唐國(guó)維,王苫社,張 巖

(1.東北石油大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院,黑龍江 大慶 163318; 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

圖像壓縮中基于分形維數(shù)的小波基選取

唐國(guó)維1,王苫社2,張 巖1

(1.東北石油大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院,黑龍江 大慶 163318; 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

小波函數(shù)具有多樣性,采用不同的小波基對(duì)圖像進(jìn)行壓縮后,重構(gòu)圖像的質(zhì)量有一定差別.為了選取合適的小波基對(duì)圖像進(jìn)行小波變換編碼,提出一種基于分形維數(shù)的小波基選取的圖像壓縮方法.通過(guò)差分計(jì)盒法計(jì)算相關(guān)圖像的分形維數(shù),將圖像按照分形維數(shù)數(shù)值的不同劃分為不同類別.選取每類中的代表圖像,采用多種小波基,分別用SPECK算法對(duì)其壓縮處理.根據(jù)重構(gòu)圖像峰值信噪比的數(shù)值,得出每類圖像適合的小波基.實(shí)例分析表明,該方法可以在一定程度上提高小波圖像編碼的峰值信噪比.

圖像壓縮;小波基選取;小波變換;分形維數(shù);編碼

0 引言

小波變換因其特有的與人眼視覺(jué)相符的多分辨率分析能力及方向選擇能力而被廣泛應(yīng)用于圖像壓縮領(lǐng)域[1-4].在JPEG 2000標(biāo)準(zhǔn)中,將基于小波變換的EBCOT(可擴(kuò)展圖像壓縮編碼)算法作為核心算法,表明小波變換已取代DCT(離散余弦變換)成為新一代圖像編碼的主要變換工具[5].由于不同的小波函數(shù)時(shí)頻局域特性不同,選用不同小波基將影響算法的編碼性能,因此選擇小波基是圖像壓縮中首要考慮問(wèn)題.選擇小波基需要考慮小波函數(shù)的緊支集性、正交性、正則性和消失矩等方面,在實(shí)際應(yīng)用中,編碼的壓縮比和恢復(fù)圖像質(zhì)量更為重要.李戰(zhàn)明等[6]研究Daubechies正交和雙正交小波基,通過(guò)比較變換圖像的增益、熵、能量比和峰值信噪比等指標(biāo),認(rèn)為雙正交小波基D9/7是一種較好的小波基,但沒(méi)有考慮不同類型圖像性質(zhì).Thakkar Falgun等[7]基于均方根誤差、相關(guān)系數(shù)和峰值信噪比,研究Haar、db4、bior6.8和sym2四種小波基的壓縮性能,認(rèn)為Haar小波對(duì)醫(yī)學(xué)圖像壓縮具有優(yōu)勢(shì),而Sym2更適合自然圖像的壓縮,但其方法只根據(jù)圖像應(yīng)用領(lǐng)域,而不是圖像自身特性研究適合的小波基,同時(shí)對(duì)圖像類型也考慮較少.Chopra Sanjeev[8]提出一種在5級(jí)小波分級(jí)下,根據(jù)壓縮比、能量比、均方誤差和峰值信噪比等性能參數(shù)確定最優(yōu)小波基的算法,考慮壓縮圖像的各項(xiàng)參數(shù),選取的小波基較為合理,但計(jì)算量過(guò)大,且只針對(duì)固定的5級(jí)分解進(jìn)行.

鑒于分形與圖像灰度表示之間有一定對(duì)應(yīng)關(guān)系,且是獨(dú)立于圖像一定范圍內(nèi)分辨率比例而穩(wěn)定存在的量,筆者將分形用于小波基選取,通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析分形維數(shù)和圖像灰度特性之間的內(nèi)在聯(lián)系,確定適合對(duì)圖像進(jìn)行壓縮處理的小波基.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,可以提高小波圖像編碼的整體效率.

1 圖像的分形維數(shù)

分形維數(shù)即分?jǐn)?shù)維,是定量描述分形的基本參量,且為標(biāo)度變換下的不變量.常用的分形維數(shù)包括豪斯多夫維、盒維及相似維等.其中,豪斯多夫維對(duì)任何集F都有定義,最為常用,但對(duì)其值的計(jì)算和估計(jì)有一定困難;盒維的計(jì)算和估計(jì)較為簡(jiǎn)單,且與圖像紋理結(jié)構(gòu)有密切關(guān)系,因此在實(shí)際應(yīng)用中較為廣泛[9-10].

1.1 盒維

盒維由Bouligand于1929年引入,又稱Bouligand維.

定義1 設(shè)集合F?Rn,記Nε(F)是可以覆蓋F的、邊長(zhǎng)為ε的n維立方體的最少個(gè)數(shù),則F的盒維DB定義為

如果集F具有“自相似”的子集,而這些子集又依次具有相同比例的子子集.設(shè)母集F有N 個(gè)子集,而每一個(gè)子集中各點(diǎn)間的距離按因子1/r增大時(shí),都恒等于該母集.如果規(guī)定初始尺度為1,并取邊長(zhǎng)ε=rk,則覆蓋F所需的立方體的個(gè)數(shù)Nε(F)=Nk,可知:

式中:N為由前一個(gè)母集按r比例縮小后的子集個(gè)數(shù).

1.2 圖像的分形維數(shù)

二維灰度圖像可以被看作是1個(gè)三維空間中的曲面,圖像的灰度變化表示該曲面的崎嶇程度,當(dāng)用不同尺度測(cè)量該曲面時(shí),得到的維數(shù)就是圖像的分形維數(shù).計(jì)算分形維數(shù)的方法包括ε-毯子法、差分計(jì)盒法、基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法等,其中差分計(jì)盒法[11]對(duì)粗糙度小的紋理比較敏感,且計(jì)算簡(jiǎn)單,因此采用該方法計(jì)算圖像的分形維數(shù).

對(duì)于一幅N×N的二維灰度圖像,將其劃分為s×s的子塊(1＜s＜N/2,s∈Z+).令r=s/N,并假定圖像灰度在第(i,j)網(wǎng)格中的最小值和最大值分別落在第k和第l個(gè)盒子中,nr(i,j)是覆蓋第(i,j)網(wǎng)格中的圖像所需的盒子數(shù),Nr是覆蓋整個(gè)圖像所需的盒子數(shù),則圖像的分形維數(shù)Df可表示為

針對(duì)不同的r計(jì)算Nr,應(yīng)用最小二乘法即可求得圖像的分形維數(shù).

2 基于分形維數(shù)的小波基選取

分形維數(shù)具有標(biāo)度變換下的不變性,即不同圖像的分形維數(shù)不同,相似圖像的分形維數(shù)值必然接近.選取若干幅在圖像編碼中常用的典型圖像[12],按文中方法分別計(jì)算分形維數(shù),結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 不同圖像的分形維數(shù)Table 1 The fractal dimension of different images

由表1可以看出,不同圖像的分形維數(shù)不同,主要反映圖像紋理/邊緣等灰度特性的差異.結(jié)合圖像本身特性,將圖像按照分形維數(shù)值分為5類(見(jiàn)表2).

表2 基于分形維數(shù)的圖像分類Table 2 Based on the fractal dimension of image classification

為研究5類圖像在不同小波基下的壓縮效果,文中選用SPECK(Set Partitioned Embedded Block Co-der,集合分裂嵌入塊編碼)圖像壓縮算法[13-14],分別進(jìn)行圖像壓縮實(shí)驗(yàn).SPECK算法是一種基于塊結(jié)構(gòu)的編碼方法,與其他編碼算法相比有獨(dú)特優(yōu)勢(shì):(1)塊間可以獨(dú)立編碼,所需動(dòng)態(tài)存儲(chǔ)空間更小;(2)該算法容錯(cuò)性更高,當(dāng)傳輸發(fā)生誤碼時(shí),只有誤碼的塊會(huì)受到影響,不會(huì)影響其他塊.

在基于小波的圖像壓縮中,常用的小波函數(shù)包括Haar、db系列、sym系列、coif系列、bior系列等[12].從5類圖像中各選取1幅代表圖像,基于不同的小波基,采用SPECK算法進(jìn)行壓縮和解壓縮實(shí)驗(yàn),碼率為0.2 bpp時(shí),PSNR(Peak Signal to Noise Ratio,峰值信噪比)見(jiàn)表3.

表3 不同小波基下各類圖像的PSNRTable 3 All kinds of image PSNR under different wavelet base

由表3可以看出,采用不同的小波基,同一幅圖像的PSNR相差很大,表明對(duì)不同類型圖像,應(yīng)選取不同的小波基進(jìn)行壓縮以獲得更好的壓縮性能.因此,基于PSNR最大化原則,根據(jù)表3歸納出適合不同類型圖像壓縮的小波基(見(jiàn)表4).

表4 基于分形維數(shù)的小波基選擇Table 4 Based on the fractal dimension of wavelet base selection

3 小波基選取實(shí)例

按照式(3)計(jì)算待壓縮圖像的分形維數(shù),然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果查表4,選取適合對(duì)該圖像壓縮的小波基,進(jìn)而選擇相應(yīng)壓縮算法對(duì)圖像進(jìn)行壓縮處理.為驗(yàn)證文中基于分形維數(shù)小波基選擇的有效性,選取2幅樣本以外的圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn),大小為512×512(見(jiàn)圖1).

經(jīng)計(jì)算得到2幅圖像的分形維數(shù)分別為0.866 0和0.874 2,分別屬于class 3和class 4類圖像(見(jiàn)表2).根據(jù)表4,分別選擇bior 4.4和coif 5小波基.為進(jìn)一步說(shuō)明算法的性能,采用SPECK算法對(duì)圖像進(jìn)行壓縮處理,并將壓縮后的PSNR與基于sym 8小波基的進(jìn)行比較(見(jiàn)表5).由表5可以看出,采用文中算法選取的小波基進(jìn)行壓縮,獲得更好的壓縮性能.碼率為0.25 bpp時(shí)重構(gòu)圖像的效果見(jiàn)圖2.由圖2可以看出,在壓縮比為32倍時(shí),圖像壓縮效果較為滿意.

圖1 小波基選取示例圖像Fig.1 The selection of wavelet base sample image

表5 不同小波基下2幅示例圖像的PSNRTable 5 Under different wavelet base 2 sample images PSNR

圖2 2幅示例圖像壓縮后的重構(gòu)效果Fig.2 2 after the example images compression effect of refactoring

4 結(jié)束語(yǔ)

在基于小波變換的圖像編碼壓縮中,采用一種小波基不能滿足任意圖像的壓縮效果,需要根據(jù)圖像本身特性選擇合適的小波基.通過(guò)分析分形維數(shù)和圖像紋理/邊緣特性之間的關(guān)系,基于盒維并采用差分計(jì)盒法計(jì)算圖像的分形維數(shù),進(jìn)而提出一種基于分形維數(shù)的小波基選取算法:對(duì)于任意一幅圖像,計(jì)算得到該圖像的分形維數(shù),按照?qǐng)D像自身特征和分形維數(shù)選擇合適的小波基,并對(duì)圖像進(jìn)行壓縮處理.該算法降低小波基選取的盲目性,具有一定的實(shí)用價(jià)值.

[1] Cui Yueli,Chen Zhigang,Chen Aihua.Research and progress of image compression coding based on wavelet[C]//ICMENS2011.USA:TTP Publisher,2011:1352-1355.

[2] Beladgham M,Bessaid A,Taleb-Ahmed A.Medical image compression using quincunx wavelets and SPIHT coding[J].Journal of E-lectrical Engineering and Technology,2012,7(2):264-272.

[3] Elamaran V,Praveen A.Comparison of DCT and wavelets in image coding[C]//ICCCI 2012.USA:IEEE Publisher,2012:1-4.

[4] Liu Weidong,Feng Guiliang,Li Zhonghua.Optimization on wavelet SPECK image coding algorithm[C]//IBI 2011.Berlin Heidel-berg:Springer-Verlag Publisher,2011:693-699.

[5] Taubman D S,Marcellin M W.JPEG2000 Image Compression Fundamentals,Standards and Practice[M].Boston:Kluwer Academic Publisher,2002:231-235.

[6] 李戰(zhàn)明,遲洋.圖像壓縮中小波基的選擇研究[J].機(jī)械與電子,2009,9(24):18-21.

Li Zhanming,Chi Yang.Research on wavelet bases selection for image compression[J].Machinery&Electronics,2009,9(24):18-21.

[7] Thakkar Falgun,Kher Rahul,Modi Chintan.Selecting most favorable basis function for compressing natural and medical images using wavelet transform coding[C]//IPCV 2009.Las Vegas:CSREA Press,2009:1042-1058.

[8] Chopra Sanjeev,Kaur Harmanp,Kaur Amandeep.Selection of best wavelet basis for image compression at decomposition level 5[C]//ICCTD 2010.USA:IEEE Publisher,2010:442-445.

[9] Falconer K J.Fractal Geometry:Mathematical foundations and applications[M].曾文曲,等譯.沈陽(yáng):東北工學(xué)院出版社,1991:102-140.

[10] 陳守吉,張立明.分形與圖像壓縮[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?1998:45-90.

Chen Shoujie,Zhang Liming.Fractal and image compression[M].Shanghai:Shanghai Scientific and Technological Education Publishing House,1998:45-90.

[11] Harrouni S.New method for estimating the fractal dimension of discrete temporal signals[J].IEEE International Symposium on Industrial Electronics,2008:2497-2502.

[12] 王苫社.基于小波及分形的嵌入式圖像編碼算法研究[D].大慶:大慶石油學(xué)院,2010.

Wang Shanshe.Research on embedded image coding algorithm based on wavelet and fractal[D].Daqing:Daqing Petroleum Institute,2010.

[13] Islam A,Pearlman W A.An embedded and efficient low-complexity hierarchical image coder[A].Visual Communications and Image Processing'99[C].San Jose:SPIE Publisher,1999:294-305.

[14] Pearlman W A,Islam A,Nagaraj N.Efficient,low-complexity image coding with a set-partitioning embedded block coder[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video Technology,2004,14(11):1219-1235.

TP391.41

A

2095- 4107(2014)01- 0112- 04

2013- 12- 19;編輯:張兆虹

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(12521050);中國(guó)石油科技創(chuàng)新基金研究項(xiàng)目(2012D-5006-0609)

唐國(guó)維(1966-),男,博士,教授,主要從事圖像與視頻編碼、焊縫缺陷檢測(cè)與識(shí)別等方面的研究.

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2014.01.017