郭嘉亮+李朋志+李佩玥

摘 要： 針對壓電陶瓷定位系統(tǒng)中電容傳感器故障對定位精度的影響，對使用擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）進(jìn)行容錯控制的方法進(jìn)行了研究。以傳感器采樣電路故障和掉電故障為對象，對三階軌跡規(guī)劃算法下電容傳感器的EKF濾波公式進(jìn)行了分析，提出以離散化迭代計(jì)算的EKF代替?zhèn)鹘y(tǒng)的將非線性系統(tǒng)線性化的方法。在壓電陶瓷定位系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺上，使用激光干涉儀作為測量基準(zhǔn)，在傳感器采樣電路故障和掉電故障的情況下，實(shí)現(xiàn)了500 μm行程，絕對精度小于3.5 μm，誤差小于0.7%的定位控制。結(jié)果表明，基于EKF的電容傳感器容錯控制可以有效減小傳感器故障引起的控制誤差，增加壓電陶瓷定位系統(tǒng)的魯棒性。

關(guān)鍵詞： 壓電陶瓷； 電容傳感器； 擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）； 容錯控制

中圖分類號： TN820.3?34 ；TP273+.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）21?0152?04

Fault tolerance control of capacitance transducer in

piezoelectric ceramic positioning system

GUO Jia?liang， LI Peng?zhi， LI Pei?yue

（State Key Laboratory of Applied Optics， Changchun Institute of Optics， Fine Mechanics and Physics， CAS， Changchun 130033， China）

Abstract： As the failure of capacitance transducer has a big impact on tracking accuracy of the piezoelectric ceramic positioning system， the methodology of using extended Kalman filter （EKF） to implement the fault tolerance control is investigated in this paper. Aiming at the sampling circuit failure and the power failure of the transducer， an EKF filtering formula of capacitance transducer under three?order trajectory planning algorithm is analysed. The method that the discrete iterative EKF algorithm is taken to replace the traditional method is introduced. Positioning control experiment is performed with the benchmark of the laser interferometer. The results indicate that the proposed method can achieve 0.7% maximum tracking errors， with the deviation of ±3.5 μm， in a stroke of 500 μm. The experimental results indicate that the fault tolerance control method based on EKF can the control error caused by transducer fault and increase the robustness of the piezoelectric ceramic positioning system.

Keywords： piezoelectric ceramic； capacitance transducer； extended Kalman filter； fault tolerance control

0 引 言

壓電陶瓷定位系統(tǒng)通常是由壓電陶瓷執(zhí)行器作為驅(qū)動器及電容傳感器作為位移傳感器而構(gòu)成的閉環(huán)定位系統(tǒng)[1]。由于壓電陶瓷定位系統(tǒng)具有高精度和高速度的特性，被廣泛地應(yīng)用于光刻物鏡調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)和干涉儀移相器等領(lǐng)域[2?3]。當(dāng)這種閉環(huán)控制的反饋信號惟一依賴于電容傳感器測量值時，如果電容傳感器產(chǎn)生在線故障，未經(jīng)過處理的故障信號會增大系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，嚴(yán)重時會造成系統(tǒng)不穩(wěn)定[4?5]。

卡爾曼濾波是一種使用遞歸方法解決線性濾波問題的最優(yōu)估計(jì)算法，可有效過濾掉隨機(jī)干擾，準(zhǔn)確地恢復(fù)出原始信號[6]，在組合導(dǎo)航系統(tǒng)中，基于自適應(yīng)卡爾曼濾波器的信息融合方法，可以有效增加系統(tǒng)的定位精度及魯棒性[7]；在多機(jī)器人協(xié)同控制中，擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）可以有效解決定位控制中非線性模型的預(yù)測問題[8]；由于不需要對非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程進(jìn)行線性化，并且不需要計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的雅可比矩陣，無跡卡爾曼濾波（UKF）在飛行器軌跡跟蹤領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用[9]；近年來，EKF在控制系統(tǒng)傳感器故障容錯控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，EKF是針對經(jīng)典卡爾曼濾波方法的非線性化推廣，在永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)中，EKF可以根據(jù)電機(jī)的先驗(yàn)狀態(tài)參數(shù)準(zhǔn)確估計(jì)當(dāng)前轉(zhuǎn)子位置，實(shí)現(xiàn)無傳感器電機(jī)控制[10]或者故障診斷[5]；在發(fā)動機(jī)故障診斷和容錯控制中EKF的應(yīng)用也取得了一定的進(jìn)展[11]。

本文首先對壓電陶瓷定位系統(tǒng)電容傳感器典型故障進(jìn)行分析；其次，針對三階軌跡規(guī)劃算法，將位移軌跡作為被估計(jì)的過程，通過對被估計(jì)過程EKF濾波公式的分析，提出一種基于離散迭代的EKF算法以替代傳統(tǒng)非線性系統(tǒng)近似線性化的方法；最后，通過實(shí)驗(yàn)對基于EKF的容錯控制方法的效果進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法行之有效。

1 問題描述

光刻物鏡可調(diào)機(jī)構(gòu)的壓電陶瓷定位系統(tǒng)如圖1所示，控制算法通過PC機(jī)端的Matlab/Simulink設(shè)計(jì)完成之后，通過RTW下載至目標(biāo)機(jī)的xPC Target實(shí)時內(nèi)核，目標(biāo)機(jī)內(nèi)置有NI公司的PCI?6229數(shù)據(jù)采集卡，xPC Target通過PCI?6229的D/A通道向驅(qū)動控制箱發(fā)送控制指令，驅(qū)動控制箱根據(jù)指令驅(qū)動壓電陶瓷執(zhí)行器，并將讀回的電容傳感器測量數(shù)值傳送至PCI?6229的A/D通道，反饋給xPC Target。

如圖1所示，xPC Target目標(biāo)機(jī)與驅(qū)動控制箱之間采用模擬信號連接，電容傳感器與驅(qū)動控制箱之間也采用模擬信號連接，相比于其他鏈路，這些模擬通道出現(xiàn)故障的概率更大。圖2是模擬通道典型故障的反饋值，在0.6～0.8 s之間電容傳感器第8個數(shù)據(jù)位出現(xiàn)故障、在1 s之后電容傳感器出現(xiàn)掉電故障。可見，故障時位移測量值與實(shí)際值出現(xiàn)較大偏差。因此，在將這些包括不準(zhǔn)確值的測量值反饋至控制器之前，對其進(jìn)行必要的容錯處理顯得尤為重要。

圖1 壓電陶瓷定位系統(tǒng)

2 擴(kuò)展卡爾曼濾波

將壓電陶瓷定位系統(tǒng)的位移軌跡作為被估計(jì)的過程[X]，那么這個過程的狀態(tài)變量[xk]即表示[k]時刻的位移值，對于文獻(xiàn)[1]中應(yīng)用于壓電陶瓷定位系統(tǒng)的三階軌跡規(guī)劃算法，這個過程[X]的狀態(tài)變量[xk]可以由以下離散差分方程描述：

[xk=xk-1+vk-1ts+ak-1t2s2+Jmt3s6] （1）

式中：[ts]為采樣周期；[Jm]為最大沖擊值常量；[ak-1，][vk-1，][xk-1]分別為[k-1]時刻加速度值、速度值、位移值。顯然[ak，][vk，][xk]均為時變參數(shù)，可見被估計(jì)過程的[X]是一個離散的非線性過程。

圖2 電容傳感器故障時位移測量值

針對離散非線性過程，卡爾曼濾波變形為如下離散的擴(kuò)展卡爾曼濾波公式[6]：

[xk/k-1=xk-1+f（xk-1）?Ts] （2）

[Pkk-1=Φkk-1Pk-1Φkk-1T+Qk-1] （3）

[xk=xkk-1+Kk（yk-Hkxkk-1）] （4）

[Pk=Pkk-1-KkHkPkk-1] （5）

[Kk=Pkk-1HkT（HkPkk-1HkT+R）-1] （6）

在傳統(tǒng)的擴(kuò)展卡爾曼濾波中，公式（2）中的[f（?）]是由非線性函數(shù)經(jīng)過泰勒級數(shù)展開，截去高階項(xiàng)后得到的近似線性化函數(shù)。這種線性化的近似計(jì)算存在兩個方面的缺陷：一方面，需要通過大量的在線仿真或?qū)嶒?yàn)才能獲得精度和速度相對較好的濾波系數(shù)[5]；另一方面，隨著遞歸算法的向前推移，泰勒級數(shù)高階項(xiàng)權(quán)重可能不斷增加，導(dǎo)致最終估計(jì)量誤差較大[6]。

為解決以上問題，將公式（1）改寫為公式（7）的形式：

[xk=xk-1+f（xk-1）ts] （7）

而公式（7）中的[f（?）]可以由公式（8）遞推求得[1]，公式（8）中各參數(shù)意義與公式（1）相同：

[f（xk）=vk+akts2+Jmt2s6vk=vk-1+ak-1ts+Jmt2s2ak=ak-1+Jmts] （8）

由公式（7）和公式（8）可見，在將壓電陶瓷定位系統(tǒng)的位移軌跡視作被估計(jì)過程[X]時，其擴(kuò)展卡爾曼濾波公式（2）中的線性化函數(shù)[f（?）]同樣可以由三階軌跡規(guī)劃的遞推過程求得，避免了傳統(tǒng)的將非線性系統(tǒng)線性化的復(fù)雜計(jì)算過程。

離散擴(kuò)展卡爾曼濾波式（2）～式（6）中其余參數(shù)的含義說明如表1所示。

至此，在三階軌跡規(guī)劃算法下，壓電陶瓷定位系統(tǒng)位移量的擴(kuò)展卡爾曼濾波器可由圖3表示，其中，狀態(tài)預(yù)測對應(yīng)公式（2），協(xié)方差預(yù)測對應(yīng)公式（3），狀態(tài)校正對應(yīng)公式（4），協(xié)方差校正對應(yīng)公式（5），增益更新對應(yīng)公式（6）。

表1 離散擴(kuò)展卡爾曼濾波器參數(shù)表

[參數(shù)＼&參數(shù)含義＼&[xk/k-1]＼&[k]時刻基于[k-1]時刻的預(yù)測估計(jì)＼&[xk-1]＼&[k-1]時刻的最優(yōu)估計(jì)＼&[Ts]＼&采樣周期＼&[Pkk-1]＼&[xk/k-1]的協(xié)方差＼&[Φkk-1]＼&轉(zhuǎn)移矩陣＼&[Pk-1]＼&[xk-1]的協(xié)方差＼&[Qk-1]＼&過程噪聲的協(xié)方差＼&[xk]＼&[k]時刻的最優(yōu)估計(jì)＼&[Kk]＼&卡爾曼濾波增益＼&[yk]＼&觀測變量＼&[Hk]＼&為觀測增益＼&[Pk]＼&[xk]的協(xié)方差＼&[R]＼&觀測噪聲的協(xié)方差＼&]

圖3 擴(kuò)展卡爾曼濾波器

3 實(shí)驗(yàn)與分析

為了對如圖1所示的壓電陶瓷定位系統(tǒng)中位移的測量值和EKF估計(jì)值做出準(zhǔn)確評價，實(shí)驗(yàn)過程中使用Renishaw公司的XL?80型激光測長干涉儀作為測量基準(zhǔn)，搭建了如圖4所示的實(shí)驗(yàn)平臺。其中，執(zhí)行器為Physik Instrumente公司的N?111型壓電陶瓷驅(qū)動器，傳感器為D?E30型電容傳感器。

實(shí)驗(yàn)采用的控制方案如圖5所示，其中，擴(kuò)展卡爾曼濾波器將電容傳感器信號濾波之后反饋至PID控制器，PID控制器根據(jù)此反饋信號和三階軌跡規(guī)劃的輸出信號，對壓電陶瓷執(zhí)行器的控制量做出計(jì)算。

實(shí)驗(yàn)中EKF濾波公式各參數(shù)賦值如下：采樣周期[Ts]與系統(tǒng)相同，為0.001 s；過程噪聲與N?111型壓電陶瓷執(zhí)行器的定位精度相關(guān)，根據(jù)對N?111大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果，過程噪聲方差[Qk-1]取值[5×10-4]；觀測變量[yk]為電容傳感器在線測量值，觀測噪聲與電容傳感器精度相關(guān)，經(jīng)過對D?E30型電容傳感器大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果，觀測噪聲方差[R]取值為[2.5×10-4]；觀測增益[Hk]取值為1，轉(zhuǎn)移矩陣[Φkk-1]由算式[Φkk-1=I+f（tk-1）Ts]在線求得；EKF的初始條件為[x0=0，][P0=1]。

圖4 壓電陶瓷定位系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺

圖5 電容傳感器容錯控制方案

實(shí)驗(yàn)過程中，當(dāng)電容傳感器在0.6～0.8 s之間第8個數(shù)據(jù)位出現(xiàn)故障、在1 s之后出現(xiàn)掉電故障，干涉儀測量值與EKF的估計(jì)值結(jié)果如圖6所示，EKF估計(jì)值誤差的絕對值如圖7所示。

圖6 干涉儀測量值與EKF估計(jì)值

圖7 EKF估計(jì)值誤差絕對值

由圖6和圖7的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，當(dāng)電容傳感器出現(xiàn)故障時，雖然EKF估計(jì)值的絕對誤差和方差均有所增加，但絕對誤差仍被控制在3.5 μm之內(nèi)，相比于圖2中未加EKF時的結(jié)果，濾波效果顯著。對于壓電陶瓷定位系統(tǒng)而言，EKF可以有效實(shí)現(xiàn)對電容傳感器的容錯控制。

4 結(jié) 語

本文將壓電陶瓷定位系統(tǒng)位移軌跡作為被估計(jì)的過程，對其擴(kuò)展卡爾曼濾波分析后，提出基于三階軌跡規(guī)劃離散迭代算法的擴(kuò)展卡爾曼濾波方法，這種方法可以有效避免非線性系統(tǒng)近似線性化的截?cái)嗾`差，避免大量的尋優(yōu)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的EKF算法能夠準(zhǔn)確地估計(jì)出壓電陶瓷定位系統(tǒng)的位移軌跡，實(shí)現(xiàn)了電容傳感器容錯控制，提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。

參考文獻(xiàn)

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圖4 壓電陶瓷定位系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺

圖5 電容傳感器容錯控制方案

實(shí)驗(yàn)過程中，當(dāng)電容傳感器在0.6～0.8 s之間第8個數(shù)據(jù)位出現(xiàn)故障、在1 s之后出現(xiàn)掉電故障，干涉儀測量值與EKF的估計(jì)值結(jié)果如圖6所示，EKF估計(jì)值誤差的絕對值如圖7所示。

圖6 干涉儀測量值與EKF估計(jì)值

圖7 EKF估計(jì)值誤差絕對值

由圖6和圖7的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，當(dāng)電容傳感器出現(xiàn)故障時，雖然EKF估計(jì)值的絕對誤差和方差均有所增加，但絕對誤差仍被控制在3.5 μm之內(nèi)，相比于圖2中未加EKF時的結(jié)果，濾波效果顯著。對于壓電陶瓷定位系統(tǒng)而言，EKF可以有效實(shí)現(xiàn)對電容傳感器的容錯控制。

4 結(jié) 語

本文將壓電陶瓷定位系統(tǒng)位移軌跡作為被估計(jì)的過程，對其擴(kuò)展卡爾曼濾波分析后，提出基于三階軌跡規(guī)劃離散迭代算法的擴(kuò)展卡爾曼濾波方法，這種方法可以有效避免非線性系統(tǒng)近似線性化的截?cái)嗾`差，避免大量的尋優(yōu)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的EKF算法能夠準(zhǔn)確地估計(jì)出壓電陶瓷定位系統(tǒng)的位移軌跡，實(shí)現(xiàn)了電容傳感器容錯控制，提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。

參考文獻(xiàn)

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圖4 壓電陶瓷定位系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺

圖5 電容傳感器容錯控制方案

實(shí)驗(yàn)過程中，當(dāng)電容傳感器在0.6～0.8 s之間第8個數(shù)據(jù)位出現(xiàn)故障、在1 s之后出現(xiàn)掉電故障，干涉儀測量值與EKF的估計(jì)值結(jié)果如圖6所示，EKF估計(jì)值誤差的絕對值如圖7所示。

圖6 干涉儀測量值與EKF估計(jì)值

圖7 EKF估計(jì)值誤差絕對值

由圖6和圖7的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，當(dāng)電容傳感器出現(xiàn)故障時，雖然EKF估計(jì)值的絕對誤差和方差均有所增加，但絕對誤差仍被控制在3.5 μm之內(nèi)，相比于圖2中未加EKF時的結(jié)果，濾波效果顯著。對于壓電陶瓷定位系統(tǒng)而言，EKF可以有效實(shí)現(xiàn)對電容傳感器的容錯控制。

4 結(jié) 語

本文將壓電陶瓷定位系統(tǒng)位移軌跡作為被估計(jì)的過程，對其擴(kuò)展卡爾曼濾波分析后，提出基于三階軌跡規(guī)劃離散迭代算法的擴(kuò)展卡爾曼濾波方法，這種方法可以有效避免非線性系統(tǒng)近似線性化的截?cái)嗾`差，避免大量的尋優(yōu)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的EKF算法能夠準(zhǔn)確地估計(jì)出壓電陶瓷定位系統(tǒng)的位移軌跡，實(shí)現(xiàn)了電容傳感器容錯控制，提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。

參考文獻(xiàn)

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