向偉銘，肖 建，蔣陽升

（西南交通大學 交通運輸與物流學院，成都610031）

1 引言

信號交叉口的控制一直都是城市交通控制的核心問題之一，經(jīng)多年發(fā)展已形成了一系列研究成果[1-3]，關于過飽和信號交叉口的控制和優(yōu)化是當前研究的重點和熱點.目前過飽和交叉口信號燈的設置主要分為離線與在線兩種方式，但已有成果大多忽視了信號周期內(nèi)各相位之間的切換行為.事實上，信號交叉口是一個典型的混雜系統(tǒng)，同時包含了排隊車輛的連續(xù)動態(tài)行為與信號燈相位的邏輯控制.近年來，越來越多的研究者利用混雜系統(tǒng)理論來對信號交叉口進行分析和研究[4-7].從某種意義上來說，交叉口排隊車輛的消散問題可以看作交叉口系統(tǒng)穩(wěn)定性問題[4,5]；而排隊溢出問題則可看作系統(tǒng)的有界性問題.因此有必要從系統(tǒng)穩(wěn)定性與有界性的角度來對信號交叉口進行分析和設計.Lyapunov函數(shù)方法一直以來都是解決系統(tǒng)穩(wěn)定性與有界性的有效工具[8]，但目前基于Lyapunov方法來設計交叉口信號控制策略的成果卻還不多見，尤其是同時研究排隊車輛數(shù)穩(wěn)定與有界性的結論很少.因此，本文在考慮信號交叉口為混雜系統(tǒng)的同時，將Lyapunov方法引入到過飽和交叉口的控制中.

切換系統(tǒng)是混雜動態(tài)系統(tǒng)一種常見的模型[9].本文首先將信號交叉口建模為離散時間切換系統(tǒng)，基于Lyapunov方法設計了狀態(tài)反饋控制器來設置每個相位的有效綠燈時間，保證了信號交叉口指數(shù)穩(wěn)定，使得排隊車輛迅速消散.而后通過考慮系統(tǒng)的有界性，盡量降低消散過程中的最大排隊車輛數(shù)來避免排隊溢出.最后設計了混雜控制策略來動態(tài)地設置綠燈時間.與韋伯斯特方法比較，本文的混雜控制策略能夠達到更好的排隊車輛消散效果.

2 問題描述與建模

2.1 離散時間切換系統(tǒng)模型

離散時間切換系統(tǒng)的數(shù)學模型如下：

式中 x(k)∈Rn為狀態(tài)；u(k)∈Rm為控制輸入；σ(k):Z+→?為切換規(guī)則；其中?:={1,2,…,N}為子系統(tǒng)標示集合.若考慮子系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)，式(1)表示如下：

若對線性切換系統(tǒng)(2)設計狀態(tài)反饋控制器u(k)=Kσ(k)x(k)，則得到閉環(huán)系統(tǒng)

指數(shù)穩(wěn)定性與有限時間穩(wěn)定性的定義如下：

定義1[8]考慮系統(tǒng)(1)，當u(k)=0，若?λ＞0，對 ?ε＞0 ，?δ=δ(ε)＞0 ，使 得 初 始 狀 態(tài) 滿 足x(k0)≤δ時，滿足 ‖x(k)-x*‖≤εe-λ(k-k0)，?k≥k0，則平衡點x*是指數(shù)穩(wěn)定的.

定義2[10]考慮系統(tǒng)(1)，其中 u(k)=0.給定(δ,ε,R,T)，其中0≤ δ＜ε，T＞0，矩陣R＞0 ，若 x(k)滿 足，其中.則稱系統(tǒng)(1)是關于(δ,ε,R,T)有限時間穩(wěn)定的.

2.2 單交叉口的離散時間切換模型的建立

本文考慮單交叉口具有4個相位，8個車道，如圖1所示.

圖1 相位交叉口圖示及相位設置Fig.1 Illustration of intersection and phase setting

假設交通燈只有紅綠兩種狀態(tài)，按相位1→相位2→相位3→相位4進行切換，每個切換時刻為時刻k，k≥k0.定義如下變量：

k時刻開始工作的相位i的綠燈時間：gi(k)，i∈{1,2,3,4}

l車道的車輛到達率：ql，l∈{1,2,…,8}

l車道的飽和流量：sl，l∈{1,2,…,8}

l車道在k時刻的排隊車輛數(shù)：xl(k)，l∈{1,2,…,8}

以相位1為例，有

其他相位2、3、4類似，因此系統(tǒng)可寫成以下緊湊形式：

式中 x(k)=[x1(k)x2(k)…x8(k)]T,u(k)=gσ(k)(k)，矩陣Ai=I,?i=1,2,3,4,以 及 B1=[q1-s1q2q3q4q5-s5q6q7q8]T,B2=[q1q2-s2q3q4q5q6-s6q7q8]T，B3=[q1q2q3-s3q4q5q6q7-s7q8]T,B4=[q1q2q3q4-s4q5q6q7q8-s8]T.系統(tǒng)的切換規(guī)則為

當車道數(shù)較多時，可考慮幾個車道的排隊車輛總數(shù)來達到降維的目的.例如考慮圖1，令東西方向車道上車輛數(shù)之和y1=x1+x2+x5+x6，以及南北方向車道上車輛數(shù)之和y2=x3+x4+x7+x8，則可得降維模型：

式中 輸入和切換規(guī)則與系統(tǒng)(6)相同，狀態(tài)y(k)=[y1(k)y2(k)]T，矩陣 Ai=I，?i=1,2,3,4，以及可以看到系統(tǒng)維數(shù)由8降低到了2.

交叉口的過飽和控制的目的是讓排隊車輛迅速消散.由定義1，該問題可看作設計u(k)=Kσ(k)x(k)使得閉環(huán)系統(tǒng)(3)關于x*=0指數(shù)穩(wěn)定.

問題1 考慮信號交叉口模型(6)或(7)，設計狀態(tài)反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)(3)指數(shù)穩(wěn)定.

另一方面，排隊溢出問題可看為排隊車輛數(shù)的有界性問題.由定義2，該問題為盡量降低系統(tǒng)關于x*=0的有限時間穩(wěn)定(T→∞)的邊界ε問題.

問題2 考慮信號交叉口模型(6)或(7)，設計狀態(tài)反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)(3)指數(shù)穩(wěn)定且有限時間穩(wěn)定(T→∞)的邊界ε最小.

3 信號交叉口的穩(wěn)定性與有界性分析

3.1 穩(wěn)定性分析

首先，定義集合 ?i，j∈?i表示相位i后的工作相位j.然后，給出常用的Schur補引理：

引理1[11]給定矩陣有Q＜0

最后，因為本文控制方法需要實時獲得交叉口的排隊車輛數(shù)，因此滿足以下假設：

假設1 假設每條道路的排隊車輛數(shù)在每個相位切換時刻是能夠在線測量的.

在滿足假設1的情況下，可以得到以下結論：

定理1 考慮系統(tǒng)(6)，若存在正定矩陣Qi，i∈?及0＜μ＜1，使得?j∈?i，?i∈? ，有

則在 u(k)=Kσ(k)x(k)，其中的控制下，閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的.

再由引理1得到

另外因為Qi正定，為正定矩陣.易證存在 λmax≥λmin＞0滿足 λminI≤Pi≤λmaxI，?i∈?.因此有εe-λ(k-k0)，其中[λ=-(lnμ)/2＞0].由定義1可知閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的.

注1 定理1的條件可以方便地利用MATLAB中的LMI(線性矩陣不等式)工具箱求解[11].定理1表明綠燈時間設置為u(k)=Kσ(k)x(k)就可保證排隊車輛能夠指數(shù)消散.特別地，參數(shù)0＜μ＜1還表示了排隊車輛數(shù)指數(shù)遞減律的估計.

3.2 有界性分析

首先，任意正定對稱矩陣R∈Rn×n均可分解為R=(R12)TR12，其中 R12∈Rn×n也是對稱正定矩陣.另外，R的逆矩陣R-1∈Rn×n必定存在.使得

定理2 考慮系統(tǒng)(6)，若存在正定矩陣Qi，i∈? 及 0＜μ＜1，γ＞1，使得式(8)成立以及?i∈?，有

證明 當式(8)成立時，由定理1可得系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，并且有

由式(14)可得排隊車輛數(shù)xT(k)Rx(k)的邊界ε，可估計為.給定初始排隊車輛數(shù)的情況下，為了避免排隊車輛溢出，應使γ盡量小.于是可以構造以下凸優(yōu)化問題：

獲得最優(yōu)Ki，i∈?及最小邊界

4 過飽和信號交叉口的混雜控制策略

考慮綠燈時間 gi(k)∈[gmin,gmax]，?i∈?，另外在未飽和時仍采用常用的控制策略，使用韋伯斯特方法設置綠燈時間不失一般性因此考慮混雜控制策略：

考慮圖1，假設 q1=q3=q5=q7=0.35 veh/s，q2=q4=q6=q8=0.3 veh/s；s1=s3=s5=s7=1.5 veh/s，s2=s4=s6=s8=1.3 veh/s；gmin=15 s，gmax=120 s.首先通過韋伯斯特方法得；初始值xT(0)=[50 50…50].由于模型(6)的維數(shù)太高找不到可行解，考慮降維模型(7).通過定理2，取 μ=0.9得 K1=[0.483 2-0.137 3]，K2=[0.536 5-0.232 8]，K3=[-0.137 2 0.483 2]，K4=[-0.232 8 0.536 5].與韋伯斯特方法相比，混雜控制策略能夠動態(tài)地調整綠燈時間長短，對應有效綠燈時間如圖2所示.

圖2 兩種方法下的綠燈時間設置Fig.2 Green time settings with two methods

由圖2可以看到，在排隊車輛較多的時候，混雜控制策略所得的綠燈時間明顯與韋伯斯特方法不同，因此混雜控制策略特別適合過飽和程度較嚴重的交叉口的控制.最后為了清晰地比較兩種方法下排隊車輛消散以及估計邊界，我們考察即令定理2中的 R=I，求解式(15)得 γmin=1.475 4，并計算最小邊界εmin=417.302 1.圖3給出了兩種方法下 ‖x( k)‖遞減的規(guī)律與估計邊界.

圖3 排隊車輛數(shù) ‖x( k)‖的規(guī)律及估計邊界Fig.3 Evolution of vehicles ‖x(k)‖and estimated boundary

混雜控制策略下車輛消散的速度更快，大約在k≈25左右就進入了未飽和狀態(tài)，而韋伯斯特方法卻要在k≈120之后才能進入未飽和狀態(tài).因此本文提出的混雜控制策略更加適合過飽和交叉口的控制.

5 研究結論

在交通路口中,動態(tài)的車流具有連續(xù)時間特性,而信號燈的切換具有離散事件特性,這導致傳統(tǒng)的方法難以對這類問題進行建模和分析.本文利用離散時間切換系統(tǒng)來對信號交叉口進行建模，將排隊車輛消散看作系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.基于Lyapunov方法，分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性及有界性，設計了反饋控制器來確定綠燈時間.最后提出了混雜控制策略.仿真結果表明，該方法具有很好的排隊車輛消散效果.

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