基金項目：國家自然科學基金項目(41172302,40672196)

摘要：提出了N維陣的概念和常用的幾種定義和運算，包括N維陣的加減、方括號乘法和Hadamard積，給出了其性質及相應的說明；指出立體陣是N維陣的一個特例。N維陣方法的優(yōu)勢在于對多維數(shù)據(jù)表示更加簡潔，理論分析較方便。最后，通過江紹拼合帶中西段CuZnAbAgSnAs元素組合異常研究和浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦預測，說明了N維陣在實際問題應用中的方法及步驟。N維陣在處理地學多維數(shù)據(jù)方面有著重要的應用前景。

關鍵詞：數(shù)學地質；N維陣；方括號乘法；Hadamard積；立體陣；元素組合；成礦預測

中圖分類號：P628；O189.12文獻標志碼：A

Study of Ndimensional Matrices and Its Application in Geology

SHEN Wei

(State Key Laboratory of Geological Processes and Mineral Resources, China University of

Geosciences, Beijing 100083, China)

Abstract: A new basic concept of Ndimensional matrices was presented by the cubic matrices conception. The definition and arithmetic （including addsubtract, bracket multiplication and Hadamard product） of Ndimensional matrices were studied and proved. The cubic matrices was a special case of Ndimensional matrices. The multidimensional data were expressed more brief and facility in theoretical analysis by the method of Ndimensional matrices. The geological examples, which included the research on CuZnAbAgSnAs element combination anomalies in the middlewest of JiangshanShaoxing matching belt and the metallogenic prediction of copper polymetallic ore in the western of Zhejiang, were given to illustrate the method and procedure of Ndimensional matrices in geological application.The method of Ndimensional matrices is considered as a good tool in exploration and forecast.

Key words: mathematical geology; Ndimensional matrices; bracket multiplication; Hadamard product; cubic matrices; element combination; metallogenic prediction

0引言

在地學研究中，經(jīng)常遇到多維數(shù)據(jù)，例如對于許多復雜的地質現(xiàn)象，要考慮全局范圍各個方向的平穩(wěn)性，即區(qū)別各向同性或各向異性分布規(guī)律，同時它們包含多個因變量和層次，每個因變量和層次具有不同的統(tǒng)計特征，必須用多變量與多個參數(shù)（即多維數(shù)據(jù)信息）來描述，才能全面刻畫其特征。在礦床預測研究中經(jīng)常遇到以下難題：礦質運移及其空間展布具有多維性；礦床演變與控礦構造具有多層次、多階段性等［19］。目前，對于地質模型研究常用方法有非線性邏輯回歸模型、多維對數(shù)線性模型、多維標度法和數(shù)量化理論等［1011］，但這些方法主要用于處理二維數(shù)據(jù)，因此，提出和研究處理多維數(shù)據(jù)的新方法是非常必要的［12］。N維陣概念的提出和應用，為研究多維數(shù)據(jù)提供了一個有力的工具。筆者提出了N維陣的概念、常用的幾種定義和運算，包括N維陣的加減、方括號乘法和Hadamard積，同時研究了其性質，認為N維陣在處理地學多維數(shù)據(jù)中有重要應用前景。

1N維陣的定義

定義1.1稱r1×r2×…×rn的n維數(shù)組S為N維陣，S=(si1i2…in)，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。

例如，當n=4時，i4、i3分別表示橫坐標與縱坐標（或經(jīng)緯度），i2表示高度（或高程），si1i2i3i4表示第i1種地球化學元素（如金）在三維坐標(i2,i3,i4)處的數(shù)值，i1=1，2，…，r1。

定義1.2設S和T均為r1×r2×…×rn的N維陣，定義S與T之和（差）為S±T=(si1i2…in±ti1i2…in) ，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。

例如，當n=4時，si1i2i3i4+ti1i2i3i4表示兩類地質變量數(shù)據(jù)（如物探數(shù)據(jù)和化探數(shù)據(jù)）si1i2i3i4與ti1i2i3i4在三維坐標(i2,i3,i4)處的數(shù)值之和，i1=1，2，…，r1。

定義1.3設A為m×r1階矩陣，S為r1×r2×…×rn的N維陣，定義A與S的方括號乘法T=［A］［S］為一個m×r2×…×rn的N維陣，即tsi2i3…in=∑r1 k=1askski2i3…in，1≤s≤m，1≤i2≤r2，1≤i3≤r3，…，1≤in≤rn。

特別地，當n=4時，當A等于a，為一個r1維向量時，T=［A］［S］為r2×r3×r4的三維陣，即ti2i3i4=∑r1 k=1akski2i3i4，1≤i2≤r2，1≤i3≤r3，1≤i4≤r4。例如，a=（a1，a2，…，ar1），其中，ak是權數(shù)，∑r1 k=1ak=1，ti2i3i4表示r1種地球化學元素（如金）si1i2i3i4在三維坐標（i2,i3,i4）處的加權數(shù)值之和，i1=1，2，…，r1。

方括號乘法的基本性質為

［A±B］［S］=［A］［S］±［B］［S］（1）

［A］［S±T］=［A］［S］±［A］［T］（2）

式中：A、B為m×r1階矩陣。

定義1.4設S和T均為r1×r2×…×rn的N維陣，定義S與T的Hadamard積ST=(si1i2…in·ti1i2…in)，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。

Hadamard積的基本性質為

ST=TS（3）

（ST）U=S（TU）（4）

（S+T）U=SU+TU（5）

式中：S、T、U均為r1×r2×…×rn的N維陣。

定義1.5設k為一個常數(shù)，S為r1×r2×…×rn的N維陣，定義T=kS=(ksi1i2…in)，為r1×r2×…×rn的N維陣，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。

2立體陣的定義

立體陣的概念及運算最早由Bates等在1980年提出［13］，1983年Tsai在博士論文中對其進行了初步整理，1989年中國學者韋博成在Tsai博士論文的基礎上進行了系統(tǒng)總結和擴充［14］。立體陣在非線性模型的非線性強度度量中有廣泛的應用，在估計非線性模型的固有曲率和參數(shù)效應曲率時，起著關鍵的作用，在非線性回歸分析、搏弈論與經(jīng)濟學等中都有廣泛的應用前景。實際上，立體陣是N維陣的一個特例（n=3）。

定義2.1定義n×p×q的三維數(shù)組X=(xkij)為立體陣［13］，1≤k≤n，1≤i≤p，1≤j≤q。其表達式為

X=X1

X2



Xn（6）

其中Xk=xk11 … xk1q



xkp1 … xkpq

例如，j、i分別表示橫坐標與縱坐標（或經(jīng)緯度），xkij表示第k種地球化學元素（如金）在坐標(i,j)處的數(shù)值，k=1，2，…，n。

定義2.2設X和Y均為n×p×q立體陣，定義X與Y之和（差）為X±Y=(xkij±ykij)［15］ ，1≤k≤n，1≤i≤p，1≤j≤q。

例如，xkij+ykij表示兩類地質變量數(shù)據(jù)（如物探數(shù)據(jù)和化探數(shù)據(jù)）xkij與ykij在坐標(i,j)處的數(shù)值之和，k=1，2，…，n。

定義2.3設A為m×n階矩陣，X為n×p×q立體陣，定義A與X的方括號乘法Y=［A］［X］［15］，為一個m×p×q的立體陣，即ysij=∑n k=1askxkij，1≤s≤m，1≤i≤p，1≤j≤q。

特別地，當A=a，為一個n維向量時，Y=［a］［X］為p×q階矩陣，即yij=∑n k=1akxkij，1≤i≤p，1≤j≤q。例如，a=（a1，a2，…，an），其中ak是權數(shù)，∑n k=1ak=1，yij表示n種地球化學元素（xkij）在坐標(i,j)處的加權數(shù)值之和，k=1，2，…，n，1≤i≤p，1≤j≤q。

方括號乘法的基本性質(立體陣)

［C±D］［X］=［C］［X］±［D］［X］(7)

［C］［X±Y］=［C］［X］±［C］［Y］(8)

式中：X、Y為2個n×p×q立體陣；C、D為m×n階矩陣。

定義2.4設X和Y均為n×p×q立體陣，定義X與Y的Hadamard積XY=(xkijykij) ［16］，1≤k≤n，1≤i≤p，1≤j≤q。

Hadamard積的基本性質(立體陣)

XY= YX(9)

（XY）Z=X（YZ）(10)

（X+Y）Z=XZ+YZ(11)

式中：Z為n×p×q立體陣。

定義2.5設k為一個常數(shù)，X為n×p×q立體陣，定義Y=kX=kX1

kX2



kXn為n×p×q立體陣。

3應用實例

3.1江紹拼合帶中西段CuZnAbAgSnAs元素組合異常研究

江紹拼合帶中西段1∶200 000地球化學元素Cu、Zn、Ab、Ag、Sn和As的數(shù)據(jù)（每個元素的數(shù)據(jù)量為5 544個）可以組成6×56×99的三維數(shù)組X=(xkij)，即立體陣，1≤k≤6，1≤i≤56，1≤j≤99。通過成礦及伴生元素共生組合規(guī)律研究，確定相關性較強的元素組合。以相關性較強元素的地球化學觀測數(shù)據(jù)為基礎，計算多元素的累加指數(shù)值，定量表示和研究地球化學元素組合異常及其空間分布規(guī)律。最常用的方法是通過多元相關分析方法，確定成礦元素組合，然后用元素累加指數(shù)制作元素組合異常等值線圖(圖1)。

累加指數(shù)計算公式為

(zij)=∑6 k=1xkij ∑56 i=1∑99 j=1xkij/(56×99)=［a］［X］（12）

其中a=∑56 i=1∑99 j=1x1ij/(56×99)

∑56 i=1∑99 j=1x2ij/(56×99)



∑56 i=1∑99 j=1x6ij/(56×99)，

1≤i≤56，1≤j≤99。

3.2浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦預測

根據(jù)浙西地區(qū)1∶200 000地質圖和相關礦種分布圖，在對區(qū)域地質背景深入分析的基礎上，針對

圖1CuZnPbAgSnAs元素組合異常等值線

Fig.1Contour Map of CuZnAbAgSnAs Element Combination Anomalies

需要預測礦種與地質背景的關系，提取以下信息作為地質預測變量（圖層）：有利地層面積百分比（X1）；地層組合熵（X2）；同熔型及重熔型花崗巖存在與否（X3）；燕山期巖體存在與否（X4）；斷裂等密度（X5）；斷裂交點數(shù)（X6）；銀礦點數(shù)（X7）；金礦點數(shù)（X8）；鉛鋅礦點數(shù)（X9）；鐵礦點數(shù)（X10）；成礦元素簇團因子異常得分（X11）。

將研究區(qū)劃分為5 km×5 km的網(wǎng)格單元，共1 755個單元，每個單元可以看作平面上的一個點，計算11個地質預測變量（圖層）的每個單元成礦有利度（即銅多金屬礦發(fā)生的條件概率），其中安徽、江西單元部分（共301個）的有利度設為0。這樣，11個地質預測變量（圖層）Xk的成礦有利度可以組成11×39×45的三維數(shù)組X=(xkij)，即立體陣，1≤k≤11，1≤i≤39，1≤j≤45。其中，i、j表示單元的坐標。將11個地質預測變量（圖層）的成礦有利度加權平均，得到浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦有利度等值線圖（圖2)。

成礦有利度加權平均值為

(yij)=∑11 k=1akxkij=［a］［X］（13）

其中X=X1

X2



X11，1≤i≤39，1≤j≤45

a=（a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11）=(012,0.08,0.05,0.09,0.06,0.01,0.19,021,0.01,0.05,0.13)

式中：ak為相應的地質預測變量（圖層）權數(shù)，∑11 k=1ak=1。

4結語

（1）提出了N維陣的概念、常用的幾種定義和

圖2銅多金屬礦成礦有利度等值線

Fig.2Contour Map of Oreforming Favorability of Copper Polymetallic Deposit

運算，包括N維陣的加減、方括號乘法和Hadamard積，并給出了其性質及相應的說明。

（2）通過江紹拼合帶中西段CuZnAbAgSnAs元素組合異常研究與浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦預測，說明N維陣在實際問題中應用的方法及步驟，認為N維陣在處理地學多維數(shù)據(jù)中有著重要的應用前景。

（3）N維陣方法的優(yōu)勢在于對多維數(shù)據(jù)表示與分析更加簡潔與方便。N維陣也是處理空間和時間地質空間多維數(shù)據(jù)的有效工具。

參考文獻：

References:

［1］趙鵬大.成礦定量預測與深部找礦［J］.地學前緣,2007,14(5):110.

ZHAO Pengda.Quantitative Mineral Prediction and Deep Mineral Exploration［J］.Earth Science Frontiers,2007,14(5):110.

［2］葉天竺,薛建玲.金屬礦床深部找礦中的地質研究［J］.中國地質,2007,34(5):855869.

YE Tianzhu,XUE Jianling.Geological Study in Search of Metallic Ore Deposits at Depth［J］.Geology in China,2007,34(5):855869.

［3］翟裕生,鄧軍,王建平,等.深部找礦研究問題［J］.礦床地質,2004,23(2):142149.

ZHAI Yusheng,DENG Jun,WANG Jianping,et al.Researches on Deep Ore Prospecting［J］.Mineral Deposits,2004,23(2):142149.

［4］申維.分形混沌與礦產(chǎn)預測［M］.北京:地質出版社,2002.

SHEN Wei.Fractal and Chaos with Application in Mineral Resource Prediction［M］.Beijing:Geological Publishing House,2002.

［5］SHEN W,ZHAO P D.Multidimensional Selfaffine Distribution with Application in Geochemistry［J］.Mathematical Geology,2002,34(2):109123.

［6］申維，房叢卉，張德會.地球磁極倒轉的分形混沌研究［J］.地學前緣,2009,16(5):201206.

SHEN Wei,FANG Conghui,ZHANG Dehui.Fractal and Chaos Research of Geomagnetic Polarity Reversal［J］.Earth Science Frontiers,2009,16(5):201206.

［7］趙鵬大.數(shù)字地質與礦產(chǎn)資源評價［J］.地質學刊,2012,36(3):225228.

ZHAO Pengda.Digital Geology and Mineral Resources Evaluation［J］.Journal of Geology,2012,36(3):225228.

［8］趙鵬大,李桂范,張金川.基于地質異常理論的頁巖氣有利區(qū)塊圈定與定量評價［J］.天然氣工業(yè),2012,32(6):18.

ZHAO Pengda,LI Guifan,ZHANG Jinchuan.Shale Gas Favorable Blocks Delineation and Quantitative Evaluation Based on the Geological Anomaly Theory［J］.Natural Gas Industry,2012,32(6):18.

［9］趙鵬大.找礦理念:從定性到定量［J］.地質通報,2011,30(5):625629.

ZHAO Pengda.Prospecting Idea:From Qualification to Quantification［J］.Geological Bulletin of China,2011,30(5):625629.

［10］王世稱，陳永良，夏立顯.綜合信息礦產(chǎn)預測理論與方法［M］.北京:科學出版社,2000.

WANG Shicheng,CHEN Yongliang,XIA Lixian.Theory and Method of Synthetic Information Mineral Resources Prognosis［M］.Beijing:Science Press,2000.

［11］王世稱.綜合信息礦產(chǎn)預測理論與方法體系新進展［J］.地質通報,2010,29(10):13991403.

WANG Shicheng.The New Development of Theory and Method of Synthetic Information Mineral Resources Prognosis［J］.Geological Bulletin of China,2010,29(10):13991403.

［12］申維.深部找礦非線性定量理論與技術方法研究進展綜述［J］.地學前緣,2010,17(5):278288.

SHEN Wei.Progress in Nonlinear Quantitative Theory,Technology and Methods of Deep Exploration［J］.Earth Science Frontiers,2010,17(5):278288.

［13］BATES D M,WATTS D G.Relative Curvature Measures of Nonlinearity［J］.Journal of the Royal Statistical Society Series B:Methodological,1980,42(1):125.

［14］韋博成.近代非線性回歸分析［M］.南京:東南大學出版社,1989.

WEI Bocheng.Analysis of Modern Nonlinear Regression［M］.Nanjing:Southeast University Press,1989.

［15］王新洲.非線性模型參數(shù)估計理論與應用［M］.武漢:武漢大學出版社,2002.

WANG Xinzhou.Theory and Application of Nonlinear Models Parameter Estimation［M］.Wuhan:Wuhan University Press,2002.

［16］倪國熙.常用的矩陣理論和方法［M］.上海:上?？茖W技術出版社,1984.

NI Guoxi.Theory and Method of Common Matrix［M］.Shanghai:Shanghai Science and Technology Press,1984.第36卷第2期 2014年6月地球科學與環(huán)境學報 Journal of Earth Sciences and EnvironmentVol36No2 June 2014

［3］翟裕生,鄧軍,王建平,等.深部找礦研究問題［J］.礦床地質,2004,23(2):142149.

ZHAI Yusheng,DENG Jun,WANG Jianping,et al.Researches on Deep Ore Prospecting［J］.Mineral Deposits,2004,23(2):142149.

［4］申維.分形混沌與礦產(chǎn)預測［M］.北京:地質出版社,2002.

SHEN Wei.Fractal and Chaos with Application in Mineral Resource Prediction［M］.Beijing:Geological Publishing House,2002.

［5］SHEN W,ZHAO P D.Multidimensional Selfaffine Distribution with Application in Geochemistry［J］.Mathematical Geology,2002,34(2):109123.

［6］申維，房叢卉，張德會.地球磁極倒轉的分形混沌研究［J］.地學前緣,2009,16(5):201206.

SHEN Wei,FANG Conghui,ZHANG Dehui.Fractal and Chaos Research of Geomagnetic Polarity Reversal［J］.Earth Science Frontiers,2009,16(5):201206.

［7］趙鵬大.數(shù)字地質與礦產(chǎn)資源評價［J］.地質學刊,2012,36(3):225228.

ZHAO Pengda.Digital Geology and Mineral Resources Evaluation［J］.Journal of Geology,2012,36(3):225228.

［8］趙鵬大,李桂范,張金川.基于地質異常理論的頁巖氣有利區(qū)塊圈定與定量評價［J］.天然氣工業(yè),2012,32(6):18.

ZHAO Pengda,LI Guifan,ZHANG Jinchuan.Shale Gas Favorable Blocks Delineation and Quantitative Evaluation Based on the Geological Anomaly Theory［J］.Natural Gas Industry,2012,32(6):18.

［9］趙鵬大.找礦理念:從定性到定量［J］.地質通報,2011,30(5):625629.

ZHAO Pengda.Prospecting Idea:From Qualification to Quantification［J］.Geological Bulletin of China,2011,30(5):625629.

［10］王世稱，陳永良，夏立顯.綜合信息礦產(chǎn)預測理論與方法［M］.北京:科學出版社,2000.

WANG Shicheng,CHEN Yongliang,XIA Lixian.Theory and Method of Synthetic Information Mineral Resources Prognosis［M］.Beijing:Science Press,2000.

［11］王世稱.綜合信息礦產(chǎn)預測理論與方法體系新進展［J］.地質通報,2010,29(10):13991403.

WANG Shicheng.The New Development of Theory and Method of Synthetic Information Mineral Resources Prognosis［J］.Geological Bulletin of China,2010,29(10):13991403.

［12］申維.深部找礦非線性定量理論與技術方法研究進展綜述［J］.地學前緣,2010,17(5):278288.

SHEN Wei.Progress in Nonlinear Quantitative Theory,Technology and Methods of Deep Exploration［J］.Earth Science Frontiers,2010,17(5):278288.

［13］BATES D M,WATTS D G.Relative Curvature Measures of Nonlinearity［J］.Journal of the Royal Statistical Society Series B:Methodological,1980,42(1):125.

［14］韋博成.近代非線性回歸分析［M］.南京:東南大學出版社,1989.

WEI Bocheng.Analysis of Modern Nonlinear Regression［M］.Nanjing:Southeast University Press,1989.

［15］王新洲.非線性模型參數(shù)估計理論與應用［M］.武漢:武漢大學出版社,2002.

WANG Xinzhou.Theory and Application of Nonlinear Models Parameter Estimation［M］.Wuhan:Wuhan University Press,2002.

［16］倪國熙.常用的矩陣理論和方法［M］.上海:上?？茖W技術出版社,1984.

NI Guoxi.Theory and Method of Common Matrix［M］.Shanghai:Shanghai Science and Technology Press,1984.第36卷第2期 2014年6月地球科學與環(huán)境學報 Journal of Earth Sciences and EnvironmentVol36No2 June 2014

［3］翟裕生,鄧軍,王建平,等.深部找礦研究問題［J］.礦床地質,2004,23(2):142149.

ZHAI Yusheng,DENG Jun,WANG Jianping,et al.Researches on Deep Ore Prospecting［J］.Mineral Deposits,2004,23(2):142149.

［4］申維.分形混沌與礦產(chǎn)預測［M］.北京:地質出版社,2002.

SHEN Wei.Fractal and Chaos with Application in Mineral Resource Prediction［M］.Beijing:Geological Publishing House,2002.

［5］SHEN W,ZHAO P D.Multidimensional Selfaffine Distribution with Application in Geochemistry［J］.Mathematical Geology,2002,34(2):109123.

［6］申維，房叢卉，張德會.地球磁極倒轉的分形混沌研究［J］.地學前緣,2009,16(5):201206.

SHEN Wei,FANG Conghui,ZHANG Dehui.Fractal and Chaos Research of Geomagnetic Polarity Reversal［J］.Earth Science Frontiers,2009,16(5):201206.

［7］趙鵬大.數(shù)字地質與礦產(chǎn)資源評價［J］.地質學刊,2012,36(3):225228.

ZHAO Pengda.Digital Geology and Mineral Resources Evaluation［J］.Journal of Geology,2012,36(3):225228.

［8］趙鵬大,李桂范,張金川.基于地質異常理論的頁巖氣有利區(qū)塊圈定與定量評價［J］.天然氣工業(yè),2012,32(6):18.

ZHAO Pengda,LI Guifan,ZHANG Jinchuan.Shale Gas Favorable Blocks Delineation and Quantitative Evaluation Based on the Geological Anomaly Theory［J］.Natural Gas Industry,2012,32(6):18.

［9］趙鵬大.找礦理念:從定性到定量［J］.地質通報,2011,30(5):625629.

ZHAO Pengda.Prospecting Idea:From Qualification to Quantification［J］.Geological Bulletin of China,2011,30(5):625629.

［10］王世稱，陳永良，夏立顯.綜合信息礦產(chǎn)預測理論與方法［M］.北京:科學出版社,2000.

WANG Shicheng,CHEN Yongliang,XIA Lixian.Theory and Method of Synthetic Information Mineral Resources Prognosis［M］.Beijing:Science Press,2000.

［11］王世稱.綜合信息礦產(chǎn)預測理論與方法體系新進展［J］.地質通報,2010,29(10):13991403.

WANG Shicheng.The New Development of Theory and Method of Synthetic Information Mineral Resources Prognosis［J］.Geological Bulletin of China,2010,29(10):13991403.

［12］申維.深部找礦非線性定量理論與技術方法研究進展綜述［J］.地學前緣,2010,17(5):278288.

SHEN Wei.Progress in Nonlinear Quantitative Theory,Technology and Methods of Deep Exploration［J］.Earth Science Frontiers,2010,17(5):278288.

［13］BATES D M,WATTS D G.Relative Curvature Measures of Nonlinearity［J］.Journal of the Royal Statistical Society Series B:Methodological,1980,42(1):125.

［14］韋博成.近代非線性回歸分析［M］.南京:東南大學出版社,1989.

WEI Bocheng.Analysis of Modern Nonlinear Regression［M］.Nanjing:Southeast University Press,1989.

［15］王新洲.非線性模型參數(shù)估計理論與應用［M］.武漢:武漢大學出版社,2002.

WANG Xinzhou.Theory and Application of Nonlinear Models Parameter Estimation［M］.Wuhan:Wuhan University Press,2002.

［16］倪國熙.常用的矩陣理論和方法［M］.上海:上海科學技術出版社,1984.

NI Guoxi.Theory and Method of Common Matrix［M］.Shanghai:Shanghai Science and Technology Press,1984.第36卷第2期 2014年6月地球科學與環(huán)境學報 Journal of Earth Sciences and EnvironmentVol36No2 June 2014