趙國瑞

在2012年廣東省珠海市的中考試卷中，有一道關(guān)于“數(shù)字對稱等式”的趣題，觀察下列等式：

12×231=132×21，

13×341=143×31，

23×352=253×32，

34×473=374×43，

62×286=682×26，

……

以上每個等式中兩邊數(shù)字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類等式為“數(shù)字對稱等式”。

（1）根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子稱為“數(shù)字對稱等式”：

①52×_____=_____×25；

②_____×396=693×_____。

（2）設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，且2≤a+b≤9，寫出表示“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子（含a、b），并證明。

分析：先觀察等式左邊兩位數(shù)和三位數(shù)的規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)：等式左邊的三位數(shù)的百位和個位數(shù)字分別是兩位數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字，三位數(shù)的十位數(shù)字等于兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和。再根據(jù)式子的對稱性，不難寫出等式右邊的兩位數(shù)和三位數(shù)。

解：（1）①因為5+2=7，所以左邊的三位數(shù)是275，右邊的三位數(shù)是572，

所以52×275=572×25；

②因為左邊的三位數(shù)是396，所以左邊的兩位數(shù)是63，右邊的兩位數(shù)是36，63×396=693×36。

故答案為：①275，572；②63，36。

（2）因為左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，

所以左邊的兩位數(shù)是10a+b，三位數(shù)是100b+10（a+b）+a。

右邊的兩位數(shù)是10b+a，三位數(shù)是100a+10（a+b）+b。

所以一般規(guī)律的式子為（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。

證明：因為（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）

=（10a+b）（110b+11a）=11（10b+a）（10a+b）；

又因為[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）

=（110a+11b）（10b+a）=11（10b+a）（10a+b）。

所以（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。

上面的“數(shù)字對稱等式”是兩位數(shù)與三位數(shù)相乘，實際上兩位數(shù)與兩位數(shù)相乘也可以得到“數(shù)字對稱等式”，如23×64=46×32，34×86=68×43。

練習(xí)：（1）兩位數(shù)與兩位數(shù)相乘的“數(shù)字對稱等式”有什么規(guī)律？

（2）設(shè)其中的一個兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，另一個兩位數(shù)的十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，寫出表示“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子（含a、b），并證明。

（3）請再寫出兩對“數(shù)字對稱等式”。

（4）下面是一個“數(shù)字對稱等式”，但是其中一個數(shù)字沒有給出來，用一個空白方框代替：12×46□=□64×21。

問：式中“□”所在位置的數(shù)字是多少？

練習(xí)參考答案

（1）兩位數(shù)的個位數(shù)字的積等于十位數(shù)字的積；

（2）如果ac=bd，則（10a+b）（10c+d）=（10d+c）（10b+a）。

證明：（10a+b）（10c+d）=100ac+10ad+10bc+bd，

（10d+c）（10b+a）=100bd+10ad+10bc+ac，

所以（10a+b）（10c+d）-（10d+c）（10b+a）=（100ac+10ad+10bc+bd）-（100bd+10ad+10bc+ac）

=100ac+bd-100bd-ac=99ac-99bd。

因為ac=bd，所以99ac-99bd=0，即（10a+b）（10c+d）-（10d+c）（10b+a）=0。

所以（10a+b）（10c+d）=（10d+c）（10b+a）。

（3）12×63=36×21，23×96=69×32等。

（4）設(shè)“□”所在位置的數(shù)字是x，那么12×（460+x）=（100x+64）×21，解得x=2。所以，方框中的數(shù)字應(yīng)該是2。通過驗證，這時等式左、右兩邊的積都等于5 544。

當(dāng)然也可直接利用“數(shù)字對稱等式”中的數(shù)字規(guī)律，直接求出“□”所在位置的數(shù)字是6-4=2。