尹忠旗

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066)

令X、Y、Z為可分的Hilbert空間,A:X→Z是一對(duì)一的有界線性算子.B:Y→Z是一個(gè)線性算子,它可能是無(wú)界的.考慮如下的算子方程

考慮算子A的值域不閉的情況,即這表明A的逆算子A-1:R(A)→X是不連續(xù)的.這是一個(gè)不適定的問(wèn)題[1-3]:初始數(shù)據(jù)g的微小改變可能導(dǎo)致方程(1)的解f的巨大改變.于是,需要尋求一種正則化技術(shù)來(lái)確定方程(1)在噪聲水平為δ,精確數(shù)據(jù)g0∈Y,Bg0∈R(A)下的穩(wěn)定的近似解f0.所謂的噪聲水平δ是指‖gδ-g0‖Y≤δ.引入Tikhonov正則化[4-6]:

其中,實(shí)數(shù)α叫做正則化參數(shù).記(2)式的唯一極小值解為fα,δ,它是問(wèn)題(2)的正則化解,滿足方程

感興趣的是與最優(yōu)收斂速度有關(guān)的正則化參數(shù)α的先驗(yàn)選擇策略.文獻(xiàn)[7]討論了B=I,Y=Z,即Af=g；證明了對(duì)某些合適的函數(shù)Ψ有收斂速度‖fα,δ-f0‖X=O(Ψ0(δ)).文獻(xiàn)[8]考慮了算子方程Ax=y在不同光滑性條件下的正則化問(wèn)題,其中方程的解屬于某一個(gè)自伴算子G:X→X的值域R(G)且有包含關(guān)系R(G)?φ(A*A),而φ是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù),它滿足初始條件φ(0)=0.關(guān)于先驗(yàn)假設(shè)情況下的收斂問(wèn)題,更多的文獻(xiàn)可以參考文獻(xiàn)[9-13]等相關(guān)專著和文章.本文的新穎之處在于所考慮的情形與值域包含有關(guān),即R(A)?R(B)而且B可能是無(wú)界的.容易知道,本文的結(jié)果已經(jīng)包含了文獻(xiàn)[7]的結(jié)果.在本文中,由于B可能無(wú)界,因此要求不同于以往的方法來(lái)處理相應(yīng)的收斂速度問(wèn)題.還假設(shè)算子A*B可以分解為2個(gè)有界算子的復(fù)合.

1 相關(guān)假設(shè)和主要結(jié)果

先給出文中要使用的一些假設(shè),然后給出本文的主要結(jié)果.

令I(lǐng)為指標(biāo)函數(shù)的集合,即

令G為X上的一對(duì)一的,正的緊自伴算子,它具有對(duì)應(yīng)于其特征值的規(guī)范的正交基{φn}n∈N,它的特征值是以單調(diào)增加的方式排列的

用{Xρ(G)}ρ∈I表示可變尺度的 Hilbert空間[14-15].Xρ(G)是如下集合的閉包:

2 準(zhǔn)備知識(shí)

在本節(jié)中,給出幾個(gè)預(yù)備引理.第1個(gè)引理刻畫(huà)了方程(3)在沒(méi)有擾動(dòng)的情況下的正則解與在有δ擾動(dòng)的情況下的正則解之間的誤差.第2個(gè)引理描述了方程(1)的解與其正則化解,即與方程(3)在沒(méi)有擾動(dòng)下的解之間的誤差.它們的證明可以參考文獻(xiàn)[8].

引理 2.1令fα,δ是問(wèn)題(2)的極小值解,fα是算子方程(A*A+αI)f=A*Bg0的解.那么有如下估計(jì)成立

3 證明主要結(jié)果

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