)節(jié)器等。同樣極小值原理還可以應(yīng)用于離散系統(tǒng)，解決離散系統(tǒng)中的二次型調(diào)節(jié)器問題。

極小值原理中，一般求解的問題可以給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下所示。

其中是歐幾里得空間的子集，端點(diǎn)約束和目標(biāo)泛函如下，

定義Hamilton函數(shù)為：

當(dāng)初始狀態(tài)不固定的時(shí)候，我們需要引入式（31）；當(dāng)終端時(shí)刻不固定的時(shí)候，我們需要引入式（26）；當(dāng)終端狀態(tài)不固定的時(shí)候我們需要引入式（25）。

3 變分法與極小值原理的比較

變分法比較擅長(zhǎng)于求解微分方程或者差分方程所表示的問題，而對(duì)與更加一般化的實(shí)際問題則更多地用極小值原理的方法來求解。

可以從中觀察出來，當(dāng)控制函數(shù)不受約束或只受開集性約束條件下，與實(shí)際上是等價(jià)的。

極小值原理很好地?cái)U(kuò)大了變分法的適用范圍。不僅可以用來求解函數(shù)U（t）不受約束或只受開集性約束的最優(yōu)控制問題，而且也可以用來求解控制函數(shù)U（t）受到閉集性約束條件的最優(yōu)控制問題。這就意味著極小值原理放寬了對(duì)控制函數(shù)U（t）的要求。

極小值原理可以求解帶有閉域約束的更加一般的最優(yōu)控制問題，如最短的時(shí)間，最快的速度，最佳的利用，最短的路徑等等。

在沒有閉域約束的最優(yōu)控制問題中時(shí)，變分法，極小值原理是等價(jià)等效的。

4 結(jié)語

最優(yōu)控制理論已經(jīng)潛移默化地深深融入到了現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展中，在不久的將來仍然有廣闊的發(fā)展前景。

參考文獻(xiàn)

[1] 符曦.系統(tǒng)最優(yōu)化及控制[M].1北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1995：55.endprint