羅李平

（衡陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系，湖南 衡陽 421002）

0 引 言

1970年，Domslak［1］在研究向量微分方程時首次引入了H－振動性的概念，其中H是一個單位向量。H－振動性的概念是研究向量微分方程的新的有力工具。關(guān)于這一概念及其應(yīng)用，1996年Courant和Hilbert在文［2］中作了很好的闡述。最近，一些學(xué)者把H－振動性的概念運用于（脈沖）向量偏微分方程的H－振動性研究上，也取得了一些很好的研究成果［3－10］。本文將考慮如下的一類向量中立型拋物邊值問題。

解的H－振動性問題，其中U（x，t）∈C2（Ω×［t0，∞），Rm）是向量函數(shù)，Ω是Rn中具有逐片光滑邊界的有界域，Δ是Rn中的n維Laplacian算子，R＋＝［0，∞）。同時考慮Robin邊值條件：

其中0是Rm中的零向量，N 是?Ω的單位外法向量，α（x），β（x）∈C（?Ω，（0，∞））.

在本文中，我們總假設(shè)下列條件成立：

定義1 向量函數(shù)U（x，t）∈C2（Ω×［t0，∞），Rm）稱為邊值問題（1），（2）的解，若U（x，t）在G上滿足方程（1）及在?Ω×R＋上滿足邊界條件（2）。

定義2 邊值問題（1），（2）的解U（x，t）稱為在G內(nèi)H－振動，若對Rm中的單位向量H 及任意大的T≥0，存在一點 （x0，t0）∈ Ω×［T，∞），使得內(nèi)積 ＜U（x0，t0），H ＞＝0。

1 主要結(jié)果及其證明

為了討論邊值問題（1），（2）的H－振動性，我們在Ω上考慮Robin特征值問題：

令λ0是問題（3）的第一特征值，則據(jù)文獻［11］知，λ0＞0，且?x∈Ω，其相應(yīng)的特征函數(shù)φ（x）＞0。

為敘述方便，在本文中引入如下記號：

定理1 設(shè)（H1）－（H2）成立，U（x，t）是方程（1）的解。若UH（x，t）最終為正，則UH（x，t）滿足純量雙曲型偏微分不等式

證明 設(shè)UH（x，t）最終為正。將方程（1）兩邊與H作內(nèi)積，由內(nèi)積性質(zhì)可得

注意到（H2），我們有

利用Schwarz不等式，我們可得

注意到g（ξ）非減，由（7）－（8），我們有

于是聯(lián)合（6）和（9），即得（4），亦即UH（x，t）滿足（4）。

若UH（x，t）最終為負，易知

用－1乘（6），利用（10）可知VH（x，t）＝－UH（x，t）滿足（5）。證畢。

相應(yīng)于邊值條件（2），考慮純量邊值條件：

定理2 設(shè)（H1）－（H2）成立。若純量雙曲型偏微分不等式

在邊值條件 （2′）下無最終正解，則邊值問題（1），（2）的任意解U（x，t）在G內(nèi)H－振動。

證明 設(shè)邊值問題（1），（2）在G內(nèi)存在非 H－振動解U（x，t）。若UH（x，t）最終為正，則由定理1可知，UH（x，t）滿足 （11）＋，且易知UH（x，t）滿足邊值條件 （2′），此與題設(shè)矛盾。若UH（x，t）最終為負，則VH（x，t）＝－UH（x，t）是滿足 （11）－ 和邊值條件 （2′）的最終正解，同樣與題設(shè)矛盾。證畢。

定理3 設(shè)（H1）－（H3）成立，其中

若泛函微分不等式

無最終正解，則邊值問題（1），（2）的任意解U（x，t）在G內(nèi) H－振動，其中λ0由問題（3）確定。

證明 設(shè)邊值問題（1），（2）在G內(nèi)存在非 H－振動解U（x，t）。若UH（x，t）最終為正，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，我們用c～φ（x）乘（4），并在區(qū)域Ω上關(guān)于x積分，得

由Green公式及邊界條件（2′），我們有

類似地有

利用Jensen不等式，我們有

此示W(wǎng)（t）是不等式（12）＋的一個最終正解，而這與定理2的題設(shè)矛盾。

若UH（x，t）最終為負，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，令VH（x，t）＝－UH（x，t），類似于上面的過程，結(jié)合（12）－，同樣可以得到矛盾。證畢。

定理4 設(shè)（H1）－（H3）成立。若對充分大的T，有

則邊值問題（1），（2）的任意解U（x，t）在G內(nèi) H－振動。

證明 設(shè)邊值問題（1），（2）在G內(nèi)存在非 H－振動解U（x，t）。若UH（x，t）最終為正，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，則由定理3的證明可知，微分不等式

在區(qū)間 ［T，t］上對（19）積分，可得

若UH（x，t）最終為負，（x，t）∈Ω×［T，∞），T≥0，令VH（x，t）＝－UH（x，t），類似于上面的過程，結(jié)合條件（18），同樣可以得到矛盾。證畢。

［1］Domslak Ju I.On the oscillation of solutions of vector differential equations［J］.Soviet Math.Dokl.，1970，11：839－841.

［2］Courant R，Hilbert D.Methods of Mathematical Physics，Vol.I［M］.New York：Interscience，1996.

［3］Minchev E，Yoshida N.Oscillation of solutions of vector differential equations of parabolic type with functional arguments［J］.J.Comput.Appl.Math.，2003，151（1）：107－117.

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［5］羅李平.具連續(xù)分布滯量的中立型向量拋物偏泛函微分方程的 H－振動性［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2008，38（11）：158－162.

［6］羅李平，楊柳.具連續(xù)偏差變元的中立型向量拋物偏微分方程的 H－振動性［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2009，25（4）：801－806.

［7］Li W N，Han M A.Oscillation of solutions for certain impulsive vector parabolic differential equations with delays［J］.J.Math.Anal.Appl.，2007，326（1）：363－371.

［8］羅李平，俞元洪.脈沖向量中立型拋物偏微分方程的 H－振動性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2010，53（2）：257－262.

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［11］葉其孝，李正元.反應(yīng)擴散方程引論［M］.北京：科學(xué)出版社，1990：135.