●唐恒鈞 (浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004) ●周柳青 (油川初級中學 浙江永康 321306)

思維導向的數(shù)學導學案設計
——基于一則案例的分析

●唐恒鈞 (浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004) ●周柳青 (油川初級中學 浙江永康 321306)

基于導學案的教學已成為當下比較流行的課堂教學模式［1］.近幾年，筆者在參加浙江省初中的一些教研活動中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學課堂中廣泛地應用了導學案.應該說在數(shù)學課堂中應用導學案是很有價值的，這與數(shù)學這一學科的特殊性有關.首先，“問題是數(shù)學的心臟”，學生的數(shù)學學習就是在解決數(shù)學問題的過程中進行的，導學案則為學生的數(shù)學問題解決提供了載體.其次，數(shù)學學習需要學生的獨立思考，導學案只有問題而沒有答案的形式正好為學生的思考提供了合適的載體.

但筆者也發(fā)現(xiàn)，目前數(shù)學導學案還存在一些問題，特別是一些導學案變成了新的習題冊，對學生導學、尤其是思維上的引導功能明顯不足.下面以一個典型的導學案為例，分析其在思維引導上存在的不足，并以此為基礎探討改進的策略.

1 “一次函數(shù)復習”導學案概述

該課是在學生學完浙教版《數(shù)學》八年級“一次函數(shù)”一章后的復習課.導學案共包括復習和新知探究2個版塊.

復習版塊包括2個任務：第1個任務是學案給出6個空白的坐標系，讓學生動手畫一次函數(shù)y=kx+b的大致圖像有哪幾類;第2個任務是讓學生填寫以下空格，回顧表達式中k，b與圖像有什么聯(lián)系.

新知探究版塊包含2個例題：其中例1是關于單個函數(shù)的解析式與圖像間的關系，具體包括4個問題.

例1(1)這條直線經(jīng)過(1，2)和(4，－4)，能求出這條直線的表達式嗎?

(注：要求學生完成這一問題后，用4個字總結(jié)解這類題的4個步驟.)

這4個問題層層遞進，第(1)小題是知道2個點的坐標求直線表達式，第(2)小題是知道表達式求特殊點，第(3)和第(4)小題則更進一步根據(jù)y或x的范圍求x或y范圍.例2的難度進一步提升，由1條直線增加為2條直線，包含2個問題.

例2(1)求直線 l1：y1= －2x+4 與 l2：y2=x－5的交點A的交點坐標：＿＿ .

(2)當x為何值時，①y1＞y2;②y1=y2;③y1＜y2.

2 思維導向視角下的分析與評價

該導學案的知識點遵循了如下設計邏輯：復習一次函數(shù)的圖像(直線)與表達式間的關系，強化k確定直線方向，b確定直線與y軸的交點位置，k與b共同決定直線經(jīng)過的象限;其次，例1是復習內(nèi)容的進一步精細化，討論通過點的坐標求直線的解析式，通過解析式求特殊點以及點橫縱坐標的關系;再次，例2進一步討論2條直線之間的關系，包括交點坐標、同一橫坐標下縱坐標之間的關系等.因此，該導學案所建構(gòu)的知識結(jié)構(gòu)是清晰的、逐步推進的，這對于學生已有知識的整理是很有幫助的.

若進一步從數(shù)學思維角度看，則存在值得探討的問題.第一，導學案都是以封閉問題出現(xiàn).楊玉東博士曾將數(shù)學課堂上的問題分為指向教學內(nèi)部的問題和指向教學外部的管理性問題，并將指向內(nèi)部的問題細分為“旨在獲得結(jié)論的問題”和“旨在引發(fā)思考的問題”.本學案中的問題均是旨在獲得結(jié)論的問題.因此，學習結(jié)果是多數(shù)學生能解決問題，并獲得相應結(jié)論，但對于為什么要解決這些問題并不清楚.比如，學生也許并不清楚例1中為什么要給出2個點的坐標，至少不會有意識地從解析式、方程等角度理解這一條件的必要性.具體地，學生并不能用“待定系數(shù)法解方程”這一角度來理解以下關系：有2個未知數(shù)k和b，就需要構(gòu)造2個方程，從而需要給出2個點的坐標.事實上，相比于單純地求出直線方程的學習結(jié)果，這一理解更具教育意義和數(shù)學方法論意義.后者在后續(xù)的學習中具有通用性.因此，在數(shù)學導學案的問題設計時應盡量采用開放式的、文字性的問題，在為學生提供思維背景的基礎上，通過問題驅(qū)動學生的思考.這也是有學者提出的數(shù)學導學案應該具備的發(fā)展性特點［2］.

第二，盡管教師在設計導學案時具有清晰的數(shù)學知識邏輯，但由于學案問題過于封閉，這種知識邏輯被掩蓋在題目背后.學生通過該學案的學習，并不能理解與體會教師所設計的思維邏輯.事實上，就學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展而言，這比單純會解這些問題和獲得結(jié)論性的認識更為重要.這是因為，上述知識的內(nèi)在邏輯其實是思考數(shù)學問題的一般過程，這些內(nèi)容的體驗與學習將有助于學生數(shù)學活動經(jīng)驗的豐富和數(shù)學思維的提升.因此，在學案設計中要讓學生體會數(shù)學思考的脈絡，學會用具有普遍意義的數(shù)學視角思考問題.比如，該課要讓學生體會到函數(shù)研究的一些基本視角：既然初中函數(shù)討論的是2個變量之間的依存關系，則研究函數(shù)就要分析當自變量取特殊值或具有某種特定的變化趨勢時，應變量的取值或變化特點;函數(shù)可由3種方法來刻畫，考慮這3種方法之間的相互轉(zhuǎn)化;在考慮單個函數(shù)的基礎上，還要分析多個函數(shù)之間的關系，等等.同時，在問題鏈的設計中要蘊含數(shù)學思維，比如這節(jié)課中反復應用的數(shù)形結(jié)合思想，在用圖像討論解析式特點時用到的分類比較思想、從特殊到一般、從一般到特殊的思想等.

此外，從某種程度而言，導學案是為學生的自主學習設計的，是為學生的學服務的，因此導學案的表述應考慮這一特點.導學案不能只有數(shù)學問題，而需要一些鋪墊性的語言，來引導學生的數(shù)學思考或為學生的數(shù)學思考提供脈絡.

3 基于思維導向的“一次函數(shù)復習”導學案

這一章中我們學習了一次函數(shù)的相關知識.函數(shù)實際上是研究一個變化過程中，2個變量之間的依存關系，即對于x，y這2個變量，當x取每一個確定的值時，y都有唯一確定的值.函數(shù)有3種表示方法：解析法、圖像法和列表法.一次函數(shù)的一般的解析式為y=kx+b，圖像為一條直線.

問題1由一次函數(shù)的圖像，你能獲得什么結(jié)論?

問題1-1(出示一個經(jīng)過第一、二、三象限的一次函數(shù)圖像，圖略.)從x和y的關系出發(fā)，你能得到哪些結(jié)論?

結(jié)論預設這是一次函數(shù)y=kx+b.

問題1-2你還能畫出哪些一次函數(shù)的圖像?有哪些結(jié)論?

結(jié)論預設學生根據(jù)平移圖像等方法，獲得相關的結(jié)論.其中一個特殊情況為圖像經(jīng)過原點時，函數(shù)為正比例函數(shù)，由此使學生認識到正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情形.

問題2剛才是用函數(shù)圖像來理解函數(shù)的性質(zhì)，特別是解析式中k，b的取值問題.可見函數(shù)的幾種表達式之間是內(nèi)在一致的，且可以相互理解.在小學時學習過“2個點確定1條直線”，你能用一次函數(shù)的圖像與解析式作進一步理解嗎?

問題2-1為什么要給出2個點的坐標才能確定1條直線呢?

結(jié)論預設學生利用待定系數(shù)法從求方程的角度理解這一問題.

問題2-2你能自己設定2個點的坐標，并求經(jīng)過這2個點的直線表達式嗎?

問題3剛才研究的是坐標系中只有1條直線的情況，現(xiàn)在讓我們來研究2條直線的情況.2條直線有哪些可能的關系?如果用解析式來理解，有什么結(jié)論?

問題3-1如果設2條平行直線的解析式分別為y1=k1x+b1與y2=k2x+b2，你能獲得哪些結(jié)論?

問題3-1-1k1與k2之間有什么關系?

問題3-1-2b1與b2之間有什么關系?

問題3-2如果設2條相交直線的解析式分別為y1=k1x+b1與y2=k2x+b2，你能獲得哪些結(jié)論?

問題3-2-1交點坐標是什么?

問題3-2-2在交點右邊，當x取某一確定值時，y1與y2的關系如何?

問題3-2-3在交點左邊，當x取某一確定值時，y1與y2的關系如何?

［1］譚瑞軍.數(shù)學“導學案”教學的再思考［J］.教學與管理，2013(1)：49-51.

［2］陳蓓.數(shù)學學案教學研究綜述［J］.教育實踐與研究，2011(12B)：42-46.