任 偉，曾以成，陳 莉，楊 丹

(湘潭大學光電工程系，湖南 湘潭 411105)

1 概述

無限脈沖響應(yīng)(Infinite Impulse Response，IIR)數(shù)字濾波器因具有計算精度高和設(shè)計階數(shù)低等特點，在通信、生物醫(yī)學、地質(zhì)勘探等方面得到了廣泛的應(yīng)用［1］。其設(shè)計的模型是給定一個期望的頻率響應(yīng)Hd(ejω)，然后尋找一個穩(wěn)定的傳遞函數(shù)H(z)，使頻率響應(yīng)H(ejω)在某種準則下逼近期望頻率響應(yīng)Hd(ejω)。近年來，許多學者把智能優(yōu)化算法引入到IIR濾波器設(shè)計中，如遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)［2］、粒子群優(yōu)化 (Particle Swarm Optimization，PSO)［3］算法和分布式估計算法(Estimation of Distribution Algorithm，EDA)［4］等。然而這些優(yōu)化算法存在不足，如GA及其改進算法HGA(Hierarchical GA)［5］、CCGA(Cooperative Coevolutionary GA)［6］等受其全局選擇機制和交叉算子的影響，種群模式缺乏多樣性，容易出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，且由于采用選擇、交叉和變異等操作，結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜。與GA相比，PSO、綜合學習粒子群優(yōu)化算法(CLPSO)［7］和EDA簡單、高效，易于實現(xiàn)，但同樣面臨早熟問題。

自由搜索算法(Free Search Algorithm，F(xiàn)SA)［8］作為一種新穎的啟發(fā)式算法受到廣泛關(guān)注，該算法模擬牛馬羊等群居動物的覓食過程，于2005年提出。FSA具有更大的自由性、獨立性和不確定性，在兼顧局部搜索和全局搜索、提高魯棒性和自適應(yīng)等方面有一定的提高，已經(jīng)成功應(yīng)用于解決復(fù)雜組合優(yōu)化問題［9］。本文嘗試將FSA引入IIR濾波器優(yōu)化設(shè)計中，其優(yōu)化模型通常是高度非線性化，且對同一個系統(tǒng)存在無數(shù)種相似變換。FSA的搜索機制能提高尋找IIR數(shù)字濾波器系數(shù)最優(yōu)解的概率。因原型FSA的搜索半徑固定不變，在多維空間后期尋優(yōu)效率降低，難以尋找全局最優(yōu)參數(shù)組，需要對搜索策略進行合理的調(diào)整，本文采用動態(tài)調(diào)整搜索半徑，定期軸向搜索等策略，加快收斂速度，提高多維空間的后期尋優(yōu)能力，進一步增大得到全局最優(yōu)解的概率。

2 IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化準則

IIR數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)總體采用直接Ⅰ型、Ⅱ型，或通過子系統(tǒng)級聯(lián)、并聯(lián)等形式。其中，二階節(jié)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)具有代表性，通過單獨調(diào)整系數(shù)b1k，b2k就能單獨調(diào)整濾波器的第k對零點，調(diào)整系數(shù)a1k，a2k，單獨調(diào)整濾波器第k對極點，且不影響其他零點、極點。其頻率響應(yīng)如式(1)所示。數(shù)字濾波器的設(shè)計，就是確定系數(shù) a1k，a2k，b1k，b2k(k=1，2，…，N)。

IIR數(shù)字濾波的性能要求以頻率響應(yīng)的幅度特性進行誤差表征，常用的誤差評價準則有最小均方誤差和通帶阻帶紋波幅度準則。這2類評價準則都是實際頻率響應(yīng)幅度值與理想頻率響應(yīng)幅度值的逼近誤差，誤差越小，則濾波器的性能越好。

(1)最小均方誤差準則:

(2)通帶阻帶紋波幅度準則:

(3)2種準則結(jié)合:

其中，v1，v2，v3為權(quán)系數(shù)。

3 基于FSA的IIR數(shù)字濾波器

3.1 算法簡介

FSA的基本思想［8］:以不確定應(yīng)對不確定，以無窮盡應(yīng)對無窮盡。個體可以在其自身的當前最佳值鄰域周圍搜索，也可在其他個體或群體發(fā)現(xiàn)的當前最佳值鄰域周圍搜索。個體通過信息素和靈敏度的比較在搜索步內(nèi)選擇坐標點，具體算法模型如下。

在搜索步內(nèi)，個體的行為描述如下:

其中，j代表第 j個體(j=1，2，…，m);m 是個體的數(shù)量;i代表變量的第i維(i=1，2，…，n);n是搜索空間的維數(shù);Rj是第j只個體在搜索空間中的領(lǐng)域搜索半徑(Rj∈［Rmin，Rmax］);randomtji(0，1)表示(0，1)內(nèi)的均勻隨機數(shù)。

搜索過程中，對目標函數(shù)的簡化表達式作如下規(guī)定:

其中，f(xtji)是一個個體完成搜索步以后作標記的位置。

信息素定義如下:

其中，max(fj)是當代第j只個體的最佳位置。

靈敏度定義為:

其中，Smin和Smax是靈敏度的最小值和最大值。

信息素的最小值和最大值分別為Pmin，Pmax，規(guī)定:Smin=Pmin，Smax=Pmax。

一輪搜索結(jié)束后，確定下一輪搜索的起始點。

3.2 改進搜索策略

3.2.1 實時調(diào)節(jié)搜索半徑

FSA原型中搜索半徑R是固定的，若其取值較大，則搜索時間長、收斂精度低;若取值較小，則搜索范圍小，容易出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，尤其在多維環(huán)境中，算法對半徑R非常敏感。本文首先采用分段給R賦值，彌補因種群規(guī)模不足而導(dǎo)致局部搜索的缺陷，增加種群的多樣性，確保個體在參數(shù)空間廣泛分布;然后動態(tài)調(diào)整R，使Rj(t)遞階減小，提高在多維空間后期的尋優(yōu)效率，其變化規(guī)律如下式所示:

其中，g是當前搜索代數(shù);Rmin是最小搜索半徑;ρ1是收縮系數(shù):1≥ρ1＞0，當ρ1=1時，即為基本FSA。

3.2.2 定期軸向搜索

當搜索半徑逐步減小時，可能進入局部收斂，導(dǎo)致早熟。為了提高算法的局部搜索能力，需要作定期軸向搜索，即每迭代一定次數(shù)后對當前最優(yōu)個體進行一次增大搜索半徑的軸向搜索，這樣可以加快收斂速度，更易得到全局最優(yōu)解，另外軸向搜索增強了種群的多樣性。由于一次軸向搜索的計算量比較大，因此采用了定期軸向搜索。

軸向搜索是指得到當前最優(yōu)個體后，以當前最優(yōu)個體為中心，進行軸向搜索，如:以當前最優(yōu)個體xji為中心，以α為步長進行搜索，令:

如果x′ji的值超出規(guī)定范圍，就取最大值或者最小值。比較目標函數(shù) f(x′ji)和 f(xji)，若 f(x′ji)＜f(xji)，則用 x′ji取代 xji，否則坐標不變。

3.3 算法步驟

FSA優(yōu)化設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的實現(xiàn)步驟如下:

(1)初始化參數(shù)，包括種群規(guī)模、種群個體的初始坐標、收縮系數(shù)ρ1、參數(shù)空間大小等。

(2)初始搜索。根據(jù)式(5)～式(7)生成初始信息素，釋放初始信息素Pj→Xk，得到初始搜索結(jié)果Pk，Xkp。

(3)動態(tài)調(diào)整搜索半徑R。

(4)計算靈敏度。按照式(8)計算靈敏度Sj。

(5)確定新的始點。選擇新一輪搜索的起始點，x′0j=xk(Sj，Pk)。

(6)計算搜索步。計算目標函數(shù)ftj(x′0j+Δxt)，其中，Δxt由式(5)計算。

(7)若迭代次數(shù)達到規(guī)定周期，則對當前最優(yōu)個體進行軸向搜索。

(8)釋放信息素。按照式(8)計算信息素Pj;按照式(9)釋放信息素Pj→xk，得到本次搜索結(jié)果。

(9)終止判斷。若滿足終止條件則輸出搜索結(jié)果;否則，跳轉(zhuǎn)步驟(2)。

4 實驗分析

為了驗證FSA設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的有效性和可行性，在計算機上進行仿真實驗，并與已有的設(shè)計方法進行比較。

例1 在最小均方誤差準則下，設(shè)計一個低通IIR數(shù)字濾波器，階數(shù)為2n=6，［0，π］內(nèi)的頻率采樣點M=21，其技術(shù)指標為:

圖1顯示了本例在最小均方誤差準則下，F(xiàn)SA，GA，PSO以及IA設(shè)計所得IIR低通濾波器幅頻響應(yīng)曲線。4種優(yōu)化算法的種群大小都為50，最大迭代次數(shù)均為500。從圖1可以看出，F(xiàn)SA設(shè)計的濾波器優(yōu)化結(jié)果比較理想，通帶比較平坦，阻帶衰減較大，且過渡帶窄。4種算法具體優(yōu)化結(jié)果比較如表1所示。由表1可知，在通帶和阻帶紋波方面，F(xiàn)SA比其他3種優(yōu)化算法的波動都小;FSA所設(shè)計的濾波器均方誤差可以達到10－4數(shù)量級，且阻帶衰減為41.49 dB，比GA提高了13.67 dB。這種優(yōu)化準則比較適用于對頻帶誤差能量要求比較高的情形。

圖1 IIR低通濾波器幅頻響應(yīng)曲線

表1 4種算法的優(yōu)化結(jié)果比較

例2 為了進一步驗證FSA的優(yōu)越性，在通帶阻帶紋波幅度準則下，設(shè)計一個低通IIR數(shù)字濾波器，設(shè)計指標來源于文獻［4］，其技術(shù)指標為:

FSA 算法、HGA算法［5］、CCGA 算法［6］、IIA(Improved Immune Algorithm)算法［10］以及EDA算法［4］設(shè)計本例所得濾波器幅頻響應(yīng)曲線如圖2所示。從圖中可以看出，無論在通帶還是阻帶，F(xiàn)SA算法設(shè)計的濾波器性能都比其他4種算法有較大的進步，顯示了良好的性能。具體優(yōu)化結(jié)果比較如表2所示。這種優(yōu)化準則比較適合設(shè)計對頻帶紋波要求比較高的濾波器。

圖2 IIR低通濾波器幅頻響應(yīng)曲線

表2 5種算法的優(yōu)化結(jié)果比較

例3 FSA與經(jīng)典濾波器設(shè)計方法巴特沃斯、切比雪夫Ⅰ、切比雪夫Ⅱ、橢圓設(shè)計作比較。濾波器設(shè)計指標采用例2中的設(shè)計指標。設(shè)計準則為均方誤差準則和通帶阻帶紋波幅值準則相結(jié)合，具體形式如式(4)所示，其中，v1∶v2∶v3=1∶8∶8。表 3 是 5 種設(shè)計方法的性能對比。在相同濾波器階數(shù)的條件下，F(xiàn)SA的均方誤差比其他4種都小，比ELTC提高11倍多，可以實現(xiàn)對頻帶誤差要求高的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計。在通帶和阻帶紋波方面，F(xiàn)SA比其他設(shè)計方法的波動都小，且通過調(diào)整權(quán)系數(shù)的比值，可以優(yōu)化設(shè)計不同性能要求的IIR數(shù)字濾波器。

表3 本文設(shè)計方法與經(jīng)典設(shè)計方法比較

5 結(jié)束語

本文將改進的自由搜索算法應(yīng)用于無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計，在3種不同優(yōu)化準則下，都顯示了一定的優(yōu)越性。同時，仿真結(jié)果表明，最小均方誤差準則比較適用于對頻帶誤差能量要求比較高的情形，最小通帶阻帶紋波幅值準則比較適用于頻帶紋波要求比較高的情形，且2種準則相結(jié)合，既可以滿足通帶和阻帶紋波要求，又可以進行頻帶誤差能量優(yōu)化。通過調(diào)整權(quán)系數(shù)的比值，可以實現(xiàn)不同性能要求的濾波器。但本文算法性能只在Matlab仿真軟件中實現(xiàn)，還未能夠在硬件上實現(xiàn)，這將是下一步的研究方向。

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