郭旭

(深圳市勘察測(cè)繪院有限公司，廣東深圳 518028)

1 引言

三角高程測(cè)量相對(duì)于幾何水準(zhǔn)測(cè)量而言，具有作業(yè)效率高、操作簡(jiǎn)單靈活等特點(diǎn)。同時(shí)，現(xiàn)在全站儀的測(cè)距和測(cè)角精度都有很大提高，且精度匹配合理，這使得三角高程測(cè)量的精度和可靠性，都有了很大改觀。本文依據(jù)三角高程測(cè)量原理，根據(jù)誤差傳播理論，對(duì)三角高程測(cè)量精度進(jìn)行分析和評(píng)定，得出在一定條件下，三角高程代替幾何水準(zhǔn)測(cè)量的可能性，使測(cè)量工作者可根據(jù)實(shí)際工作選擇最佳水準(zhǔn)測(cè)量方案。

2 三角高程測(cè)量原理及數(shù)學(xué)模型

2.1 單向三角高程測(cè)量及數(shù)學(xué)模型

實(shí)際測(cè)量工作中，三角高程測(cè)量的距離，通常是幾百米甚至上千米。當(dāng)距離超過 400 m時(shí)，地球曲率和大氣折光的影響將不能忽視。

三角高程測(cè)量時(shí)，光線通過密度不均勻的介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生折射，從而使光線成為一條復(fù)雜的空間曲線，由此而引起的測(cè)量誤差，稱為氣象誤差。引起氣象誤差的代表性原因通常有以下幾種:①大氣動(dòng)力的不穩(wěn)定性;②大氣組成的密度梯度;③大氣的溫度梯度;④大氣氣壓場(chǎng)、風(fēng)場(chǎng)分布梯度;⑤大氣濕度場(chǎng)分布梯度。

三角高程測(cè)量原理如圖1所示。圖1中，S為斜距，α為豎直角，D為水平距離，i為儀器高，v為棱鏡高，p為地球曲率對(duì)高差的影響(簡(jiǎn)稱球差)，r為大氣折光對(duì)高差的影響(簡(jiǎn)稱氣差)。

由圖1可得，單向觀測(cè)的高差計(jì)算公式為:

式(1)中，R為地球半徑，k為大氣折光系數(shù)。大氣折光系數(shù)k與氣溫、氣壓，特別是大氣密度有關(guān)，其值不易測(cè)定。

圖1 單向三角高程測(cè)量

2.2 中間法三角高程測(cè)量的原理及數(shù)學(xué)模型

中間法是將兩個(gè)棱鏡架設(shè)在待測(cè)高差的高程點(diǎn)上，全站儀架設(shè)在距離兩點(diǎn)的中間位置，測(cè)量原理如圖2所示。

圖2 中間設(shè)站法三角高程測(cè)量

如圖2所示，將棱鏡分別架設(shè)在待測(cè)高差的A、B高程點(diǎn)上，在A、B中間，選擇與該兩點(diǎn)均通視的設(shè)站點(diǎn)O，測(cè)量過程中無需對(duì)中。根據(jù)三角高程測(cè)量的原理，由式(1)可得，O、A兩點(diǎn)的高差hOA為:

同理可得O、B兩點(diǎn)的高差hOB為:

由式(2)、式(3)，可得，A、B兩點(diǎn)間的高差hAB為:

若兩個(gè)棱鏡高一樣，則式(4)可簡(jiǎn)化為:

通過這種方法，可以使中間法高差的測(cè)量誤差只與距離、豎直角和大氣折光系數(shù)有關(guān)。

3 三角高程測(cè)量的誤差來源和精度分析

3.1 單向觀測(cè)的誤差來源及精度分析

(1)單向觀測(cè)三角高程測(cè)量的中誤差

根據(jù)誤差傳播定律，對(duì)式(1)進(jìn)行全微分，可得:

工程施工中常用全站儀的測(cè)角精度為2″，測(cè)距精度為2+2 ppm，因此，可假定:

取2倍中誤差為極限誤差，通過式(6)及三四等水準(zhǔn)規(guī)范可知，當(dāng) S＜700 m時(shí)，三角高程可代替三等水準(zhǔn)，當(dāng)S＜2000 m時(shí)，三角高程可代替四等水準(zhǔn)。

由于k值由氣象元素決定，在不同測(cè)區(qū)變化很大，故需要實(shí)測(cè)k值，確定k值通常有兩種方法:

①用已知精密高差求k值

式中h1為精密水準(zhǔn)測(cè)得高差，h2為未加球氣差改正的高差，S、α、R 同上。

②同時(shí)對(duì)向觀測(cè)解算k值

式中h3、h4為在兩點(diǎn)間對(duì)向觀測(cè)的高差觀測(cè)值，S、α、R 同上。

(2)試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證三角高程的實(shí)際精度，在某工程的高程控制測(cè)量中，我們分別施測(cè)了單向三角高程和二等幾何水準(zhǔn)，并將二等幾何水準(zhǔn)所測(cè)高程作為真值，與單向三角高程的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比對(duì)。比對(duì)結(jié)果如表1所示。

單向觀測(cè)三角高程測(cè)量實(shí)測(cè)精度表 表1

由表1可知，單向三角高程測(cè)量結(jié)果與真值接近，離散不明顯。距離不超過 700 m時(shí)，單向三角高程能較好地滿足三等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求;距離在 700 m至 2000 m時(shí)，單向三角高程能較好地滿足四等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求，但不一定滿足三等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求。另外，利用實(shí)測(cè)k值計(jì)算三角高程時(shí)，所得三角高程的精度更高。

3.2 中間法觀測(cè)的誤差來源及精度分析

(1)中間法三角高程測(cè)量的中誤差

中間法使兩測(cè)段的測(cè)距誤差ms相等，同時(shí)兩段豎直角的中誤差也大致一樣，在實(shí)際測(cè)量之前應(yīng)使兩個(gè)棱鏡高保持一致。小區(qū)域內(nèi)短時(shí)間可視k值為不變量，則式(5)可簡(jiǎn)化為:

將式(8)全微分后，轉(zhuǎn)化為中誤差形式，可得:

將式中微小量忽略不計(jì)，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:

由式(10)可知，中間法高差中誤差仍然主要是由距離和豎直角測(cè)量中誤差決定。

(2)精度分析

假定兩個(gè)棱鏡高一樣，由式(10)可知，中間法三角高程測(cè)量的誤差來源為斜距誤差，豎直角誤差和k值誤差，它們對(duì)高差的影響分別為:

設(shè)置不同距離的測(cè)段，組合不同的兩次豎直角值，得到表2為豎直角和距離分別對(duì)高差的影響量。

中間法觀測(cè)不同斜距與豎直角時(shí)測(cè)距、測(cè)角誤差對(duì)高差的影響 表2

表2表明，中間法觀測(cè)的主要誤差仍然是豎直角誤差和斜距誤差。其中豎直角誤差為主要誤差來源。

不考慮由棱鏡高帶來的誤差，可得到在此條件下，中間法的高差中誤差，并以2倍中誤差為極限誤差，可得表3。

中間法三角高程極限誤差與各等級(jí)水準(zhǔn)限差比較 表3

(3)試驗(yàn)驗(yàn)證

利用二等水準(zhǔn)和中間法三角高程測(cè)量進(jìn)行實(shí)測(cè)驗(yàn)證，并將二等水準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果作為真值進(jìn)行比對(duì)。測(cè)量時(shí)，前后棱鏡等高，采用2″級(jí)全站儀觀測(cè)兩個(gè)測(cè)回，獨(dú)立測(cè)距三次，成果如表4所示。

中間法三角高程測(cè)量與二等水準(zhǔn)高程比較 表4

由表4可知，中間法觀測(cè)中，當(dāng)儀器架設(shè)在中間位置時(shí)，測(cè)量成果與二等水準(zhǔn)測(cè)量高差(設(shè)定真值)進(jìn)行比較，較差均很小。距離小于 1500 m時(shí)，三角高程能較好地滿足三等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求，但不能保證滿足二等水準(zhǔn)的精度要求。當(dāng)中間法三角高程前、后視不對(duì)稱時(shí)，測(cè)量誤差將隨前后視距差的增大而急劇增大。因此，采用中間法三角高程時(shí)，前后視距應(yīng)盡量相等。

4 結(jié)語

通過以上分析和實(shí)際驗(yàn)證，可得出以下結(jié)論:

(1)三角高程測(cè)量中，豎直角的誤差為主要誤差來源，距離與高差中誤差成正比;當(dāng)距離一定時(shí)，豎直角與高差中誤差不成簡(jiǎn)單的正反比關(guān)系;單向觀測(cè)中k值要準(zhǔn)確選取。

(2)在2″級(jí)全站儀，測(cè)距精度為2+2 ppm前提下，代替三等水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，單向觀測(cè)距離不大于 700 m，中間法距離不大于 1500 m;代替四等水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，單向觀測(cè)距離不大于 2000 m。

(3)不能將測(cè)角精度在長距離和觀測(cè)條件不好時(shí)視為不變量，觀測(cè)時(shí)應(yīng)選擇在陰天中午條件下觀測(cè)。

(4)與幾何水準(zhǔn)相比，三角高程測(cè)量效率高、作業(yè)簡(jiǎn)單靈活，可作為普通高程控制測(cè)量的主要手段。

［1］張正祿.工程測(cè)量學(xué)［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2005(10):201～204.

［2］李青岳，陳永奇.工程測(cè)量學(xué)(修訂版)［M］.測(cè)繪出版社，1995(5):102～104.

［3］武漢測(cè)繪科技大學(xué)《測(cè)量學(xué)》編寫組.測(cè)量學(xué)(第三版)［M］.測(cè)繪出版社，1991(6):377～379.

［4］徐萬鵬.對(duì)高速鐵路施工測(cè)量的幾點(diǎn)看法［J］.鐵道工程學(xué)報(bào)，1999(4):29～32.

［5］徐萬鵬.隧道位移監(jiān)測(cè)新方法的可行性探索［J］.鐵道工程學(xué)報(bào)，2000(2):65～67.