賈 晶

（山西大學物理電子工程學院，山西太原 030000）

一維無限深方勢阱中束縛態(tài)作為量子力學最基本的問題，大部分的量子力學書中都有講述[1～2].由于它是可以求得解析解的為數(shù)不多的例子之一，所以研究它的狀態(tài)對于掌握量子力學的基本概念和處理問題的方法都有幫助，所以近年來仍然有不少文章對它進行討論,并提出一些新的見解[3～6].

本文討論一維無限深方勢阱中束縛態(tài)中波函數(shù)的相位問題，其中數(shù)學計算相對容易，物理圖像清晰,對于深入理解波函數(shù)具有相位不確定性這一特性可以起到一定的積極作用.

1 無限深勢阱的波函數(shù)

考慮在一維空間中運動的粒子，它的勢能在一定區(qū)域內(nèi)（x=-a到x=a）為零，而在此區(qū)域外勢能為無限大.粒子的勢可由下式描述：

這種勢稱為一維無限深勢阱.它的一組波函數(shù)的解為：

2 波函數(shù)曲線

由（2）和（3）式可作出波函數(shù)圖1～圖6.由（4）式作出的波函數(shù)圖為圖7～圖12.作圖時以勢阱寬度a為單位長度.下面根據(jù)（2）式編制程序繪制n=2，4，6的波函數(shù),根據(jù)（3）式編制程序繪制n=1，3，5的波函數(shù).而根據(jù)（4）編制的程序可以繪制n=1，2，3，4，5，6的波函數(shù).

圖1 利用式（3）繪制的n=1的波函數(shù)圖像

圖2 利用式（2）式繪制的n=2的波函數(shù)圖像

圖3 利用（3）式繪制的n=3的波函數(shù)曲線

圖4 利用（2）式繪制的n=4的波函數(shù)曲線

圖5 利用（3）式繪制的n=5的波函數(shù)曲線

圖6 利用（2）式繪制的n=6的波函數(shù)曲線

圖7 利用式（4）繪制的n=1的波函數(shù)圖像

圖8 利用式（4）繪制的n=2的波函數(shù)圖像

圖9 利用（4）式繪制的n=3的波函數(shù)曲線

圖10 利用（4）式繪制的n=4的波函數(shù)曲線

圖11 利用（4）式繪制的n=5的波函數(shù)曲線

圖12 利用（4）式繪制的n=6的波函數(shù)曲線

從（5）和（6）式看出（2）式、（3）式與（4）式之間有一個相位差為（-1）k=eikπ=einπ/2（k=n/2）（n偶數(shù)）和（-1）k=eikπ=ei（n-1）π/2（k=（n-1）/2）（n為奇數(shù)）.所以當n=1，4，5…時兩者繪出的波函數(shù)圖形是相同的，但當n=2，3，6，7…時兩者繪出的圖是反相的.即當n取奇數(shù)時，對于使ei（n-1）π/2=1的奇數(shù)兩波函數(shù)的相位相同，對于使ei（n-1）π/2=-1的奇數(shù)兩波函數(shù)的相位相反.即當n取偶數(shù)時，對于使einπ/2=1的偶數(shù)兩波函數(shù)的相位相同，對于使e-inπ/2=-1的偶數(shù)兩波函數(shù)的相位相反.

3 概率密度曲線

當然（2）和（3）式與（4）式描寫的粒子的概率密度應(yīng)該是一致的，這非常關(guān)鍵，因為在同一時刻同一地點找到粒子的概率是一可測量的物理量，解應(yīng)該是唯一的，不可能存在兩種不同的結(jié)論.根據(jù)量子力學的基本原理，波函數(shù)可以相差一常數(shù)相位因子，所以（2）式和（3）式與（4）式描寫的波函數(shù)都是可以的（僅差一相位因子）.我們分別由（2）和（3）式與（4）式繪制的概率密度曲線，如圖13～圖18.發(fā)現(xiàn)由（2）和（3）式與（4）式繪制的概率密度曲線完全一致.

圖13 n=1對應(yīng)的概率密度曲線

圖14 n=2對應(yīng)的概率密度曲線

圖15 n=3對應(yīng)的概率密度曲線

圖16 n=4對應(yīng)的概率密度曲線

圖17 n=5對應(yīng)的概率密度曲線

圖18 n=6對應(yīng)的概率密度曲線

此問題也可利用有限差分法進行數(shù)值計算.結(jié)果見圖19～圖24.對比發(fā)現(xiàn)與（2）和（3）式或（4）式描寫的波函數(shù)均不完全一致，似乎有一定的“隨意性”.量子力學中的波函數(shù)的可以相差一相位因子是這種“隨意性”存在的依據(jù).當然由此得到的概率密度分布與解析解得到的概率密度分布曲線是完全相同的.

圖19 數(shù)值計算得到n=1的波函數(shù)

圖20 數(shù)值計算得到n=2的波函數(shù)

圖21 數(shù)值計算得到n=3的波函數(shù)

圖22 數(shù)值計算得到n=4的波函數(shù)

圖23 數(shù)值計算得到n=5的波函數(shù)

圖24 數(shù)值計算得到n=6的波函數(shù)

4 總結(jié)

量子力學的基本原理告訴我們,歸一化后的波函數(shù)仍然存在一不確定的常數(shù)相位因子,因此波函數(shù)的圖像可能不完全相同,但由于粒子分布的概率密度是一個量子力學中的可測量的量,所以應(yīng)該是唯一的.

我們在本文中分析了無限深勢阱的不同解析解對應(yīng)的波函數(shù)及數(shù)值解對應(yīng)的波函數(shù),分析了它們存在不同的原因及這種不同的合理性.同時也指出它們所對應(yīng)的概率密度分布是完全一致的,這也是量子力學所要求的.

［1］周世勛.量子力學教程［M］.北京：高等教育出版社，1979.

［2］曾謹言.量子力學［M］.3版.北京：科學出版社，1981.

［3］額爾敦朝魯.關(guān)于一維無限深方勢阱描述的一個注記［J］.大學物理，1997（11）：50.

［4］鄭富年，聶義友.一維無限深方勢阱中運動粒子的討論［J］.景德鎮(zhèn)高專學報，1996（4）：5～8.

［5］王國文.一維無限深勢阱中粒子動量概率分布引出的問題［J］.光子學報，1998（5）：6～7.

［6］易其順.一維無限深勢阱內(nèi)粒子概率密度演示儀［J］.物理實驗，2010，30（7）：24～26.