李建林，昝明軍，李寶玲

(河南理工大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院，河南焦作 454003)

0 引言

水資源短缺是制約干旱半干旱地區(qū)生產(chǎn)生活和社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的主要因素之一［1］，徑流量的科學(xué)預(yù)測(cè)對(duì)該地區(qū)水資源合理分配和社會(huì)-經(jīng)濟(jì)-生態(tài)可持續(xù)發(fā)展具有重要作用。21世紀(jì)初，黑河流域開(kāi)始實(shí)施干流水量統(tǒng)一調(diào)度，并取得了較好的效果。但目前黑河水量調(diào)度工作仍存在一系列的問(wèn)題，譬如無(wú)工程控制、無(wú)徑流預(yù)報(bào)、調(diào)度手段單一和水量調(diào)度實(shí)時(shí)性較差等［2］。鶯落峽水文站是黑河出山徑流量的控制站，此處流量的多少直接影響整個(gè)流域經(jīng)濟(jì)、社會(huì)發(fā)展和生態(tài)環(huán)境保護(hù)［3］。所以，黑河出山年徑流預(yù)報(bào)研究對(duì)增強(qiáng)黑河干流水量調(diào)度工作的實(shí)時(shí)主動(dòng)性、提高水量調(diào)度精度具有重要的現(xiàn)實(shí)意義［2］。

徑流過(guò)程受大氣降水、流域自然地理?xiàng)l件、人為因素等諸多因素影響，具有典型的非線性運(yùn)動(dòng)特征［4-5］。20世紀(jì)中葉以來(lái)，非線性科學(xué)成為自然科學(xué)進(jìn)步和發(fā)展的主要標(biāo)志，分形理論是非線性科學(xué)的重要理論之一［6］。在我國(guó)，將分形理論應(yīng)用于徑流過(guò)程的研究開(kāi)始于1998年，其中一個(gè)重要應(yīng)用方向是利用R/S(重標(biāo)極差)法進(jìn)行徑流序列的分析［7-9］。但在求出Hurst指數(shù)驗(yàn)證徑流序列具有分形特征之后，該如何進(jìn)行更為深入的研究，一直沒(méi)有突破。

徑流變化也具有明顯的灰色特征。在我國(guó)，將灰色理論應(yīng)用于徑流量的預(yù)測(cè)開(kāi)始于20世紀(jì)80年代，至今該理論的應(yīng)用已經(jīng)相當(dāng)成熟［10-11］。為了克服預(yù)報(bào)隨機(jī)波動(dòng)性較大的序列時(shí)擬合較差、精度降低的缺點(diǎn)，一些學(xué)者采用灰色理論與其他理論(BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、馬爾科夫過(guò)程等)相結(jié)合的方法，對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，效果較好［12-13］?；诖?，本研究采用R/S分析與灰色理論相結(jié)合的方法對(duì)黑河出山徑流量進(jìn)行預(yù)測(cè)，以期R/S灰色預(yù)測(cè)模型的結(jié)果對(duì)黑河干流統(tǒng)一調(diào)水有一定的參考價(jià)值;同時(shí)探討分形和灰色理論在徑流過(guò)程研究中的進(jìn)一步應(yīng)用。

1 研究區(qū)概述

黑河發(fā)源于祁連山北麓，干流全長(zhǎng)821 km，流域范圍介于98°～101°30'E，38°～42°N 之間，流域總面積為14.29×104km2［14］。黑河流域處于青藏和蒙新高原交匯地帶，垂直地帶地貌景觀鮮明。其南部是祁連山地，中部是走廊平原，北部是山地和阿拉善高原。地勢(shì)西高東低，南高北低［15］，整個(gè)流域以高山、綠洲、戈壁和斷續(xù)分布的沙漠為主要自然景觀。以鶯落峽和正義峽劃分上、中、下游:鶯落峽以上為上游，是徑流的主產(chǎn)流區(qū);正義峽以下為下游;鶯落峽與正義峽之間為中游，是水資源的主要利用區(qū)［16］。

鶯落峽水文站(38°48'N，100°11'E，海拔 1 710 m，1944年設(shè)站觀測(cè))集水面積10 009 km2，是黑河干流出山徑流量的控制站。其總徑流量15.523 9×108m3/a，多年平均流量49.225 9 m3/s，徑流模數(shù)4.918 2 L/(s·km2)。徑流補(bǔ)給來(lái)源以大氣降水、冰雪融水和地下水為主，徑流年內(nèi)分配不均勻。上游東岔為八寶河，西岔干流為黑河，這兩股干流在青海省祁連縣黃藏寺匯合后進(jìn)入甘肅省境內(nèi)，在鶯落峽出山口進(jìn)入張掖灌區(qū)［17］(圖1)。

2 資料來(lái)源與研究方法

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本研究針對(duì)黑河流域鶯落峽水文站年徑流實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(1949—2011年)進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。

2.2 R/S分析法

2.2.1 基本原理。R/S分析法是一種描述分形結(jié)構(gòu)的有效方法，其基本思想是改變樣本序列的時(shí)間尺度，研究其在不同尺度范圍內(nèi)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，從而進(jìn)行大小時(shí)間尺度間的相互轉(zhuǎn)換［18］。該方法能從分形時(shí)間序列中區(qū)分出隨機(jī)序列和非隨機(jī)序列，為徑流量時(shí)序的復(fù)雜性演變提供一種有效的非線性科學(xué)預(yù)測(cè)方法。通過(guò)Hurst指數(shù)可以判定徑流量時(shí)間序列的分形結(jié)構(gòu)和狀態(tài)持續(xù)性;通過(guò)平均循環(huán)長(zhǎng)度可以估算系統(tǒng)的記憶時(shí)間長(zhǎng)度［19］。

圖1 黑河流域上游水系及主要水文和氣象站點(diǎn)示意圖［17］Fig.1 River system and important gauge stations and weather stations in the upper reaches of Heihe River

對(duì)于一個(gè)非隨機(jī)過(guò)程序列，首先要求滿足:

式中:R(n)/S(n)為重標(biāo)極差;n為增量區(qū)間長(zhǎng)度;a為常數(shù);H為Hurst指數(shù)。作為分形現(xiàn)象的表征參數(shù)，Hurst指數(shù)H是R/S分析法中一個(gè)穩(wěn)定而有效的統(tǒng)計(jì)量(0≤H≤1)。若 H=0.5，徑流量序列為隨機(jī)序列;0≤H＜0.5，徑流量序列則為一種反持久性序列，即若序列開(kāi)始有上升趨勢(shì)，那么它將會(huì)出現(xiàn)下降趨勢(shì);0.5＜H≤1，徑流量序列則具有狀態(tài)持續(xù)性，即存在長(zhǎng)期記憶性，表現(xiàn)為分形時(shí)間序列——未來(lái)與過(guò)去呈現(xiàn)相同的變化趨勢(shì);且其記憶性不隨時(shí)間標(biāo)度而變化，即不同增量(日、月、年等)序列間具有相同的統(tǒng)計(jì)規(guī)律;另外，H越接近1，時(shí)間序列的持續(xù)程度越強(qiáng)，反之越弱［19］。

2.2.2 時(shí)間序列的循環(huán)周期。引入統(tǒng)計(jì)量V(n)，以定量描述時(shí)間序列的平均循環(huán)周期:

V(n)可用于檢驗(yàn)R/S分析的穩(wěn)定性，更重要的是可以很好地確定時(shí)間序列是否存在周期循環(huán)并估計(jì)周期長(zhǎng)度。對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程的序列而言，統(tǒng)計(jì)量V(n)-lg n曲線接近平坦;而對(duì)于具有狀態(tài)持續(xù)性(H ＞0.5)的時(shí)間序列，V(n)-lg n曲線向上傾斜;反之，對(duì)于具有逆狀態(tài)持續(xù)性(H ＜0.5)的時(shí)間序列，V(n)-lg n曲線向下傾斜。如果V(n)-lg n曲線上V(n)隨lg n的變化趨勢(shì)發(fā)生變化，即曲線出現(xiàn)明顯轉(zhuǎn)折時(shí)，說(shuō)明歷史狀態(tài)對(duì)未來(lái)狀態(tài)的影響消失，此時(shí)系統(tǒng)的平均循環(huán)周期T就是對(duì)應(yīng)的時(shí)間跨度n。T表征了系統(tǒng)對(duì)初始條件的平均記憶長(zhǎng)度，即系統(tǒng)通常在多長(zhǎng)時(shí)間后完全失去對(duì)初始條件的依賴。

2.3 灰色系統(tǒng)GM(1，1)模型

2.3.1 模型的建立。設(shè)原始序列為:

對(duì)X(0)(K)作一次累加，得到:

1)模型的微分方程為:

2.3.2 模型的求解。將時(shí)間響應(yīng)函數(shù)離散化，利用初始條件對(duì)(5)求解，得:

經(jīng)累減還原可得原數(shù)據(jù)序列的估計(jì)值:

2.3.3 模型精度和適用范圍。灰色預(yù)測(cè)模型一般有殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)3種方法。其中，殘差檢驗(yàn)是對(duì)實(shí)測(cè)值和預(yù)測(cè)值之間的誤差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn)的方法，通過(guò)各點(diǎn)的相對(duì)殘差值，可以計(jì)算出預(yù)測(cè)模型的精度值P。設(shè)實(shí)測(cè)序列為式(3)所示，預(yù)測(cè)序列為:

則平均相對(duì)誤差為:

精度為:

若P≥0.8，模型通過(guò)殘差檢驗(yàn);若P ＜0.8，則須對(duì)模型進(jìn)行修正，使之滿足對(duì)精度的要求(P≥0.8)，才可以進(jìn)行預(yù)測(cè)。精度越高，說(shuō)明模型擬合得越好。

3 結(jié)果與討論

3.1 徑流量的R/S 分析

利用上述模型，對(duì)1949—2011年黑河上游鶯落峽水文站測(cè)流斷面年徑流量(即黑河出山徑流量)序列(圖2)進(jìn)行R/S分析。由于R/S分析要對(duì)序列進(jìn)行等額分組，為了便于分組，取1949—2008年(共60年)的徑流量為R/S分析對(duì)象;取2009—2011年的徑流量作為對(duì)比值。

圖2 黑河出山年徑流量變化曲線Fig.2 Annual runoff curve at Yingluoxia Station

3.1.1 Hurst指數(shù)。分別取 n 為 3，5，6，10，12，20，30，對(duì)徑流量序列進(jìn)行分析計(jì)算，并做出lg n與lg(R/S)擬合圖(圖3)。

圖3 黑河出山年徑流量R/S分析Fig.3 R/S analysis of annual runoff at Yingluoxia Station

由圖3可得:lg R/S=0.665 8，lg n-0.431 2，R2=0.991。所以，黑河出山徑流量序列的 Hurst指數(shù)為0.665 8。H大于0.5，說(shuō)明黑河出山年徑流量序列為分形時(shí)間序列，存在長(zhǎng)期記憶性和持續(xù)性。

3.1.2 平均循環(huán)周期。根據(jù)式(2)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量V(n)，并繪制V(n)-lg n數(shù)據(jù)點(diǎn)折線圖(圖4)。

由圖4可知:①黑河出山徑流量V統(tǒng)計(jì)量的曲線呈上升趨勢(shì)。這進(jìn)一步說(shuō)明序列中存在長(zhǎng)期記憶，這種持久性是內(nèi)在的，是徑流過(guò)程復(fù)雜性所反映的事實(shí)。② 曲線的拐點(diǎn)可以確定曲線出現(xiàn)明顯轉(zhuǎn)折的位置，拐點(diǎn)橫坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)即為系統(tǒng)的平均循環(huán)周期。黑河出山徑流序列在n=20時(shí)(箭頭所示處)出現(xiàn)一個(gè)突變點(diǎn)，說(shuō)明該序列的平均循環(huán)周期T=20。T表征了系統(tǒng)對(duì)初始條件的平均記憶長(zhǎng)度，即黑河出山徑流量序列在20年后將完全失去對(duì)初始條件的依賴。

圖4 黑河出山年徑流量V(n)-lg n統(tǒng)計(jì)Fig.4 V(n)-lg n chart of annual runoff at Yingluoxia Station

3.2 徑流量R/S灰色預(yù)測(cè)

由R/S分析可知，黑河出山徑流量序列的平均記憶期為20年，即第k年徑流量的值會(huì)影響到第(k+19)年的徑流量，而對(duì)再往后的徑流量影響甚弱，甚至沒(méi)有影響。所以，可采用以下方法進(jìn)行黑河出山徑流量的灰色預(yù)測(cè)(以預(yù)測(cè)2009—2011年水文徑流量為例)。

①取1990—2008(共19年)的徑流量作為初始值，預(yù)測(cè)初值序列的徑流量，并對(duì)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行驗(yàn)證。②如果預(yù)測(cè)模型精度大于80%，則用1990—2008年的徑流量預(yù)測(cè)2009年的徑流量。③ 取1991—2008年的徑流量以及2009年預(yù)測(cè)值作為初始值，預(yù)測(cè)2010年的徑流量。④取1992—2008年的徑流量以及2009，2010年的預(yù)測(cè)值作為初始值，預(yù)測(cè)2011年的徑流量。預(yù)測(cè)過(guò)程采用式(3)～(7)計(jì)算。驗(yàn)證過(guò)程采用式(8)～(10)計(jì)算。

經(jīng)計(jì)算，模型的平均誤差為10.31%，預(yù)測(cè)精度達(dá)到了89.69%。所以，以1990—2008年的徑流量作為測(cè)模型的初值是可行的。其預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表1。

表1表明，2009—2011年的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的平均相對(duì)誤差為8.96%，預(yù)測(cè)精度達(dá)到了91.04%。說(shuō)明在R/S分析之后利用灰色理論進(jìn)行涌水量預(yù)測(cè)方法可行。

表1 2009—2011年黑河出山徑流量預(yù)測(cè)值與實(shí)際值比較Tab.1 Comparison between predicted and measured values of annual runoff from 2009 to 2011 at Yingluoxia Station

3.3 討論

3.3.1 與直接進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)比較。將1949—2008年的全部數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)以預(yù)測(cè)2009—2011年的徑流量，計(jì)算結(jié)果與基于R/S分析后的灰色預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比(表2)。由表2可知，直接進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)與基于R/S分析的灰色預(yù)測(cè)的精度分別為90.42%和91.04%，后者稍高一些。說(shuō)明在R/S分析之后，只要20年的徑流量資料就可以進(jìn)行徑流量灰色預(yù)測(cè)，且預(yù)測(cè)結(jié)果的精度要高于直接采用灰色預(yù)測(cè)的精度。

表2 不同預(yù)測(cè)方法的出山徑流量預(yù)測(cè)結(jié)果比較Tab.2 Comparison of annual runoff at Yingluoxia Station by different forecasting methods

在本研究中，R/S灰色預(yù)測(cè)方法的優(yōu)勢(shì)不明顯，只比直接進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)的結(jié)果稍好。原因在于黑河出山徑流序列(1949—2008年)的隨機(jī)波動(dòng)性小，適合直接進(jìn)行灰色預(yù)測(cè);但是對(duì)于隨機(jī)波動(dòng)性大的長(zhǎng)時(shí)間序列，直接進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)幾乎是不可能的，此時(shí)R/S灰色預(yù)測(cè)的優(yōu)勢(shì)就十分明顯。所以整體而言，R/S灰色預(yù)測(cè)法是進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)新的、有效的方法。

3.3.2 關(guān)于周期T。根據(jù)鶯落峽斷面1949—2008年徑流量，采用R/S分析得到的黑河出山徑流量循環(huán)周期為20年;侯紅雨、楊麗豐等根據(jù)鶯落峽斷面1945—2007年徑流量采用周期均值疊加法得到的黑河出山徑流量循環(huán)周期為22年［2］;王鈞、蒙吉軍根據(jù)鶯落峽斷面1944—2005年平均流量利用小波分析得到鶯落峽流量變化在60年尺度的最大周期為25年［20］。分別取T=20，22，25，采用前文中①～④的步驟進(jìn)行R/S灰色預(yù)測(cè)，得到如下預(yù)測(cè)結(jié)果(表3)。

表3 不同周期下黑河出山徑流量R/S灰色預(yù)測(cè)結(jié)果比較Tab.3 Comparison of annual runoff by R/S gray predicted under different cycles at Yingluoxia Station

由表3可知:① 不同周期下的預(yù)測(cè)精度分別達(dá)到91.04%，89.51%和93.4%;T取20年和25年時(shí)，利用灰色預(yù)測(cè)所得結(jié)果的精度都在90%以上。由于測(cè)流斷面相同，徑流量序列也基本一致，所以可以認(rèn)為黑河出山徑流量循環(huán)周期應(yīng)該在20～25年之間。②3個(gè)不同的周期是利用不同方法求出的結(jié)果;在求出周期T之后，可以再利用灰色預(yù)測(cè)方法進(jìn)行徑流量的預(yù)測(cè)，且預(yù)測(cè)精度都比較高，說(shuō)明灰色預(yù)測(cè)與其他方法結(jié)合預(yù)測(cè)效果更好。

4 結(jié)論

1)徑流量時(shí)間序列具有分形特征，可利用R/S方法進(jìn)行分析，Hurst指數(shù)H和平均循環(huán)周期T是R/S分析法穩(wěn)定有效的統(tǒng)計(jì)量。H可以判定徑流量時(shí)間序列的分形結(jié)構(gòu)和狀態(tài)持續(xù)性;T用于檢驗(yàn)R/S穩(wěn)定性，判別序列是否存在周期循環(huán)及估計(jì)周期長(zhǎng)度。徑流量序列也具有明顯的灰色特征，基于R/S分析的灰色預(yù)測(cè)模型為徑流量預(yù)測(cè)提供了一種新的方法。

2)黑河出山徑流量序列(1949—2011年)具有明顯的狀態(tài)持續(xù)性，其循環(huán)周期在20～25年之間，在進(jìn)行R/S灰色預(yù)測(cè)時(shí)，取T=20為宜，預(yù)測(cè)精度為91.04%。

3)在我國(guó)，分形理論應(yīng)用于徑流過(guò)程研究已經(jīng)有十多年的時(shí)間，但目前仍然處在驗(yàn)證階段。這與分形是一門新的學(xué)科、其基礎(chǔ)理論的研究還不完善有很大的關(guān)系。如何進(jìn)行深入研究，是各學(xué)科面臨的共同問(wèn)題。就徑流過(guò)程而言，應(yīng)該從分形的基礎(chǔ)理論和徑流變化機(jī)理2個(gè)方面做進(jìn)一步的深入探索。

4)本研究在利用R/S法分析徑流量序列的變化趨勢(shì)和周期后，只采用了灰色預(yù)測(cè)方法對(duì)黑河出山徑流量進(jìn)行了預(yù)測(cè)和對(duì)比分析。是否可以將R/S分析方法和其他方法結(jié)合進(jìn)行徑流量預(yù)測(cè)，將做進(jìn)一步的探討;另外，不同分析方法可以與灰色預(yù)測(cè)相結(jié)合進(jìn)行徑流預(yù)測(cè)，也將在以后做進(jìn)一步的研究。

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