毛先柏 劉素凱 賴旭芝

【摘要】本文分析了電路中所存在的對偶現(xiàn)象，闡述了對偶原理在電路分析時(shí)的應(yīng)用，探討了對偶原理及其在電路課程教學(xué)中及早建立對偶概念的必要性，根據(jù)電路理論中對偶原理，并運(yùn)用心理學(xué)的觀點(diǎn)，閑述了對偶原理在電路教學(xué)中的重要作用及應(yīng)用時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】對偶性原理；對偶元素；電路教學(xué)

1.引言

對偶，是客觀世界中存在的一種特殊規(guī)律，其實(shí)質(zhì)是指客觀世界中兩類變量的性質(zhì)和地位完全一致。若對某一變量的定理成立，應(yīng)用對偶原理，其對偶元素的對偶定理也成立。對偶性原理是認(rèn)識事物和解決問題的一種簡捷方便且行之有效的分析方法。幾乎所有的學(xué)科領(lǐng)域都會涉及到對偶性原理的研究和運(yùn)用，電路也一樣，許多電路變量、電路元件、電路定律、定理及計(jì)算方法等都存在著明顯的對偶關(guān)系。在電路的教學(xué)過程中，及時(shí)給學(xué)生建立對偶的概念并引導(dǎo)他們正確運(yùn)用對偶原理，將能有效提高該課程的教學(xué)效率。

2.電路對偶特性的反映形式

電路中存在著“兩類約束”。每一元件上電壓電流之間的關(guān)系由元件的伏安關(guān)系式來描述，它與元件自身特性有關(guān)，稱為“元件約束”；在電路中，由于各元件間的相互聯(lián)接，必然又導(dǎo)致各元件的電流之間及電壓之間存在一定的“約束”關(guān)系，這類約束關(guān)系稱之為“拓?fù)浼s束”或“結(jié)構(gòu)約束”，表示這類約束關(guān)系的是基爾霍夫定律，它包括基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律。電路中的許多變量、元件、結(jié)構(gòu)及定律都是成對出現(xiàn)的，并且存在相類似的一一對應(yīng)的特性。這種特性就稱為電路的對偶性。電路的對偶性，存在于電路變量、電路元件、電路定律、電路結(jié)構(gòu)和電路方程之間的一一對應(yīng)中。

1）電路元件對偶：電阻R—電導(dǎo)G；電感L—電容C；理想電壓源—理想電流源；實(shí)際電壓源—實(shí)際電流源等；

2）電路結(jié)構(gòu)對偶：串聯(lián)與并聯(lián)；開路與短路；回路與結(jié)點(diǎn)等；

3）電路定律對偶：電路定律是基于電路元件及結(jié)構(gòu)的。前兩者的對偶，必然導(dǎo)致電路定律的對偶。例如歐姆定律：電阻R：u=Ri——電導(dǎo)G：i=Gu；基爾霍夫定律：針對回路的KVL定律（ΣU=0）——針對結(jié)點(diǎn)的KCL定律（Σ I=0）；

4）電路方程式對偶：由于電路結(jié)構(gòu)及電路定律的對偶，必然導(dǎo)致電路方程式的對偶，從而方程的解必然對偶；

5）電路分析方法對偶：例如無源二端網(wǎng)絡(luò)中，電阻串聯(lián)與電導(dǎo)并聯(lián)的計(jì)算方法對偶；電源的連接中，電壓源串聯(lián)與電流源并聯(lián)的計(jì)算方法對偶；回路電流法與結(jié)點(diǎn)電壓法的計(jì)算方法對偶等；

6）電路定理對偶：例如互易定理中電壓源與電流源互易位置對偶；等效電源定理中實(shí)際電壓源模型與實(shí)際電流源模型對偶；戴維寧定理與諾頓定理對偶等。

電路中存在著一系列的對偶關(guān)系，且是互為因果的，即對任何電路元件進(jìn)行兩次對偶變換便得到原來的元件，其他各種對偶關(guān)系也是如此。此外，電路的對偶特性及對偶方法只能用于平面電路，對非平面電路不適用；對偶電路僅僅相互對偶，但彼此之間并不等效，但是兩個(gè)等效電路的對偶電路彼此也是等效的；當(dāng)電路與其對偶的電路具有相同的線狀圖時(shí)，這種對偶稱為自對偶。

3.對偶在電路教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用

在電路教材中，對偶原理一般都是放在直流電阻電路的最后才提出的。其實(shí)，在之對偶現(xiàn)象已比比皆是，若在教學(xué)過程中盡早引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握這一原理，將會增強(qiáng)課堂信息量，提高教學(xué)效率，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對電路探究的興趣；同時(shí)，還能吸引學(xué)生自覺探索課程內(nèi)容之間存在的聯(lián)系。因此，在電路教學(xué)中讓學(xué)生及早建立對偶的概念并引導(dǎo)他們正確運(yùn)用對偶關(guān)系至關(guān)重要。

（1）對偶概念的建立

電路課程的開始，復(fù)習(xí)了電壓、電流這兩個(gè)基本變量；教學(xué)中可基于這兩個(gè)基本變量引入對偶的概念，指明電流、電壓是一對對偶變量，使得學(xué)生有一個(gè)初步的印象；緊接著，在介紹基爾霍夫定律的時(shí)候，給出結(jié)點(diǎn)——網(wǎng)孔、網(wǎng)孔電流——結(jié)點(diǎn)電壓為對偶元素，同時(shí)指出KCL、KVL亦是一對對偶的定律；介紹電路連接時(shí)，指明串聯(lián)——并聯(lián)是一對對偶的連接方式，給出對偶的概念并分析其特點(diǎn)，進(jìn)行總結(jié)。至此，學(xué)生腦中已意識到電路的基本變量和基本定律都是對偶的，基本建立了對偶的概念。

（2）對偶概念的應(yīng)用

及早建立起來的對偶的概念將會給后面的教學(xué)帶來很多益處。例如，在電路課程中，節(jié)點(diǎn)電壓法和網(wǎng)孔電流法是一對對偶的分析法方法，其中節(jié)點(diǎn)——網(wǎng)孔、節(jié)點(diǎn)電壓——網(wǎng)孔電流、KCL方程——KVL方程等都是對偶的元素。在講課時(shí)，先介紹了網(wǎng)孔電流法，再講節(jié)點(diǎn)電壓法，推導(dǎo)其節(jié)點(diǎn)電壓方程通式時(shí)，只講清推導(dǎo)思路，指出將支路電流用節(jié)點(diǎn)電壓表示后帶入KCL方程，整理后即可得到與網(wǎng)孔電流方程相對偶的一組節(jié)點(diǎn)電壓方程。經(jīng)此一點(diǎn)，學(xué)生必恍然大悟，較好的理解該方程建立的本質(zhì)。

在電路課程中，戴維寧定理——諾頓定理、動態(tài)電路部分的RC串聯(lián)電路——GL并聯(lián)電路、RLC串聯(lián)電路——GCL并聯(lián)電路、正弦交流電路部分的串聯(lián)諧振-并聯(lián)諧振等內(nèi)容均呈對偶關(guān)系。因此，在對偶的概念建立起之后，授課時(shí)即可運(yùn)用這種對偶關(guān)系促進(jìn)教學(xué)。

（3）對偶概念的借鑒

電路中有些內(nèi)容嚴(yán)格意義上說并不具有對偶性質(zhì)，但也可以借鑒對偶的思想，按照對偶的性質(zhì)方法來記憶，更容易將知識記牢固。例如三相電路中星形負(fù)載與三角形負(fù)載連接時(shí)相電壓與線電壓、相電流與線電流的關(guān)系：

星形負(fù)載連接：

三角形負(fù)載連接：

上述表達(dá)式中，可將兩組公式看成對偶公式，每組公式中，可講電壓和電流又看成對偶量，加深記憶。

4.幾點(diǎn)運(yùn)用對偶原理的體會

（1）利用對偶原理可增強(qiáng)知識的記憶

電路作為一門技術(shù)基礎(chǔ)課，其目的就是讓學(xué)員理解并記住電路的基本概念、基本原理，學(xué)會運(yùn)用它們分析具體的電路，通過對具體電路的分析，掌握不同類型電路的工作特點(diǎn)及其分析方法。在教學(xué)中，充分運(yùn)用電路的對偶關(guān)系，將會使學(xué)員對基本概念、基本原理、基本分析方法及電路工作特點(diǎn)理解的更加深刻、記憶更加牢固

（2）利用對偶原理可促進(jìn)知識的正向遷移

學(xué)習(xí)的遷移是指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響。凡是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)起促進(jìn)作用的，都是正向遷移，而一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)起干擾或阻礙作用的，則是負(fù)向遷移。

對偶關(guān)系，由于二者之間的相似性，在教與學(xué)的過程中可以形成學(xué)習(xí)的遷徙。在電路課程教學(xué)中，應(yīng)充分利用這種遷移效果來促進(jìn)教學(xué)，但由于具體電路的工作條件及我們分析電路的習(xí)慣等因素的作用，使得電路中對偶的一些關(guān)系的表現(xiàn)形式也略有不同；由于思維定式的影響，對偶關(guān)系之間亦會產(chǎn)生負(fù)向遷移效果。作為教員，應(yīng)及時(shí)準(zhǔn)確的引導(dǎo)學(xué)員避免負(fù)向遷移，恰當(dāng)?shù)睦靡延械闹R，促進(jìn)知識的正向遷移。

（3）利用對偶原理可以促進(jìn)知識的融會貫通

隨著教學(xué)的進(jìn)行，不同分析域之間的對偶性也日漸增強(qiáng)，作為老師，此時(shí)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意這種對偶關(guān)系的總結(jié)，最后得出結(jié)論：無論時(shí)域、頻域、復(fù)頻域，電路的工作都是受到基爾霍夫定律和元器件伏安關(guān)系所約束的，這是電路理論的根本所在。至此，學(xué)生對電路理論的認(rèn)識有了質(zhì)的飛躍，真正抓住了電路理論的實(shí)質(zhì)。

在電路課程教學(xué)中，要隨時(shí)注意發(fā)掘并指明對偶現(xiàn)象和對偶規(guī)律，利用對偶啟發(fā)學(xué)生作對比分析，啟發(fā)學(xué)生積極思考，幫助學(xué)生深入的掌握教學(xué)內(nèi)容，一箭雙雕，觸類旁通。

5.結(jié)束語

綜上所述，在電路教學(xué)中利用對偶原理，可以使得電路的分析方法變的簡單，因?yàn)槲覀冋莆樟艘恍╇娐返姆治龇椒ㄖ?，就可以根?jù)對偶原理直接得出另外一些與之對應(yīng)的電路的分析方法。這對于電路課程的掌握、理解、記憶都將提供很大的方便，也使得對電路的學(xué)習(xí)變得更為靈活。

參考文獻(xiàn)

[1]邱關(guān)源.電路（第四版）[M].高等教育出版社，1999.

[2]周守昌.電路原理（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1998.

[3]張景瑩.大學(xué)心理學(xué)[M].清華大學(xué)出版社，1986.

[4]R.E.斯科特[美]鄭翔等譯.線性電路[M].高等教育出版社，1965.