周 鵬，李貴杰，黃 劍

（1.蘭州交通大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

機械工程領域，系統(tǒng)存在的間隙使系統(tǒng)發(fā)生碰振，由摩擦引起的碰振是強非線性和非光滑的，眾多學者對此進行了研究。Shaw［1］對雙面碰振系統(tǒng)進行研究，發(fā)現(xiàn)了斯梅爾馬蹄。Cone［2］研究含干摩擦的雙面沖擊振子，得到系統(tǒng)存在黏滑碰撞。Vir gin［3］研究了包含摩擦阻尼的雙邊諧激勵碰撞系統(tǒng)的全局動力學，說明擦邊分岔是系統(tǒng)行為突變的來源。Ding［4］研究強共振情形下多自由度碰振系統(tǒng)的次諧分岔與霍普夫分岔。本文給出含間隙和干摩擦的兩自由度碰振系統(tǒng)的運動方程和銜接條件，采用數值迭代法研究干摩擦和帶速對系統(tǒng)動力學的影響。

1 力學模型及運動方程

1.1 力學模型

圖1為一類具有質量分別為M1和M2的振子的碰振系統(tǒng)的動力學模型。振子M1由黏性阻尼C1和剛度為K1的彈簧與振子M2相連接，振子M2由阻尼C2和剛度為K2的彈簧與剛性平面連接，作用在M1和M2的簡諧力為Pisin（ΩT＋τ）（其中，Ω為角速度，τ為初相角，T為時間，Pi分別為作用在兩振子的外激勵，i＝1，2），皮帶與兩質塊之間的干摩擦力分別為F1和F2。取正方向為水平向右建立坐標系，兩振子的質心作為原點，X1和X2分別表示M1和M2的位移。當M1的位移為B（或-B）時，將與剛度為K0的彈性約束碰撞，皮帶速度為V。一定時間后M1改變運動方向，又以新的初值運動，再與約束碰撞，如此往復。

1.2 運動微分方程

在任意連續(xù)兩次碰撞之間（｜X1｜＜B）摩擦碰振系統(tǒng)的運動方程為：

圖1 兩自由度含間隙和干摩擦碰振系統(tǒng)模型

振子與皮帶之間摩擦力為：

其中：μ1，μ2為滑動摩擦系數。振子M1與彈性約束碰撞時的彈簧力為：

設μm＝，則系統(tǒng)的量綱一方程：

1.3 滑動、黏滑及碰撞

圖1所示碰振系統(tǒng)的模型是分段光滑的，在一完整運動過程中，令M1除摩擦力外所受的合外力＝｜（1-f20）sin（ωt＋τ）-2ζv＋2-x1＋x2-f（x1，v）｜；M2除摩擦力外所受的合外力＝下面分5種不同情況進行討論。

（1）＝v，≠v，則黏滑，滑動，系統(tǒng)運動方程為：

直到＞f s1（f s1為最大靜摩擦），M1黏滑結束，開始滑動。

（2）≠v，＝v，則M2黏滑，M1滑動，系統(tǒng)運動方程為：

直到＞f s2時（f s2為最大靜摩擦），M2黏滑結束，開始滑動。

（3）＝v＝v，則M1，M2都發(fā)生黏滑，系統(tǒng)運動方程：

直到＞或＞f s2時，M1或M2開始滑動。

4x1≠v x2≠v M1M2都發(fā)生滑動。直到≥f s1時M1開始黏滑，或≥f s2時M2開始黏滑。

（5）｜x1｜＝δ，M1與約束發(fā)生碰撞。

系統(tǒng)在上述5種運動狀態(tài)間轉換。

2 系統(tǒng)的周期運動與穩(wěn)定性

研究運動方程的映射圖，每次迭代都表示質塊M1和約束發(fā)生一次碰撞。令θ＝ωt，取龐加萊截面∑＝｛（x1，x，x2，，θ）∈R4×S｜x1＝δ，＞0｝即質塊M1位移為δ且速度大于零。假設在n個激勵周期內，經歷q次右碰，p次左碰，k次黏滑，用n-p-q-k-I表示不含黏滑的周期碰撞，n-p-q-k-II表示含黏滑的周期碰撞。其無量綱時間t為0，則下次碰撞前瞬時，t恰好為2nπ／ω。通過映射Q可以得到其Jacobi矩陣DQ，根據DQ的特征值λ1能判斷出圖1所示碰振系統(tǒng)的周期運動與局部分岔。

3 數值分析

著重研究帶速和干摩擦對系統(tǒng)動力學的影響。取無量綱參數：μm＝0.2，μk＝0.1，μc＝0.2，δ＝0.01，ζ＝0.2，f20＝0.5，μk1＝0.3，μk0＝100，v＝0.1。圖2為取不同的摩擦因數f u＝1和f u＝0.1，當ω由0到5變化時的全局分岔圖。由圖2可以看出：隨著摩擦力增大，在激勵頻率較小時只影響到穿越截面的速度大??；在激勵頻率較大時，系統(tǒng)從存在混沌帶和一些周期窗口演化成倍周期混沌最后到周期運動。

圖2 M 1分岔圖

通過對圖2（a）和圖2（c）的比較可知，干摩擦一定，當皮帶輪速度較低時，系統(tǒng)混沌區(qū)域寬度變窄，低頻區(qū)域尤其明顯，周期運動明顯增加，混沌區(qū)域明顯減少，質塊M1與兩側約束的沖擊速度減小。增大皮帶輪速度v，系統(tǒng)的周期窗口增多，混沌與周期運動交替出現(xiàn)，質塊與兩側約束的沖擊速度變大。

圖3給出了系統(tǒng)的周期倍化過程。ω∈（4.616，5）時M1為非對稱的周期1-1-1-1-II運動，此段位移內M1與皮帶輪黏滑。ω∈（4.341，4.616）時演變?yōu)榉菍ΨQ的周期2-2-2-1-II運動，在ω＝4.616處出現(xiàn)倍化分岔。在ω＝（4.266，4.341）變遷為4-4-4-2-II運動。在ω＝（4.05，4.266）時系統(tǒng)由倍化分岔進入混沌。在ω＝ 4.002 4.05 時系統(tǒng)由混沌退化為周期2運動，并在ω＝4.002處進入逆倍化分岔。從時間響應圖或相圖都能看出質塊在皮帶輪上的黏滑運動，并且展現(xiàn)了系統(tǒng)運動狀態(tài)隨著摩擦因數的變化而變化。

圖3 周期倍化過程

4 結論

（1）系統(tǒng)的動力響應存在叉式分岔、倍周期分岔和逆倍化分岔。

（2）帶速一定，摩擦力較大時對系統(tǒng)動力學性能影響明顯。在頻率比較小時質塊穿越的速度影響明顯，頻率比較大時系統(tǒng)的拓撲結構影響明顯。

（3）干摩擦一定，在小帶速時導致系統(tǒng)混沌區(qū)域寬度變窄，低頻區(qū)域尤其明顯，周期運動明顯增加，混沌區(qū)域明顯減少。

［1］Shaw S W.The dynamics of a hArmonically exited system having rigid amplitude constraints［J］.Jour nal of Applied Mechanics，1985，52（2）：453-464.

［2］Cone K M.A nu merical study of an i mpact oscillator with addition of dry friction［J］.Journal of Sound and Vibration，1995，188（5），659-683.

［3］Vir gin L N.Grazing bif urcations and basins of attraction in an i mpact-friction oscillator［J］.Physica D，2001，132：43-57.

［4］Ding W C，Xie J H.Dynamical analysis of two-parameter family for a vibro-impact system in resonance cases［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，287（1）：101-115.

［5］陸啟韶，金俐.具有剛性約束的非線性動力系統(tǒng)的局部映射方法［J］.固體力學學報，2005，26（2）：132-138.

［6］羅冠煒，謝建華.碰撞振動系統(tǒng)的周期運動和分岔［M］.北京：科學出版社，2004.

［7］金棟平，胡海巖.碰撞振動及其典型現(xiàn)象［J］.力學進展，1999，29（2）：155-163.

［8］羅冠煒.塑性碰撞機械振動系統(tǒng)的周期運動和分岔［J］.機械工程學報，2006，10（10）：87-96.