萬俊丹++何遺非++聶磊

摘 要：研究表明，模態(tài)振型的圖像函數(shù)可以有效的描述結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特征，并可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的設(shè)計(jì)與改進(jìn)。本文將探討圖像函數(shù)-Zernike矩（以下簡(jiǎn)稱Z矩）在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型校準(zhǔn)中的應(yīng)用，通過某型彈用發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤的動(dòng)力學(xué)模型校準(zhǔn)，驗(yàn)證了基于Z圖像函數(shù)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)與改進(jìn)的實(shí)際應(yīng)用是可行性。

關(guān)鍵詞：圖像函數(shù) 動(dòng)力學(xué) 模型校準(zhǔn)

中圖分類號(hào)：V231.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)方法

基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)方法的研究剛剛起步，尚有許多的新方法有待研究與發(fā)現(xiàn)。本節(jié)介紹了基于圖像函數(shù)的靈敏度的模型校準(zhǔn)方法，推導(dǎo)了圖像函數(shù)的靈敏度公式，并給出了修正參數(shù)的估計(jì)方法。

1.1 模態(tài)振型的圖像函數(shù)的靈敏度

模態(tài)振型的描述符對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度可以表示為：

（1）

這里，是待修正的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

連續(xù)模態(tài)振型函數(shù)可以表示為單元型函數(shù)和模態(tài)特征向量的線性組合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度可以通過計(jì)算單元形函數(shù)的特征矩與特征向量的靈敏度之積來獲得。

此外，前向差分法也可以用來計(jì)算圖像函數(shù)靈敏度，該方法簡(jiǎn)單易行，但須選擇適宜的步長(zhǎng)。

1.2 修正參數(shù)估計(jì)

與基于靈敏度的修正方法類似，在獲得響應(yīng)對(duì)修正參數(shù)的靈敏度后，可以利用靈敏度與Z特征矩殘差來估計(jì)下次迭代的參數(shù)：

（4）

其中，是模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度，為測(cè)試模態(tài)振型函數(shù)的特征矩，為第j次迭代的仿真的模態(tài)振型特征矩。

在利用圖像函數(shù)進(jìn)行修正時(shí)，可以選擇模態(tài)振型的主要特征矩作為響應(yīng)目標(biāo)，否則修正過程易發(fā)散。

2 Z矩在發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤的動(dòng)力學(xué)模型校準(zhǔn)中的應(yīng)用

本文利用基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)的方法，利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)某型彈用發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤進(jìn)行模型校準(zhǔn)。由于測(cè)試數(shù)據(jù)中包含了較大的噪聲（尤其是高頻模態(tài)），故將固有頻率和模態(tài)振型的Z特征矩同時(shí)作為修正對(duì)象。

由相關(guān)性分析結(jié)果可知，第3～5、8和9階模態(tài)對(duì)的固有頻率誤差很大（均高于10%）。經(jīng)分析，這幾階模態(tài)均包含輪盤的節(jié)圓振動(dòng)（傘形振動(dòng)），而節(jié)圓振動(dòng)的主要區(qū)域在輪盤的內(nèi)孔和中間薄壁處，可能是這些區(qū)域存在誤差導(dǎo)致了頻率差異過大；此外，考慮到測(cè)繪過程中倒角等部位測(cè)量的不夠準(zhǔn)確，也是模型中可能的誤差源。最終，確定了3個(gè)區(qū)域進(jìn)行修正，分別為輪盤內(nèi)孔、薄壁和薄壁與輪緣間的倒角部分。各修正區(qū)域如圖1所示，修正參數(shù)選擇彈性模量，分別為P1～P3。

修正的目標(biāo)為前13階試驗(yàn)頻率及其對(duì)應(yīng)模態(tài)振型的Z特征主矩，共80個(gè)響應(yīng)。采用基于靈敏度的迭代法進(jìn)行修正，采用本中所給方法分別計(jì)算頻率及圖像函數(shù)的靈敏度。修正過程中固有頻率誤差及參數(shù)的變化如圖2所示。

可以看到，迭代9次后，參數(shù)收斂。各階模態(tài)的頻率誤差均下降，有限元預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的誤差被大大減小。值得注意的是，薄壁與輪緣的倒角處的剛度降低了將近80%，說明在有限元建模過程中，該處的建模誤差較大。

圖3中比較了修正前后的頻率誤差，可以看到，經(jīng)過修正，第3～5和第8、9階模態(tài)的固有頻率誤差明顯減小，各模態(tài)的最大頻率誤差也由17.5%降1.74%，這說明通過修正有效的減小了有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異。

修正前后的頻率誤差、MAC的變化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5階模態(tài)的MAC值明顯變大，均上升至90%以上，這是由于利用Z矩進(jìn)行修正，縮小了模態(tài)對(duì)之間的轉(zhuǎn)角。

表2比較了是否考慮模態(tài)振型的Z圖像函數(shù)的修正結(jié)果（取MAC>70%的前10階模態(tài)對(duì)）。

由表2可知，兩種情況下，修正后的固有頻率誤差均降至2%以內(nèi)，達(dá)到了很好的修正效果；考慮輪盤模態(tài)振型的Z矩后，修正后的MAC值高于僅修正固有頻率的結(jié)果，這是因?yàn)榛趫D像函數(shù)的模型校準(zhǔn)考慮了模態(tài)振型的影響，從而使模態(tài)振型得到了有效的改善。

綜上所述，利用結(jié)合固有頻率和Z矩進(jìn)行模型校準(zhǔn)，可以有效的改善發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤動(dòng)力學(xué)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異，使修正后的模型可以很好的反映結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性；考慮模態(tài)振型的Z矩后，使修正后試驗(yàn)/有限元的MAC值得到了提高?？梢?，利用圖像函數(shù)進(jìn)行模型校準(zhǔn)是完全可行的，且具有一定優(yōu)越性。

3 結(jié)論

本文對(duì)基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)的方法的可行性進(jìn)行了探討與研究。通過本文的研究，成功將Zernike矩應(yīng)用于某型彈用發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤的模型校準(zhǔn)之中。修正后，輪盤的固有頻率誤差降至2%以內(nèi)，前10階模態(tài)振型的MAC值均高于0.8。此外，考慮模態(tài)振型的Z矩，修正后試驗(yàn)/有限元的MAC值較僅采用固有頻率進(jìn)行修正得到了提高?？梢?，將圖像函數(shù)應(yīng)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的模型校準(zhǔn)是可行的，可以使修正后的模型更準(zhǔn)確的反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉銀超.矩函數(shù)在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型確認(rèn)中的應(yīng)用[D].南京航空航天大學(xué)，2012.

[2] 樊征兵.考慮不確定性因素的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析技術(shù)研究[D].南京航空航天大學(xué)，2012.

[3] 林賢響.機(jī)床結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模及動(dòng)態(tài)特性分析技術(shù)的研究[D].浙江工業(yè)大學(xué) 2012.endprint

摘 要：研究表明，模態(tài)振型的圖像函數(shù)可以有效的描述結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特征，并可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的設(shè)計(jì)與改進(jìn)。本文將探討圖像函數(shù)-Zernike矩（以下簡(jiǎn)稱Z矩）在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型校準(zhǔn)中的應(yīng)用，通過某型彈用發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤的動(dòng)力學(xué)模型校準(zhǔn)，驗(yàn)證了基于Z圖像函數(shù)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)與改進(jìn)的實(shí)際應(yīng)用是可行性。

關(guān)鍵詞：圖像函數(shù) 動(dòng)力學(xué) 模型校準(zhǔn)

中圖分類號(hào)：V231.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)方法

基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)方法的研究剛剛起步，尚有許多的新方法有待研究與發(fā)現(xiàn)。本節(jié)介紹了基于圖像函數(shù)的靈敏度的模型校準(zhǔn)方法，推導(dǎo)了圖像函數(shù)的靈敏度公式，并給出了修正參數(shù)的估計(jì)方法。

1.1 模態(tài)振型的圖像函數(shù)的靈敏度

模態(tài)振型的描述符對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度可以表示為：

（1）

這里，是待修正的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

連續(xù)模態(tài)振型函數(shù)可以表示為單元型函數(shù)和模態(tài)特征向量的線性組合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度可以通過計(jì)算單元形函數(shù)的特征矩與特征向量的靈敏度之積來獲得。

此外，前向差分法也可以用來計(jì)算圖像函數(shù)靈敏度，該方法簡(jiǎn)單易行，但須選擇適宜的步長(zhǎng)。

1.2 修正參數(shù)估計(jì)

與基于靈敏度的修正方法類似，在獲得響應(yīng)對(duì)修正參數(shù)的靈敏度后，可以利用靈敏度與Z特征矩殘差來估計(jì)下次迭代的參數(shù)：

（4）

其中，是模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度，為測(cè)試模態(tài)振型函數(shù)的特征矩，為第j次迭代的仿真的模態(tài)振型特征矩。

在利用圖像函數(shù)進(jìn)行修正時(shí)，可以選擇模態(tài)振型的主要特征矩作為響應(yīng)目標(biāo)，否則修正過程易發(fā)散。

2 Z矩在發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤的動(dòng)力學(xué)模型校準(zhǔn)中的應(yīng)用

本文利用基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)的方法，利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)某型彈用發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤進(jìn)行模型校準(zhǔn)。由于測(cè)試數(shù)據(jù)中包含了較大的噪聲（尤其是高頻模態(tài)），故將固有頻率和模態(tài)振型的Z特征矩同時(shí)作為修正對(duì)象。

由相關(guān)性分析結(jié)果可知，第3～5、8和9階模態(tài)對(duì)的固有頻率誤差很大（均高于10%）。經(jīng)分析，這幾階模態(tài)均包含輪盤的節(jié)圓振動(dòng)（傘形振動(dòng)），而節(jié)圓振動(dòng)的主要區(qū)域在輪盤的內(nèi)孔和中間薄壁處，可能是這些區(qū)域存在誤差導(dǎo)致了頻率差異過大；此外，考慮到測(cè)繪過程中倒角等部位測(cè)量的不夠準(zhǔn)確，也是模型中可能的誤差源。最終，確定了3個(gè)區(qū)域進(jìn)行修正，分別為輪盤內(nèi)孔、薄壁和薄壁與輪緣間的倒角部分。各修正區(qū)域如圖1所示，修正參數(shù)選擇彈性模量，分別為P1～P3。

修正的目標(biāo)為前13階試驗(yàn)頻率及其對(duì)應(yīng)模態(tài)振型的Z特征主矩，共80個(gè)響應(yīng)。采用基于靈敏度的迭代法進(jìn)行修正，采用本中所給方法分別計(jì)算頻率及圖像函數(shù)的靈敏度。修正過程中固有頻率誤差及參數(shù)的變化如圖2所示。

可以看到，迭代9次后，參數(shù)收斂。各階模態(tài)的頻率誤差均下降，有限元預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的誤差被大大減小。值得注意的是，薄壁與輪緣的倒角處的剛度降低了將近80%，說明在有限元建模過程中，該處的建模誤差較大。

圖3中比較了修正前后的頻率誤差，可以看到，經(jīng)過修正，第3～5和第8、9階模態(tài)的固有頻率誤差明顯減小，各模態(tài)的最大頻率誤差也由17.5%降1.74%，這說明通過修正有效的減小了有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異。

修正前后的頻率誤差、MAC的變化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5階模態(tài)的MAC值明顯變大，均上升至90%以上，這是由于利用Z矩進(jìn)行修正，縮小了模態(tài)對(duì)之間的轉(zhuǎn)角。

表2比較了是否考慮模態(tài)振型的Z圖像函數(shù)的修正結(jié)果（取MAC>70%的前10階模態(tài)對(duì)）。

由表2可知，兩種情況下，修正后的固有頻率誤差均降至2%以內(nèi)，達(dá)到了很好的修正效果；考慮輪盤模態(tài)振型的Z矩后，修正后的MAC值高于僅修正固有頻率的結(jié)果，這是因?yàn)榛趫D像函數(shù)的模型校準(zhǔn)考慮了模態(tài)振型的影響，從而使模態(tài)振型得到了有效的改善。

綜上所述，利用結(jié)合固有頻率和Z矩進(jìn)行模型校準(zhǔn)，可以有效的改善發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤動(dòng)力學(xué)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異，使修正后的模型可以很好的反映結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性；考慮模態(tài)振型的Z矩后，使修正后試驗(yàn)/有限元的MAC值得到了提高?？梢?，利用圖像函數(shù)進(jìn)行模型校準(zhǔn)是完全可行的，且具有一定優(yōu)越性。

3 結(jié)論

本文對(duì)基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)的方法的可行性進(jìn)行了探討與研究。通過本文的研究，成功將Zernike矩應(yīng)用于某型彈用發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤的模型校準(zhǔn)之中。修正后，輪盤的固有頻率誤差降至2%以內(nèi)，前10階模態(tài)振型的MAC值均高于0.8。此外，考慮模態(tài)振型的Z矩，修正后試驗(yàn)/有限元的MAC值較僅采用固有頻率進(jìn)行修正得到了提高?？梢?，將圖像函數(shù)應(yīng)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的模型校準(zhǔn)是可行的，可以使修正后的模型更準(zhǔn)確的反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉銀超.矩函數(shù)在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型確認(rèn)中的應(yīng)用[D].南京航空航天大學(xué)，2012.

[2] 樊征兵.考慮不確定性因素的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析技術(shù)研究[D].南京航空航天大學(xué)，2012.

[3] 林賢響.機(jī)床結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模及動(dòng)態(tài)特性分析技術(shù)的研究[D].浙江工業(yè)大學(xué) 2012.endprint

摘 要：研究表明，模態(tài)振型的圖像函數(shù)可以有效的描述結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特征，并可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的設(shè)計(jì)與改進(jìn)。本文將探討圖像函數(shù)-Zernike矩（以下簡(jiǎn)稱Z矩）在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型校準(zhǔn)中的應(yīng)用，通過某型彈用發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤的動(dòng)力學(xué)模型校準(zhǔn)，驗(yàn)證了基于Z圖像函數(shù)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)與改進(jìn)的實(shí)際應(yīng)用是可行性。

關(guān)鍵詞：圖像函數(shù) 動(dòng)力學(xué) 模型校準(zhǔn)

中圖分類號(hào)：V231.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)方法

基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)方法的研究剛剛起步，尚有許多的新方法有待研究與發(fā)現(xiàn)。本節(jié)介紹了基于圖像函數(shù)的靈敏度的模型校準(zhǔn)方法，推導(dǎo)了圖像函數(shù)的靈敏度公式，并給出了修正參數(shù)的估計(jì)方法。

1.1 模態(tài)振型的圖像函數(shù)的靈敏度

模態(tài)振型的描述符對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度可以表示為：

（1）

這里，是待修正的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

連續(xù)模態(tài)振型函數(shù)可以表示為單元型函數(shù)和模態(tài)特征向量的線性組合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度可以通過計(jì)算單元形函數(shù)的特征矩與特征向量的靈敏度之積來獲得。

此外，前向差分法也可以用來計(jì)算圖像函數(shù)靈敏度，該方法簡(jiǎn)單易行，但須選擇適宜的步長(zhǎng)。

1.2 修正參數(shù)估計(jì)

與基于靈敏度的修正方法類似，在獲得響應(yīng)對(duì)修正參數(shù)的靈敏度后，可以利用靈敏度與Z特征矩殘差來估計(jì)下次迭代的參數(shù)：

（4）

其中，是模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度，為測(cè)試模態(tài)振型函數(shù)的特征矩，為第j次迭代的仿真的模態(tài)振型特征矩。

在利用圖像函數(shù)進(jìn)行修正時(shí)，可以選擇模態(tài)振型的主要特征矩作為響應(yīng)目標(biāo)，否則修正過程易發(fā)散。

2 Z矩在發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤的動(dòng)力學(xué)模型校準(zhǔn)中的應(yīng)用

本文利用基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)的方法，利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)某型彈用發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤進(jìn)行模型校準(zhǔn)。由于測(cè)試數(shù)據(jù)中包含了較大的噪聲（尤其是高頻模態(tài)），故將固有頻率和模態(tài)振型的Z特征矩同時(shí)作為修正對(duì)象。

由相關(guān)性分析結(jié)果可知，第3～5、8和9階模態(tài)對(duì)的固有頻率誤差很大（均高于10%）。經(jīng)分析，這幾階模態(tài)均包含輪盤的節(jié)圓振動(dòng)（傘形振動(dòng)），而節(jié)圓振動(dòng)的主要區(qū)域在輪盤的內(nèi)孔和中間薄壁處，可能是這些區(qū)域存在誤差導(dǎo)致了頻率差異過大；此外，考慮到測(cè)繪過程中倒角等部位測(cè)量的不夠準(zhǔn)確，也是模型中可能的誤差源。最終，確定了3個(gè)區(qū)域進(jìn)行修正，分別為輪盤內(nèi)孔、薄壁和薄壁與輪緣間的倒角部分。各修正區(qū)域如圖1所示，修正參數(shù)選擇彈性模量，分別為P1～P3。

修正的目標(biāo)為前13階試驗(yàn)頻率及其對(duì)應(yīng)模態(tài)振型的Z特征主矩，共80個(gè)響應(yīng)。采用基于靈敏度的迭代法進(jìn)行修正，采用本中所給方法分別計(jì)算頻率及圖像函數(shù)的靈敏度。修正過程中固有頻率誤差及參數(shù)的變化如圖2所示。

可以看到，迭代9次后，參數(shù)收斂。各階模態(tài)的頻率誤差均下降，有限元預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的誤差被大大減小。值得注意的是，薄壁與輪緣的倒角處的剛度降低了將近80%，說明在有限元建模過程中，該處的建模誤差較大。

圖3中比較了修正前后的頻率誤差，可以看到，經(jīng)過修正，第3～5和第8、9階模態(tài)的固有頻率誤差明顯減小，各模態(tài)的最大頻率誤差也由17.5%降1.74%，這說明通過修正有效的減小了有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異。

修正前后的頻率誤差、MAC的變化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5階模態(tài)的MAC值明顯變大，均上升至90%以上，這是由于利用Z矩進(jìn)行修正，縮小了模態(tài)對(duì)之間的轉(zhuǎn)角。

表2比較了是否考慮模態(tài)振型的Z圖像函數(shù)的修正結(jié)果（取MAC>70%的前10階模態(tài)對(duì)）。

由表2可知，兩種情況下，修正后的固有頻率誤差均降至2%以內(nèi)，達(dá)到了很好的修正效果；考慮輪盤模態(tài)振型的Z矩后，修正后的MAC值高于僅修正固有頻率的結(jié)果，這是因?yàn)榛趫D像函數(shù)的模型校準(zhǔn)考慮了模態(tài)振型的影響，從而使模態(tài)振型得到了有效的改善。

綜上所述，利用結(jié)合固有頻率和Z矩進(jìn)行模型校準(zhǔn)，可以有效的改善發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤動(dòng)力學(xué)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異，使修正后的模型可以很好的反映結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性；考慮模態(tài)振型的Z矩后，使修正后試驗(yàn)/有限元的MAC值得到了提高?？梢?，利用圖像函數(shù)進(jìn)行模型校準(zhǔn)是完全可行的，且具有一定優(yōu)越性。

3 結(jié)論

本文對(duì)基于圖像函數(shù)的模型校準(zhǔn)的方法的可行性進(jìn)行了探討與研究。通過本文的研究，成功將Zernike矩應(yīng)用于某型彈用發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤的模型校準(zhǔn)之中。修正后，輪盤的固有頻率誤差降至2%以內(nèi)，前10階模態(tài)振型的MAC值均高于0.8。此外，考慮模態(tài)振型的Z矩，修正后試驗(yàn)/有限元的MAC值較僅采用固有頻率進(jìn)行修正得到了提高?？梢姡瑢D像函數(shù)應(yīng)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的模型校準(zhǔn)是可行的，可以使修正后的模型更準(zhǔn)確的反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。

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