●李培穎 (侯集高級(jí)中學(xué) 江蘇徐州 221121)

又見“飲馬問題”
——2013年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題第7題引發(fā)的探究

●李培穎 (侯集高級(jí)中學(xué) 江蘇徐州 221121)

1 問題提出

例1已知圓 C1：(x－2)2+(y－3)2=1，圓C2：(x－2)2+(y－4)2=9，M，N 分別是圓 C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為 ( )

(2013年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

圖1

分析本題以圓為背景，考查解析幾何中的最值問題.如圖1，先求|PC1|+|PC2|的最小值.作點(diǎn)C1(2，3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C3(2，－3)，則

因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以|PC3|+|PC2|的最小值為|C2C3|的長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)P 在P0處.又因?yàn)辄c(diǎn)P到圓C1上的點(diǎn)M的距離最小值為|PC1|－1，到圓C2上的點(diǎn)N的距離最小值為|PC2|－3，所以

故選A.

另外，本題還可以選擇作點(diǎn)C2關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)解決，同樣可以得到結(jié)果.

求解本題的關(guān)鍵在于“作點(diǎn)C1(2，3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C3(2，－3)”，那么，這一解題切入點(diǎn)是怎樣得到的呢?以往解決過類似的問題嗎?我們先從一個(gè)典故說起.

2 追本溯源

相傳，古希臘一位將軍遇到一個(gè)問題：如圖2，從A地出發(fā)，到筆直的河岸邊(直線l)C'處去飲馬，然后再去B地，走什么樣的線路最短呢?將軍百思不得其解，于是向久負(fù)盛名的學(xué)者海倫求教.海倫給出的辦法是“利用軸對(duì)稱化折為直”的思想，如圖3，把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的2側(cè)，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，則

從而利用“兩點(diǎn)之間線段最短”加以解決：當(dāng)C'在C 處，即點(diǎn) A，C，B'共線時(shí)，線路最短，其值為 AB'的長(zhǎng)度.由于這段典故，上述問題成了一個(gè)經(jīng)典名題，后人稱為“將軍飲馬問題”.

不難發(fā)現(xiàn)，例1的求解方法與“飲馬問題”的“利用軸對(duì)稱化折為直”的思想如出一轍.盡管“將軍飲馬”問題已經(jīng)流傳了近2 000年，但是學(xué)生甚至不少教師前所未聞.實(shí)際上，我們仔細(xì)研究教材，會(huì)發(fā)現(xiàn)原來教材中也有關(guān)于“將軍飲馬”的問題.

圖2

圖3

3 教材鏈接

例2已知 M( －1，3)，N(6，2)，點(diǎn) P 在 x軸上，求使PM+PN最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(蘇教版《數(shù)學(xué)(必修2)》第106頁第21題)

解如圖4，作出點(diǎn)N(6，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn) N'(6，－2)，則

由于兩點(diǎn)之間線段最短，可知使PM+PN最小時(shí)的點(diǎn)P為直線MN'與x軸的交點(diǎn)P0，容易求得直線MN'的方程為

圖4

圖5

例3已知點(diǎn) M(1，3)，N(5，－2)，若 x軸上存在一點(diǎn)P，使|PM－PN|最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(蘇教版《數(shù)學(xué)(必修2)》第129頁第23題)

解如圖5，作出點(diǎn)N(5，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn) N'(5，－2)，則

因?yàn)镸N'≥|PM－PN'|，所以使|PM－PN|最大時(shí)的點(diǎn)P為直線MN'與x軸的交點(diǎn)P0，容易求得直線MN'的方程為

令y=0，得x=13，故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(13，0).

教材上這2道題是有關(guān)求直線上一動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)的距離之和(或差的絕對(duì)值)的最值問題.例2是“飲馬問題”的模型，是“利用軸對(duì)稱化折為直”的思想解決的，例3可以看作例2的變形，二者可視為一對(duì)姊妹題，解決過程中實(shí)際上分別使用了我們熟悉的“三角形兩邊之和大于第三邊”和“三角形兩邊之差小于第三邊”.通過對(duì)這2道題的求解，可以歸納得到此類問題的一般模型及解法：(1)當(dāng)2個(gè)定點(diǎn)位于直線的異側(cè)時(shí)，可求得動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最小值;(2)當(dāng)2個(gè)定點(diǎn)位于直線的同側(cè)時(shí)，可求得動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值的最大值.若不滿足上述2個(gè)條件，則可利用對(duì)稱性將2個(gè)定點(diǎn)變換到直線的異(同)側(cè)，再進(jìn)行求解.

4 拓展應(yīng)用

在高三復(fù)習(xí)過程中經(jīng)常碰到有關(guān)求某曲線上的1個(gè)動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)(或1個(gè)定點(diǎn)和1個(gè)定直線，或2個(gè)定直線)的距離之和(差)的最值.許多學(xué)生在面對(duì)此類問題時(shí)感到束手無策，無從下手.此類問題在高考和競(jìng)賽中多次出現(xiàn)，在教材中也出現(xiàn)過，它們和“飲馬問題”的區(qū)別在于動(dòng)點(diǎn)在曲線上，能否類比“飲馬問題”進(jìn)行求解呢?下面僅舉幾例進(jìn)行說明.

例4已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，A(1，4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|+|PA|的最小值為＿＿ .

(2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

解如圖6，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為 F1，由于APF為“折”，受到“飲馬原理”的啟發(fā)，需要化“折”為“直”.利用雙曲線的第一定義，知

|PF1|+|PA|的最小值為線段AF1的長(zhǎng)度5，從而|PF|+|PA|的最小值為9.

例5已知直線l1：4x－3y+6=0和直線l2：x=－1，拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 ( )

(2009年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

圖6

圖7

解如圖7，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)(1，0)記為F，過點(diǎn)P分別向l1，l2作垂線，垂足分別為A，B，則點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和為PA+PB.由于PAB為“折”，同例4利用“飲馬原理”，化“折”為“直”：直線l2：x=－1為拋物線y2=4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義可知

因?yàn)镻A+PF的最小值為點(diǎn)F到直線l1：4x－3y+6=0的距離FC，易求FC=2，所以PA+PB的最小值為2，即點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是2.故選A.

圖8

設(shè) P(x，y)，A(2，0)，B(1，－2)，則上式表示點(diǎn) P(x，y)到 A(2，0)，B(1，－2)的距離之和，即求PA+PB的最大值.由題意，x，y滿足條件3x2+4y2=48，即點(diǎn) P(x，y)在橢圓上，且A(2，0)為橢圓的右焦點(diǎn).如圖8，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，類比“飲馬問題”的求解思想，由于題目是求最大值，故將“和”轉(zhuǎn)化為“差”，由橢圓的第一定義可知

實(shí)際上，類似的問題還有很多.實(shí)踐證明，利用解決“飲馬問題”的思想可使題目輕松獲解.

5 反思感悟

體現(xiàn)“將軍飲馬”的題目在各類考試中多次出現(xiàn)，但這類問題仍成為很多考生的攔路虎.究其原因：

(1)在教學(xué)中存在就題論題，不能由此及彼、融會(huì)貫通的現(xiàn)象.上文分析的題目，盡管背景不同，但都可以用“飲馬問題”的求解思想來解決.因此，教師在教學(xué)中不僅要重視“一題多解”培養(yǎng)發(fā)散思維，也要重視“多題歸一”，讓學(xué)生在“一題多解、多變，多題歸一”中體會(huì)數(shù)學(xué)思維的奧妙，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題方法的神奇.

(2)忽視教材習(xí)題功能.教材中既出現(xiàn)了以直線為背景的“飲馬問題”，也出現(xiàn)了以曲線為背景的“類飲馬問題”.教師應(yīng)善于捕捉課本中的典型例習(xí)題加以研究，通過一些拓展性結(jié)論提高解題技能，豐富解題經(jīng)驗(yàn)，最終使學(xué)生學(xué)會(huì)通過處理一個(gè)問題解決一串問題的本領(lǐng).