劉志遠(yuǎn)

(佛山職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電工程系，廣東佛山528000)

基于改進的支持向量機的開關(guān)磁阻電機的模型建立

劉志遠(yuǎn)*

(佛山職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電工程系，廣東佛山528000)

開關(guān)磁阻電機具有結(jié)構(gòu)簡單、工作可靠、運行效率高等優(yōu)點。但開關(guān)磁阻電機的磁路高度飽和、非線性化，很難建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，難以實現(xiàn)高精度控制。在研究開關(guān)磁阻電機的電磁與轉(zhuǎn)矩特性的基礎(chǔ)上，結(jié)合支持向量機算法在解決小樣本、非線性、高維數(shù)、局部極小值問題上的優(yōu)勢，建立了徑向基函數(shù)核函數(shù)的支持向量機的開關(guān)磁阻電機的數(shù)學(xué)模型，通過仿真與傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對比，證明該算法具有較高的性能，實驗平臺檢測的數(shù)據(jù)表明，所構(gòu)建的開關(guān)磁阻電機模型是可行的，證明了模型的正確性和有效性。

開關(guān)磁阻電機;支持向量機;徑向基核函數(shù);模型

開關(guān)磁阻電機SRM(Switched Reluctance Motor)是一種基于可變磁阻原理設(shè)計的電機，與傳統(tǒng)電機相比，它具有顯著的優(yōu)點，如轉(zhuǎn)矩慣量比大、可靠性高、效率高、脈動小等。開關(guān)磁阻電機的結(jié)構(gòu)上，與普通電機不同，它的定子與轉(zhuǎn)子使用雙凸極結(jié)構(gòu)，定子的磁鏈和控制電流在時間上均為單向脈沖變化，磁路高度飽，轉(zhuǎn)矩和磁鏈均為轉(zhuǎn)子位置角和繞組電流的高度非線性函數(shù)［1］。由此可見，要對SRM的電磁特性進行精確的計算變得十分困難，這也是SRM控制中必須面對的問題，因此必須建立SRM準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。目前采用的方法主要有查表法、模糊邏輯法、局部線性法、有限元分析法等。這些方法各有優(yōu)缺點，比如查表法與模糊邏輯法均能建立電流與磁路模型，但都是在非飽和磁路的基礎(chǔ)上建立的;而局部線性法算法簡單，但精度較差;有限元法精度高，但是計算量大，實用性差［2-3］。傳統(tǒng)的建模方法在精度、適應(yīng)性與速度上很難滿足實際需要，因此很有必要使用新的方法建立數(shù)學(xué)模型，目前主要是應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)如模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用過程中也存在不少問題，比如難以跳出局部極小點、嚴(yán)重依賴學(xué)習(xí)經(jīng)驗等。支持向量機SVM(Support Vector Machin)是一種基于Vapnik的小樣本統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論建立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，SVM的優(yōu)點是能較好地處理非線性模型、在解決小樣本空間與局部最小值等問題有良好的效果，有很好的泛化能力［4］。本文在分析SRM的電路模型與磁鏈模型的基礎(chǔ)上，建立RBF核函數(shù)的支持向量機預(yù)測模型，降低計算復(fù)雜度。通過仿真實驗測試，與其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對比，證明了改進的支持向量機建立的SRM數(shù)學(xué)模型，具有可行性和高效性。

1 SVM理論

支持向量機工作原理如下:(1)將數(shù)據(jù)非線性映射到某個高維空間，將原始特征空間轉(zhuǎn)換到高維特征空間，以增加數(shù)據(jù)的可分性，使得原本線性不可分的樣本在高維空間中線性可分。(2)利用線性可分構(gòu)造最優(yōu)超平面的方法，在此最優(yōu)分類超平面上能實現(xiàn)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的類內(nèi)距離最小化、類間距離最大［5］。具體過程如圖1所示。

圖1 支持向量機結(jié)構(gòu)圖

圖1所示輸入空間，假設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)X={(x1，y1)，(x2，y2)，…(xi，yi)…(xm，ym)}，∈Rn×R，式中xi為輸入空間的輸入向量，yi是xi相對應(yīng)的輸出值，m為輸入空間樣本個數(shù)，k為樣本的屬性，圖1所示的過程就是通過非線性的映射函數(shù)φ，將輸入空間的樣本點xi映射到高維特征空間F，這時，輸入空間被映射轉(zhuǎn)化成為了高維空間的線性問題［6］，如:

式中ω表示超平面的權(quán)重向量，t為閾值，［·］表示向量內(nèi)積。

根據(jù)Vapnik-Chervonenkis(VC)理論，式(1)中的f(x)應(yīng)使目標(biāo)函數(shù)G最小，函數(shù)逼近等價于:

其中，C為錯誤懲罰因子且C＞0，用來綜合間隔與錯分之間的權(quán)重，λ為調(diào)整常數(shù)，可以取1/2，‖ω‖2為反映f在高維空間平坦的復(fù)雜性，L(f(xi)，yi)為懲罰函數(shù)，其表達式為:

式(1)的參數(shù)可以由懲罰函數(shù)，即式(8)的優(yōu)化過程得到。因此可以利用拉格朗日優(yōu)化理論，把優(yōu)化過程轉(zhuǎn)化成為了對偶問題，求得一組最優(yōu)解{ai}中不等于零的值記為a*i，a*i對應(yīng)的樣本稱為支持向量，得到式(4):

ai與為Lagrange乘子，滿足非負(fù)限，且滿足約束條件:。根據(jù)Mercer定理定義的內(nèi)積核K(xi，x)=φ(xi)·φ(x)，得出支持向量機擬合函數(shù)為:

因為需要得到的SVM是樣本空間中的超平面，選擇相應(yīng)的核函數(shù)，就能得到SVM的預(yù)測函數(shù)從而進行SRM的建模。

2 開關(guān)磁阻電機數(shù)學(xué)模型分析

2.1 電路模型

開關(guān)磁阻電機為輸出最大轉(zhuǎn)矩，通常運行于高飽和狀態(tài)。具有高度的非線性以及變結(jié)構(gòu)、變參數(shù)特性，磁阻、轉(zhuǎn)矩是定子電流和轉(zhuǎn)子位置的非線性函數(shù)。開關(guān)磁阻電機的k相的基爾霍夫電壓方程式為［7-8］:

Uk為輸入的k相電壓，Rk為k相的內(nèi)阻，ik為k相的電流，ψk為電機定子k相的磁鏈，θ為轉(zhuǎn)子與定子的相對位置角，可用電感和相電流的乘積來表示:

2.2 轉(zhuǎn)矩方程

根據(jù)電能轉(zhuǎn)換與力學(xué)原理可以得到m相開關(guān)磁阻電機的總電磁轉(zhuǎn)矩Ttotal方程為:

其中W'f(θ，ik)為繞組磁共能，正如SRM的優(yōu)點，磁路的高飽和對SRM的性能十分重要。由上述公式可見磁鏈特性方程Ttotal是SRM系統(tǒng)建模的關(guān)鍵。

對于定子磁鏈的計算可以由式(6)進行積分得到:式(9)可以看出只要已知磁鏈初始值ψk(0)與電阻Rk，測得Uk與Ik的數(shù)值，就能計算出任意t時刻的磁鏈值ψk，從而獲得采樣數(shù)據(jù)。

3 改進的SVM模型建立與仿真分析

在上述對SVM的分析中可知，如果要將原始空間不可分的數(shù)據(jù)在高維空間可分，選擇滿足條件的適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)來代替內(nèi)積就能實現(xiàn)高維可分。徑向基函數(shù)RBF(Radial Basis Function)是一種典型的局部逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。理論上已經(jīng)證明，只要有足夠的網(wǎng)絡(luò)隱層的節(jié)點數(shù)，RBF所執(zhí)行的非線性映射(如從m維輸入空間映射到n維輸出空間)，能以任意精度逼近任意單值連續(xù)函數(shù)［9-10］。而且對于輸入空間的某個局部區(qū)域，徑向基函數(shù)只需對輸入輸出數(shù)據(jù)只有少數(shù)的僅值需要調(diào)整，從而使RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很快的學(xué)習(xí)速度。

本文選擇RBF作為核函數(shù)，從而得到SVM的預(yù)測模型:

式中n是嵌入維數(shù)，τ是延遲時間的間隔，引入預(yù)測步長r，則第r步的預(yù)測模型為:

建立模型結(jié)構(gòu)如圖2所示，圖中k相的電流ik和轉(zhuǎn)子位置角θ為輸入?yún)?shù)，磁鏈ψ為系統(tǒng)的輸出。

仿真的過程是:首先經(jīng)過SVM優(yōu)化，得到ψ與ik，θ之間的非線性關(guān)系;然后θ按步長為5°，ik增幅為0.5 A的情況下，得到磁鏈ψ，獲取的數(shù)據(jù)作為模型的數(shù)據(jù)樣本。

圖2 SVM的開關(guān)磁阻電機模型結(jié)構(gòu)

RBF核函數(shù)需要確定校正因子γ和寬度系數(shù)σ。為了提高參數(shù)選擇的速度與精度，先以分布均勻的離散點作為初始測試點，以較小的誤差為條件，對各離散點的訓(xùn)練速度、均方誤差與最大絕對誤差進行比較，如式(12)與式(13)，作為參數(shù)的粗選，從而確定最優(yōu)參數(shù)的大致范圍。

均方誤差:

最大絕對誤差:

式中ai為預(yù)估值，bi為樣本值，l為測試樣本個數(shù)。

然后進行參數(shù)的細(xì)選，經(jīng)過粗選已經(jīng)得到參數(shù)的大致范圍，在此范圍內(nèi)，選擇中心點與步長，在選擇的中心點作為基點，選用8個方向點延伸步長，同樣以均方誤差與最大絕對誤差最小為條件，不斷進行選擇新的中心點。多次選優(yōu)后，如果學(xué)習(xí)精確度和收斂速度達到要求，則參數(shù)的最優(yōu)選擇結(jié)束，否則改變步長，再重新進行搜索。

依據(jù)上述模型與算法進行仿真，并加入BP法的仿真進行比較，得出圖3所示的特性曲線，從圖中可以看出，基于本文的改進的SVM算法與BP法對比具有更好的擬合能力。

圖3 SRM的預(yù)測模型與測得的磁鏈曲線

為了體現(xiàn)改進的SVM算法的優(yōu)點，同樣的條件下引入BP算法，兩種方法的性能指標(biāo)如表1所示。

表1 采用BP算法與本文的改進SVM算法的仿真結(jié)果

表1表明了在相同樣本數(shù)下，本文提出的改進的支持向量機算法在絕對誤差、均方誤差與時間樣本比上都比BP法上具有很大的提高。隨著樣本數(shù)量的增加，BP法在誤差上雖然有提高，但在時間樣本比上增加得非常明顯，而本文提出的算法在誤差上更小，同時時間樣本比上增加并不大。由此可見，改進的支持向量機算法表現(xiàn)出更好的速度與精度，而且沒有出現(xiàn)過學(xué)習(xí)現(xiàn)象，具有更好的泛化能力。

圖4是SRM實驗平臺測試的電流數(shù)據(jù)與仿真電流數(shù)據(jù)對比，SRM調(diào)速系統(tǒng)的工作與仿真條件相同，均為:220 V單相工頻供電，開通角為0°，關(guān)斷角為20°，PWM電壓控制方式，占空比為100%，負(fù)載不變，轉(zhuǎn)速為1 200 RPM。

圖4 SRM實驗與仿真電流的波形比較

從圖中可以看出，實驗的電流波形(a)與仿真的電流波形(b)在波形上相似，說明本文提出改進的支持向量機的開關(guān)磁阻電機建模方法的正確性和有效性。

4 結(jié)束語

本文在研究支持向量機與開關(guān)磁阻電機磁鏈模型的基礎(chǔ)上，利用RBF作為核函數(shù)的支持向量機，提出了基于改進的支持向量機的開關(guān)磁阻電機模型，與傳統(tǒng)BP法進行了仿真對比，結(jié)果說明無論是速度與精度上都有明顯的提高。另外，通過SRM實驗平臺的檢測的電流數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)對比表明，本文提出的基于改進的SVM算法建模具有正確性和有效性，為SRM的建模提供了新的思路。

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Model of Switched Reluctance Motor Based on Improved Support Vector Machine

LIU Zhiyuan*
(Department of Mechatronic Engineering，F(xiàn)oshan Polytechnic，F(xiàn)oshan Guangdong 528000，China)

Switched reluctancemotor(SRM)has advantages such as sample structure，good reliability，high efficiency，etc.But electromagnetic characteristic of SRM is highly saturated and nonlinear which makes it difficult to be controlled with high performance.SVM is advanced when dealing with small sample size，nonlinear，high dimension and localminimum values.By basic of analyzing electromagnetic characteristic and torque of SRM and SVM theory，a mathematicalmodel of SRM based on improved SVM with radial basis function(RBF)kernel function is established. Simulation with BP neural network algorithm shows that the improved SVM has better performance.And the data of experimental platform show the established model is feasible.Themodel is correct and effective.

switched reluctancemotor;supported vectormachine;radial basis function;model

10.3969/j.issn.1005-9490.2014.01.035

TN91 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1005-9490(2014)01-0146-04

2013-05-13修改日期:2013-06-12

EEACC:8390

劉志遠(yuǎn)(1978-)，男，漢族，廣東龍川人，佛山職業(yè)技術(shù)學(xué)院工作，講師，碩士研究生學(xué)歷(廣東工業(yè)大學(xué))，研究方向為嵌入式技術(shù)、計算機應(yīng)用、算法優(yōu)化、計算機仿真，liuzhiyuan197803@163.com。