姜 剛 葛尊彪

（蘇州大學(xué)機電工程學(xué)院，江蘇 蘇州215021）

0 引言

壓電陶瓷驅(qū)動器具有體積小、位移分辨率高、頻響高、無噪聲、不發(fā)熱等優(yōu)點，是一種理想的微位移元件，廣泛應(yīng)用在超精密驅(qū)動、定位和控制系統(tǒng)中。但是，壓電陶瓷具有遲滯非線性，影響定位精度，給系統(tǒng)控制帶來了困難［1］。要減小壓電陶瓷的遲滯非線性影響，主要可從壓電陶瓷的內(nèi)部機理、遲滯建模、控制方法和驅(qū)動方式等幾個方面采取措施［2］。其中，對壓電陶瓷進行遲滯建模并設(shè)計控制算法是減小遲滯的一個有效途徑。針對壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯現(xiàn)象，本文采用Prandtl－Ishlinskii算子建立遲滯模型及其逆模型，并采用自適應(yīng)逆控制算法構(gòu)建控制系統(tǒng)，對壓電陶瓷進行了實驗研究。

1 遲滯模型的建立

1.1 遲滯模型的特點

壓電陶瓷的遲滯特性是指壓電陶瓷的升壓曲線和降壓曲線不重合，之間存在位移差。壓電陶瓷的遲滯非線性屬于非局部存儲型遲滯非線性，是壓電陶瓷固有的特性。其主要特點為系統(tǒng)下一時刻的輸出不僅取決于當(dāng)前時刻的輸入和輸出，還取決于輸入的歷史。壓電陶瓷的遲滯環(huán)是不對稱的，即上升軌跡和下降軌跡之間沒有對稱軸。如圖1所示，在某一輸入驅(qū)動電壓范圍［U0，Un］內(nèi)，最外部的遲滯曲線稱為主遲滯環(huán)，其內(nèi)部的遲滯曲線稱為小遲滯環(huán)，對于 U∈［U0，Un］，其遲滯曲線變化均在主遲滯環(huán)以內(nèi)。它具有如下性質(zhì)：在A點轉(zhuǎn)換方向的任意遲滯曲線由該點輸入和輸出值唯一確定；遲滯曲線C1上的任意點B變成新的轉(zhuǎn)折點，則從B點出發(fā)的曲線C2一定返回A點；曲線C2達到A點，其下一步的變化與主遲滯曲線C重合；通過非轉(zhuǎn)折點D的多條曲線的變化趨勢由相關(guān)的輸入歷史唯一確定；每個遲滯環(huán)曲線之間具有一定的相似性。

圖1 壓電陶瓷遲滯特性示意圖

1.2 建立模型

比較理想的遲滯數(shù)學(xué)模型應(yīng)符合以下條件：數(shù)學(xué)描述簡單，模型參數(shù)較少；模型參數(shù)容易辨識，對輸入、輸出數(shù)據(jù)及未知誤差的變化反應(yīng)不靈敏，具有一定的魯棒性；存在遲滯逆模型，并容易獲得；模型能夠精確描述遲滯現(xiàn)象?；谏鲜鼋弘娞沾蛇t滯模型的基本要求，采用Prandtl－Ishlinskii遲滯算子建立遲滯模型，該遲滯模型由許多通過加權(quán)疊加的基本遲滯算子組成，這些基本遲滯算子通過一個或多個參數(shù)的不同來區(qū)別。Prandtl－Ishlinskii遲滯算子可以表示為：

式中，x（t）和y（t）分別為系統(tǒng)的輸入和輸出信號；x（t0）和y（t0）為遲滯算子初始值；r為遲滯算子的閾值。

系統(tǒng)輸出信號y（t）由系統(tǒng)初始狀態(tài)z（t0）＝［x（t0），y（t0）］和系統(tǒng)輸入信號決定。有著不同閾值r的多個基本遲滯算子通過加權(quán)疊加，可以精確描述遲滯現(xiàn)象。圖2表示了Prandtl－Ishlinskii遲滯算子變換特性。

圖2 Prandtl－Ishlinskii遲滯算子特性

Prandtl－Ishlinskii遲滯算子 Hr［x］（t）可以進一步表示為：

為實時計算彌補信號，必須用到數(shù)字信號處理，所以必須推導(dǎo)出一個在時間上離散的算子模型。離散遲滯算子可由式（2）得到：

且滿足初值 pr［x］（t0）＝max｛x（t0），min｛x（t0）＋r，y（t0）｝｝。

具有不同閾值的多個Prandtl－Ishlinskii遲滯算子加權(quán)疊加就可以用來描述復(fù)雜的遲滯數(shù)學(xué)模型：

其中，ωi是遲滯算子權(quán)值向量，Z0是模型的初始狀態(tài)向量。由于基本的Prandtl－Ishlinskii遲滯算子具有連續(xù)性，任何復(fù)雜的遲滯特性都可由有限數(shù)目的基本算子來建立足夠精確的模型。

由Prandtl－Ishlinskii遲滯模型可以得到遲滯逆模型：

式中，W′、r′、Z′0分別是與遲滯模型相對應(yīng)的權(quán)值向量、閾值向量和初始狀態(tài)向量。

2 控制算法設(shè)計

對壓電陶瓷進行遲滯建模并設(shè)計控制算法是減小遲滯的一個有效途徑。自適應(yīng)逆控制的核心部分是被控制對象的模型和逆模型的自適應(yīng)調(diào)整過程。最小均方誤差（L MS）算法簡單且收斂速度快，所以采用L MS算法。L MS算法的誤差必須是針對對象輸入的，也就是針對自適應(yīng)控制器輸出的。為了利用L MS算法及其高速自適應(yīng)過程，提出圖3所示的一個實用的自適應(yīng)逆控制系統(tǒng)。通過用來自系統(tǒng)輸出與遲滯模型輸出的誤差直接對遲滯模型進行自適應(yīng)調(diào)節(jié)，應(yīng)用自適應(yīng)L MS辨識方法獲得遲滯模型H，然后求得遲滯逆模型H－1，一旦遲滯逆模型得到就可以用一個完全的數(shù)字復(fù)制作為對象的控制器。

圖3 自適應(yīng)逆控制系統(tǒng)

L MS算法權(quán)值向量更新的表達式為：

其中，ek＝Y(jié)k－。Yk為系統(tǒng)實際輸出為遲滯模型輸出；標量參數(shù)μ是收斂因子。當(dāng)偏差ek足夠小時，將獲得權(quán)值向量，進而獲得遲滯模型。

3 跟蹤控制實驗

為了驗證自適應(yīng)逆控制算法和所建立的遲滯模型以及逆模型的正確性，建立如圖4所示實驗系統(tǒng)進行研究。在該實驗系統(tǒng)中，采用哈工大博實精密公司生產(chǎn)的NANO－50C型一維精密定位工作臺；采用德國PI公司P－830.40型壓電陶瓷驅(qū)動器作為執(zhí)行元件，最大行程60μm；采用哈工大博實精密公司生產(chǎn)的HPV型高性能壓電陶瓷驅(qū)動電源，輸出電壓范圍0～120 V，輸出紋波小于5 mV；采用德國SIOS公司AE SP 500E型激光測微儀作為傳感器，測量范圍0～500 mm，分辨率1.3 n m；采用ADLINK公司的9118 HR卡來實現(xiàn)數(shù)據(jù)采集及模擬輸出的功能。

圖4 微定位控制系統(tǒng)原理圖

在該實驗中，采用Visual C＋＋編程。計算機輸出數(shù)字信號，經(jīng)D／A轉(zhuǎn)換成模擬信號，并經(jīng)壓電陶瓷驅(qū)動電源放大后作用于壓電陶瓷驅(qū)動器，壓電陶瓷驅(qū)動器驅(qū)動微動平臺運動，位移傳感器檢測到位移信號后經(jīng)A／D轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號返回計算機。實驗結(jié)果如下所示，圖5為輸入的建模信號，是一組幅值變化的三角波。圖6為初始狀態(tài)的系統(tǒng)輸出，圖7為采用自適應(yīng)逆控制算法后的系統(tǒng)輸出。可以看出，壓電陶瓷的遲滯非線性明顯減小，系統(tǒng)的輸出非線性誤差從±17.7%下降到±1.43%，系統(tǒng)性能顯著提高。

圖5 輸入的建模信號

圖6 初始狀態(tài)的系統(tǒng)輸出

圖7 采用自適應(yīng)逆控制算法后的系統(tǒng)輸出

4 結(jié)語

本文針對壓電陶瓷的自身遲滯非線性問題，基于Prandtl－Ishlinskii遲滯算子建立壓電陶瓷遲滯模型及其逆模型，采用自適應(yīng)逆控制算法，搭建實驗系統(tǒng)進行了控制研究。PI遲滯模型具有模型簡單、運算量小、擬合精度高且逆模型容易求取等優(yōu)點。實驗結(jié)果表明，采用自適應(yīng)逆控制算法，壓電陶瓷的遲滯非線性顯著降低，從而證明了所提出的建模方法及控制算法的正確性。

［1］王希華，郭書祥，汝長海，等.基于壓電陶瓷遲滯非線性的建模方法［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2010（1）

［2］汝長海.壓電陶瓷驅(qū)動器極化模型及控制方法的研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2005