代成龍，皮德常

(南京航空航天大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，南京 210016)

1 概述

由于半球諧振陀螺具有小體積、低噪聲、高性能以及無(wú)磨損的特點(diǎn)，逐漸在國(guó)際上得到重視和應(yīng)用[1-2]。但陀螺儀的成本高、批量小，給評(píng)估它們的可靠性以及預(yù)測(cè)其壽命帶來(lái)了困難。同時(shí)，據(jù)相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示[3]，慣導(dǎo)系統(tǒng)的故障40%由慣性平臺(tái)產(chǎn)生，其中60%又來(lái)自陀螺儀。因此，研究陀螺儀的可靠性和壽命預(yù)測(cè)方法對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)的可靠性評(píng)估具有重要意義。目前國(guó)內(nèi)外關(guān)于半球諧振陀螺壽命預(yù)測(cè)方法的研究文獻(xiàn)較少，一般只針對(duì)半球諧振陀螺的溫度補(bǔ)償[4]、動(dòng)力學(xué)模型分析測(cè)試[5]以及隨機(jī)漂移誤差[6]等方面進(jìn)行研究，但均未針對(duì)其壽命發(fā)表相關(guān)研究和報(bào)道。自文獻(xiàn)[7]提出灰色系統(tǒng)理論后，該理論在處理部分未知參數(shù)的系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。

灰色GM(1,1)模型是一種很適用的預(yù)測(cè)模型。累加生成操作[7]是其最重要的特點(diǎn)，該操作能有效降低數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。灰色理論的主要特點(diǎn)在于它不需要大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，而只需要4個(gè)數(shù)據(jù)即可。因此，灰色預(yù)測(cè)方法在熱導(dǎo)、電力消耗、集成電路、環(huán)境科學(xué)、農(nóng)業(yè)等方面得到了廣泛應(yīng)用。為提高GM(1,1)的預(yù)測(cè)精度，一些研究人員對(duì)GM(1,1)進(jìn)行了改進(jìn)并應(yīng)用到電力需求預(yù)測(cè)[8-9]。同時(shí)，在許多時(shí)間序列預(yù)測(cè)中，為了獲取數(shù)據(jù)的規(guī)律，研究人員將小波分析方法也同樣應(yīng)用到預(yù)測(cè)當(dāng)中[10-11]。

為克服半球諧振陀螺壽命預(yù)測(cè)方法不足的困難以及解決半球諧振陀螺壽命預(yù)測(cè)問(wèn)題，本文結(jié)合以上研究，利用小波分析對(duì)半球諧振陀螺的漂移數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，對(duì)GM(1,1)模型進(jìn)行殘差修正，分析GM(1,1)模型與殘差修正GM(1,1)模型在半球諧振陀螺壽命預(yù)測(cè)應(yīng)用中的預(yù)測(cè)精度，通過(guò)灰色關(guān)聯(lián)分析方法預(yù)測(cè)其工作壽命。

2 預(yù)測(cè)方法框架

半球諧振陀螺壽命預(yù)測(cè)方法結(jié)果框架如圖1所示。首先選用適當(dāng)?shù)男〔ńM合方法對(duì)漂移數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，然后對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)建立GM(1,1)模型，接著利用殘差值修正原始GM(1,1)并進(jìn)行多周期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，最后對(duì)GM(1,1)和殘差修正GM(1,1)的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行分析，結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)方法分析出各半球諧振陀螺的失效階段，最終獲得半球諧振陀螺的預(yù)測(cè)壽命。

圖1 預(yù)測(cè)方法框架

3 壽命預(yù)測(cè)模型

3.1 GM(1,1)模型

GM(1,1)模型具有時(shí)變特點(diǎn)：當(dāng)獲得新數(shù)據(jù)后，GM(1,1)模型將得到更新重建。

(1)假定原始序列為：

其中，X(0)為一非負(fù)數(shù)據(jù)序列；n為數(shù)據(jù)樣本量。

(2)為減少隨機(jī)性，對(duì)原始序列 X(0)作一次累加生成(1-AGO)，得到一組單調(diào)遞增的新序列 X(1)：

其中：

(3)建立GM(1,1)模型為：

其中，T[a,b]為模型參數(shù)，且：

(4)根據(jù)式(4)、式(5)，x(1)(t)在k時(shí)刻的時(shí)間響應(yīng)為：

(5)使用1次累減生成(1-IAGO)，得到原始數(shù)據(jù)在k+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)值：

3.2 殘差修正GM(1,1)模型

殘差修正GM(1,1)模型的目的在于對(duì)原始序列建立的GM(1,1)模型進(jìn)行修正，以提高模型預(yù)測(cè)精度。其實(shí)質(zhì)為對(duì)殘差序列進(jìn)行一次類似于GM(1,1)建模處理。

(1)可建模殘差尾段(|ε(0)(k0)|,|ε(0)(k0+1)|,…,|ε(0)(n)|)記為：

(2)對(duì)可建模殘差尾段進(jìn)行1-AGO操作：

對(duì)其進(jìn)行GM(1,1)建模，得到k時(shí)刻的時(shí)間響應(yīng)式：

3.3 灰色關(guān)聯(lián)分析模型

灰色關(guān)聯(lián)分析是根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來(lái)判斷它們之間的聯(lián)系是否緊密。曲線越接近，相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之越小。

設(shè)定 x0={x0(1),x0(2),…,x0(n}為參考序列，xi(i=1,2,…,m)為比較序列。其中：

故對(duì)于序列x0與xi中第k個(gè)數(shù)x0(k)與 xi(k)，其灰色關(guān)聯(lián)度為：

那么x0與xi2個(gè)序列之間的灰色關(guān)聯(lián)度為：

γ(x0,xi)越大，說(shuō)明xi對(duì)x0的關(guān)聯(lián)程度越高，反之則越小。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

4.1 數(shù)據(jù)

本文所用的HRG數(shù)據(jù)是由某科研單位提供，對(duì)4個(gè)型號(hào)不同的半球諧振陀螺的隨機(jī)漂移(數(shù)據(jù)采集計(jì)算方法如式(13)和式(14)進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試時(shí)間為2009-06-26至2012-02-08，共1590個(gè)數(shù)據(jù)。

其中，Oi為經(jīng)平均處理后得到的陀螺輸出樣本，單位為V；為陀螺輸出平均值，單位為V；K為陀螺標(biāo)度因數(shù)，單位為V/(°·s–1)；σ為隨機(jī)漂移，單位為°/h。由4 個(gè)半球諧振陀螺隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)的計(jì)算方法可知，隨機(jī)漂移值均為非負(fù)。

4.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

為降低原始漂移數(shù)據(jù)中的噪聲，利用daubechies和symlets小波的不同組合對(duì)1#,2#,3#,4#HRG漂移數(shù)據(jù)進(jìn)行分解、重構(gòu)，找出處理結(jié)果相對(duì)較好的小波組合。

4個(gè)HRG的小波處理結(jié)果分別如圖2所示，其中黑折線表示原始數(shù)據(jù)。

圖2 4個(gè)半球諧振陀螺測(cè)試數(shù)據(jù)的小波預(yù)處理結(jié)果

圖2(a)～圖2(d)中第2子圖的小波分析較其他子圖能更好獲取原始數(shù)據(jù)的規(guī)律，在后文的研究中，均采用第2子圖中的小波預(yù)處理數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。

4.3 模型預(yù)測(cè)與結(jié)果分析

國(guó)際上最長(zhǎng)壽的10個(gè)航天器為：NASA外行星探測(cè)器Voyager2(1977.8–)，Voyager1(1977.9–)，NOAA 氣象衛(wèi)星GOES(1978.6–)， NASA 實(shí)驗(yàn)通訊衛(wèi)星ATS-3(1967.11–2001)，海事衛(wèi)星Mirasat F2(1976.6–2008.10)，NASA 遙感衛(wèi)星Landsat 5(1984.3–2012.12)，NASA數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星TDRS-1(1983.4–2009)，NOAA 氣象衛(wèi)星GEOS 7(1987.2– 2012.4)，NASA數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星TDRS-3(1988.9–)以及NOAA氣象衛(wèi)星GOES2(1977.6–2001)。不難看出，以上最長(zhǎng)壽的10個(gè)航天器目前為止的壽命約為24年～36年。因此，借鑒此10個(gè)最長(zhǎng)壽航天器的壽命長(zhǎng)度，本文對(duì)4個(gè)半球諧振陀螺的壽命預(yù)測(cè)長(zhǎng)度設(shè)定為26年(即，9倍周期預(yù)測(cè)+1倍實(shí)驗(yàn)周期，約為26年)。分別采用GM(1,1)和經(jīng)過(guò)殘差修正后的GM(1,1)對(duì)以上4個(gè)HRG的預(yù)處理數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬序列預(yù)測(cè)及9倍周期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)(1周期為958天，每個(gè)周期共有1590個(gè)數(shù)據(jù)。9倍周期預(yù)測(cè)：從模擬序列預(yù)測(cè)之后預(yù)測(cè)出1590×9=14310個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn))。4個(gè)半球諧振陀螺預(yù)測(cè)結(jié)果，即GM(1,1)與殘差修正GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果分別如圖3～圖6所示。9倍周期預(yù)測(cè)為各圖橫坐標(biāo)[1-10]區(qū)域的預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖3 1#HRG預(yù)測(cè)結(jié)果

圖4 2#HRG預(yù)測(cè)結(jié)果

圖5 3#HR結(jié)果

圖6 4#HRG預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)圖3～圖6可知，4個(gè)半球諧振陀螺的GM(1,1)與殘差修正GM(1,1)預(yù)測(cè)效果比較表明：殘差修正GM(1,1)的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于GM(1,1)，修正后預(yù)測(cè)模型模擬序列(橫坐標(biāo)[0-1]區(qū)域)與建模序列更接近，關(guān)聯(lián)更密切。由此推斷，第1倍～第9倍周期預(yù)測(cè)，殘差修正GM(1,1)的準(zhǔn)確度高于GM(1,1)。

分別計(jì)算出GM(1,1)、殘差修正GM(1,1)的模擬序列與建模序列之間的殘差修正和、平均相對(duì)誤差、均方根誤差和標(biāo)準(zhǔn)均方誤差，具體如表1所示。

表1 GM(1,1)與殘差修正GM(1,1)的模擬序列預(yù)測(cè)精度

由表1所示，1#,2#,3#和4#殘差修正GM(1,1)的平均相對(duì)誤差、均方根誤差、標(biāo)準(zhǔn)均方誤差皆小于GM(1,1)，即利用殘差修正GM(1,1)預(yù)測(cè)4個(gè)半球諧振陀螺的效果較GM(1,1)更好，具有更高的預(yù)測(cè)精度。

利用殘差修正GM(1,1)模型對(duì)4個(gè)HRG分別進(jìn)行1倍～9倍周期的漂移量預(yù)測(cè)，得到每個(gè)HRG的模型模擬序列、各周期預(yù)測(cè)序列與建模序列的灰色關(guān)聯(lián)度，如表2所示。

表2 10組預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與建模序列的灰色關(guān)聯(lián)度

根據(jù)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)曲線，4個(gè)半球諧振陀螺的殘差修正GM(1,1)模型的模擬序列曲線(各圖橫坐標(biāo)[0-1]區(qū)域)與建模序列曲線最接近，相似度最高，第1倍～第9倍周期(橫坐標(biāo)[1-10]區(qū)域)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)曲線與建模序列曲線的相似度較小，根據(jù)3.3節(jié)中灰色關(guān)聯(lián)分析方法，模擬序列的灰色關(guān)聯(lián)度最高，第1倍～第9倍周期預(yù)測(cè)序列的灰色關(guān)聯(lián)度較低，故以標(biāo)準(zhǔn)作為分析各半球諧振陀螺壽命的方法。

由表2可知，1#半球諧振陀螺的第8倍周期預(yù)測(cè)序列的灰色關(guān)聯(lián)度為0.8463，首次超過(guò)模擬序列的灰色關(guān)聯(lián)度0.8357，且此后各周期預(yù)測(cè)序列的灰色關(guān)聯(lián)度均高于模擬序列的灰色關(guān)聯(lián)度，因此，1#HRG的第8倍預(yù)測(cè)階段作為該類型陀螺儀的失效階段。則1#陀螺儀預(yù)測(cè)壽命為9倍周期(即，8倍預(yù)測(cè)周期+1個(gè)實(shí)驗(yàn)周期=9倍周期，1周期為958天)，即958×9=8622天，約23.62年；同理，2#半球諧振陀螺的預(yù)測(cè)壽命為958×6=5748天，約15.74年；3#HRG預(yù)測(cè)壽命為958×7=6706天，約18.37年；4#HRG預(yù)測(cè)壽命為958×7=6706天，約18.37年。參照國(guó)際上最長(zhǎng)壽命的10個(gè)航天器壽命，本文預(yù)測(cè)出的4個(gè)半球諧振陀螺的壽命符合實(shí)際情況，驗(yàn)證了本文采用的復(fù)合方法的正確性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)國(guó)內(nèi)外半球諧振陀螺壽命預(yù)測(cè)方法研究較少的情況，提出了一種基于小波分析與灰色關(guān)聯(lián)的灰色系統(tǒng)長(zhǎng)壽命預(yù)測(cè)方法。該方法利用daubechies和symlets小波分解、重構(gòu)半球諧振陀螺的漂移數(shù)據(jù)，獲得規(guī)律性更強(qiáng)的低噪聲建模數(shù)據(jù)，然后對(duì)GM(1,1)進(jìn)行殘差修正，使用該修正后的模型進(jìn)行多周期預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果表明殘差修正GM(1,1)的預(yù)測(cè)模擬數(shù)據(jù)精度高于GM(1,1)。最后利用灰色關(guān)聯(lián)方法分析、判斷出各半球諧振陀螺的失效階段，從而預(yù)測(cè)各陀螺儀的壽命：1#,2#,3#和4#這4個(gè)半球諧振陀螺一般可正常工作15年以上。根據(jù)國(guó)際上航天器的工作壽命情況，利用文中的復(fù)合方法得到的半球諧振陀螺壽命值具有一定的可信度，因而該預(yù)測(cè)方法和預(yù)測(cè)結(jié)果可為研究半球諧振陀螺工作壽命的機(jī)構(gòu)提供相應(yīng)參考。雖然文中的復(fù)合方法較傳統(tǒng)的GM(1,1)能更好地處理噪聲數(shù)據(jù)，得到更高精度的模擬序列并進(jìn)行長(zhǎng)周期壽命預(yù)測(cè)，但在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，該方法自我學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)，對(duì)數(shù)據(jù)規(guī)律要求較高，故今后會(huì)繼續(xù)研究學(xué)習(xí)能力更好的方法，對(duì)它們進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，從而更好地適應(yīng)長(zhǎng)期壽命預(yù)測(cè)場(chǎng)合，并將改進(jìn)的方法應(yīng)用到半球諧振陀螺工作壽命預(yù)測(cè)當(dāng)中。

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