李發(fā)宗，童水光，王相兵，程曉民

（1.浙江大學(xué) 能源工程學(xué)系，杭州 3100271；2.寧波工程學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，浙江 寧波 315016）

桁架式船用挖掘機(jī)因臂架長(zhǎng)、承載大，在回轉(zhuǎn)或變幅過程中易產(chǎn)生變形［1］。對(duì)此種挖掘機(jī)的動(dòng)力學(xué)研究屬剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)范疇。文獻(xiàn)［2－5］在機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模、運(yùn)動(dòng)學(xué)與軌跡規(guī)劃、動(dòng)力學(xué)及控制取得不少研究成果。然而已有機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)研究大都基于瞬態(tài)結(jié)構(gòu)假設(shè)及單獨(dú)考慮剛體運(yùn)動(dòng)與柔性變形，忽略剛?cè)狁詈袭a(chǎn)生的非線性動(dòng)力學(xué)效應(yīng)，未考慮柔性變形對(duì)整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響。對(duì)類似船用挖掘機(jī)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)性能分析均由試驗(yàn)獲取，在動(dòng)力學(xué)方程建模、數(shù)值求解及仿真分析上仍處于探索階段［6－8］。計(jì)算機(jī)仿真橫擬及數(shù)值求解技術(shù)的飛速發(fā)展為機(jī)械臂進(jìn)行剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析提供強(qiáng)有力的技術(shù)手段。

本文以WDZ600桁架式船用挖掘機(jī)為對(duì)象，考慮機(jī)械臂軸向變形，選里茲基函數(shù)RayleighRitz為模態(tài)基函數(shù)［9］描述機(jī)械臂變形模式。用拉格朗日定理［10］建立機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程，用數(shù)值求解方法獲得機(jī)械臂固有頻率與相關(guān)參數(shù)的變化關(guān)系。用NASTRAN、ADAMS等軟件建立柔性臂架、柔性變幅繩、柔性抓斗提升鋼絲繩、剛性支架、剛性回轉(zhuǎn)平臺(tái)的船用挖掘機(jī)虛擬樣機(jī)模型并進(jìn)行仿真分析，獲得系統(tǒng)位移、速度、加速度、連接點(diǎn)鉸接力及機(jī)械臂動(dòng)態(tài)應(yīng)力等特性。

1 機(jī)械臂剛?cè)狁詈隙囿w動(dòng)力學(xué)建模

1.1 機(jī)械臂機(jī)構(gòu)系統(tǒng)廣義坐標(biāo)系建立

船用挖掘機(jī)WDZ600由雙足支架裝置、平臺(tái)系統(tǒng)、回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)及動(dòng)臂系統(tǒng)等組成。通過回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)、提升機(jī)構(gòu)及變幅機(jī)構(gòu)配合實(shí)現(xiàn)回轉(zhuǎn)、提升、變幅等動(dòng)作進(jìn)行物料轉(zhuǎn)移。臂架采用桁架結(jié)構(gòu)形式，由4根方鋼主弦、多條角鋼腹桿等焊接而成，分臂頭、頂節(jié)、標(biāo)準(zhǔn)節(jié)、底節(jié)四部分，承擔(dān)主要載荷。變幅系統(tǒng)可通過調(diào)整變幅鋼絲繩長(zhǎng)度改變臂架仰角實(shí)現(xiàn)。機(jī)械臂系統(tǒng)通過回轉(zhuǎn)支承及平臺(tái)與船體連接實(shí)現(xiàn)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。船用挖掘機(jī)工作裝置部件三維裝配見圖1。據(jù)圖1建立臂架系統(tǒng)機(jī)構(gòu)廣義坐標(biāo)系見圖2。為方便分析，選船用挖掘機(jī)機(jī)械臂與回轉(zhuǎn)工作平臺(tái)聯(lián)接鉸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立慣性坐標(biāo)系。建立機(jī)械臂大范圍剛性轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系1∑1O1x1y1；坐標(biāo)原點(diǎn)O1同O0。坐標(biāo)平面x1O1y1與平面xoy重合，xl軸與 x軸成 θ（θf1）角。選廣義坐標(biāo) qf＝［θf1qf2qf3］T，θf1、qf2、qf3分別表示點(diǎn) O1處轉(zhuǎn)角、點(diǎn) B沿 x向位移、點(diǎn) B沿y向位移（撓度），R為柔性梁任一點(diǎn)P在動(dòng)坐標(biāo)系∑1O1x1y1下位移；N為變幅鋼絲繩與雙足支架鉸點(diǎn)。選柔性機(jī)械臂模態(tài)基函數(shù)為

圖1 船用挖掘機(jī)工作裝置三維裝配組成Fig.1 Dimensional assembly constitute of marine excavator’s working device

圖2 大型船用挖掘機(jī)臂架系統(tǒng)機(jī)構(gòu)廣義坐標(biāo)系Fig.2 Generalized coordinate system of large marine excavator’s boom mechanism

為能準(zhǔn)確表示大范圍剛性轉(zhuǎn)動(dòng)的懸臂梁任一點(diǎn)彈性位移，引入耦合項(xiàng)wc，令耦合基函數(shù)為c，在小變形條件下，c為

1.2 船用液壓挖掘機(jī)臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制方程

忽略阻尼C，據(jù)拉格朗日乘子法（Lagrange）機(jī)構(gòu)約束方程為

式中：Qvf為由速度二次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的廣義力彈性分量；Qf為廣義外力對(duì)應(yīng)的彈性分量；Mf為機(jī)構(gòu)質(zhì)量矩陣；Kf為剛度矩陣。

1.2.1 質(zhì)量矩陣確定

式中：為機(jī)械臂廣義彈性質(zhì)量矩陣；為未端集中質(zhì)量廣義彈性質(zhì)量矩陣；為不考慮耦合變形的彈性質(zhì)量矩陣；為耦合變形貢獻(xiàn)的彈性質(zhì)量矩陣。各表達(dá)式為

同理，末端集中質(zhì)量廣義彈性質(zhì)量矩陣為

柔性梁機(jī)械臂系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為

1.2.2 剛度矩陣確定

機(jī)械臂剛度矩陣由兩部分組成，即

式中：Kf為彈性剛度矩陣；Kd為大范圍運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)力剛度矩陣。

機(jī)械臂彈性剛度矩陣可通過相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系的彈性變形勢(shì)能求得

式中：uy為機(jī)械臂中性軸橫向位移；ux為機(jī)械臂中性軸軸向位移。

機(jī)械臂末端質(zhì)量貢獻(xiàn)剛度矩陣為

式中：Sx）為耦合形函數(shù)；ro1為機(jī)械臂基座鉸點(diǎn)至變幅卷筒中心距離。

1.2.3 廣義力列陣確定

式（3）中Qvf與懸臂梁轉(zhuǎn)動(dòng)角速度·θ有關(guān)，從相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)角度看，相當(dāng)于離心慣性力與科氏慣性力，即

式中：IO為機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；S槇為單元形函數(shù)。

求解式（3）中Qf與臂架及抓斗重力Qf1及鋼絲繩內(nèi)力 Qf2，即

式中：lt為t時(shí)刻鋼絲繩長(zhǎng)度；rD為點(diǎn)O至點(diǎn)C的位移矢量為點(diǎn)B在動(dòng)坐標(biāo)系1下變形及未變形位移矢量；為點(diǎn)C在動(dòng)坐標(biāo)系1下位移矢量；N為點(diǎn)B所在單元變形函數(shù)。

鋼絲繩內(nèi)力虛功δWe為

式中：S1為鋼絲繩截面積；σg為鋼絲繩應(yīng)力。

鋼絲繩廣義內(nèi)力列陣為

式中：E1為鋼絲繩彈性模量。

2 工作裝置機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)數(shù)值求解

船用挖掘機(jī)機(jī)械臂動(dòng)特性能參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度矩陣表達(dá)式［11－13］為

式中：ωj為相關(guān)部件第 j階固有頻率；j為第 j階固有振型。

由式（30）知，模態(tài)頻率對(duì)性能參數(shù)靈敏度與質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣靈敏度及振動(dòng)速度、激勵(lì)頻率、結(jié)構(gòu)物理參數(shù)相關(guān)。WDZ600型船用挖掘機(jī)機(jī)械臂長(zhǎng)l＝23 m，平均質(zhì)量m＝480 kg／m，彈性模量 E＝2.0×1011N／m2，截面慣性矩 S＝0.055 6 m4，機(jī)械臂繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)最大角速度·θ＝0.36 rad·s－1。據(jù)式（10）、（17）動(dòng)力學(xué)方程系數(shù)矩陣及式（27）～式（29），利用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值求解得相關(guān)幾何參數(shù)的一階固有頻率靈敏度。B處沿X、Y向振動(dòng)固有頻率值隨機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)角速度變化曲線見圖3、圖4。由兩圖看出，B處沿yl方向振動(dòng)固有頻率隨機(jī)械臂繞O1轉(zhuǎn)動(dòng)角速度增加略有增大，考慮數(shù)量級(jí)為10－4，可忽略；B處沿xl方向振動(dòng)固有頻率基本無變化。

忽略式（4）、（10）中 Mf2，Kf，即不考慮剛?cè)狁詈纤脵C(jī)械臂剛體運(yùn)動(dòng)的固有頻率關(guān)系，得B處沿X、Y向振動(dòng)固有頻率值隨機(jī)械臂長(zhǎng)度變化曲線見圖5、圖6。由兩圖看出，機(jī)械臂繞O1轉(zhuǎn)動(dòng)、B處沿xl方向振動(dòng)固有頻率隨機(jī)械臂長(zhǎng)度增加略有增大，而B處沿yl方向振動(dòng)固有頻率呈下降趨勢(shì)，且考慮剛?cè)狁詈线\(yùn)動(dòng)后所得機(jī)械臂振動(dòng)固有頻率低。

圖3 機(jī)械臂在B處沿X向振動(dòng)頻率隨角速度變化曲線Fig.3 Relation curve of mechanical arm vibration frequency changed with angular velocity along with X direction at B point

圖4 機(jī)械臂在B處沿Y向振動(dòng)頻率隨角速度變化曲線Fig.4 Relation curve of mechanical arm vibration frequency changed with angular velocity along with Y direction at B point

圖5 機(jī)械臂在B處沿X向振動(dòng)頻率隨機(jī)械臂長(zhǎng)變化曲線Fig.5 Relation of vibration frequency along with X direction at B point changed with the arm length for the mechanical arm

圖6 機(jī)械臂在B處沿Y向振動(dòng)頻率隨機(jī)械臂長(zhǎng)變化曲線Fig.6 Relation of vibration frequency alongwith Y direction at B point changed with the arm lengthfor the mechanical arm

3 船用挖掘機(jī)機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真

WDZ600型船用液壓挖掘機(jī)工作裝置機(jī)械臂的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真過程為：在UG中建立船用挖掘機(jī)工作裝置動(dòng)臂、回轉(zhuǎn)支承、平臺(tái)、雙足支架三維實(shí)體模型。調(diào)出 Parasolid（.x＿t或.x＿b文件）格式文件導(dǎo)入 ADAMS中進(jìn)行位置調(diào)整，保證裝配正確［14］。在ADAMS中相應(yīng)空間位置建立32個(gè)圓柱體小段，小段間用bushing軸套力連接，設(shè)置剛度、阻尼系數(shù)，完成鋼絲繩建模。對(duì)臂架柔性體進(jìn)行模態(tài)分析，生成柔性體模態(tài)中性文件.mnf，該文件含柔性體質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、頻率、振型及對(duì)載荷的參與因子等信息。將.mnf文件導(dǎo)入ADAMS中替換相應(yīng)剛性體，建立船用挖掘機(jī)工作裝置剛?cè)狁詈咸摂M樣機(jī)模型見圖7。船用挖掘機(jī)動(dòng)臂柔性體模態(tài)分析結(jié)果見圖8。

圖7 船用控掘機(jī)剛?cè)狁詈咸摂M樣機(jī)模型Fig.7 Rigid coupling virtual prototype model of marine excavator’s moving arm

圖8 船用挖掘機(jī)動(dòng)臂柔性體模態(tài)分析結(jié)果Fig.8 Flexible body modal analysis results of marine excavator’s moving arm

3.1 起臂工況仿真

在起臂工況仿真過程中分別對(duì)臂架底節(jié)與中間節(jié)連接處、臂架重心處、頂節(jié)與中間節(jié)連接處三個(gè)較危險(xiǎn)位置上弦桿進(jìn)行分析，得各處應(yīng)力曲線。圖9表示起臂過程中不同臂節(jié)重心處應(yīng)力變化曲線，不同起臂速度時(shí)主臂重心處應(yīng)力曲線見圖10。由圖9看出，應(yīng)力最大值出現(xiàn)在起臂初始階段，且隨主臂仰角增加而減小。主臂重心處應(yīng)力400 MPa明顯高于其它位置處應(yīng)力，底節(jié)與中間節(jié)連接處應(yīng)力最小172 MPa。因此對(duì)重心處應(yīng)力進(jìn)行重點(diǎn)分析。對(duì)起臂速度分別為15 mm／s、25 mm／s、60 mm／s時(shí)主臂重心處應(yīng)力進(jìn)行分析，由圖10看出，應(yīng)力最大值隨起臂速度增加而增加。速度突變時(shí)應(yīng)力值出現(xiàn)峰值；設(shè)定速度變化時(shí)間大于10 s時(shí)，應(yīng)力峰值會(huì)小于不變速時(shí)應(yīng)力峰值。因此，可通過適當(dāng)改變起臂速度改進(jìn)臂架受力，以保證較高的起臂效率。

3.2 突然卸載工況仿真

研究挖掘機(jī)在突然卸載 0.125 s、0.25 s、0.375 s時(shí)的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)比分析挖掘機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)值卸載后的時(shí)間歷程中動(dòng)態(tài)響應(yīng)最大值，即加載點(diǎn)1的X、Y方向位移、速度、加速度、單根變幅拉索拉力及臂架頂節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)應(yīng)力。不同時(shí)間歷程下動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析結(jié)果見圖11～圖14。不同卸載時(shí)間各動(dòng)力學(xué)響應(yīng)最大值對(duì)比見表1。

表1 不同卸載時(shí)間各動(dòng)力學(xué)響應(yīng)最大值對(duì)比Tab.1 Maximum comparison of each dynamicresponse valuefor the different unloading time

圖9 起臂過程中不同臂節(jié)重心處應(yīng)力變化曲線Fig.9 Variable spline of stress at the center of boom gravity at different arm sections during rising boom

圖10 不同起臂速度時(shí)臂架主臂處應(yīng)力曲線Fig.10 Spline of stress during rising boom at main arm during the different boom rising speed

圖11 突然卸載不同時(shí)間歷程B處X方向位移曲線Fig.11 X direction displacement curve at B point suddenly unstallingduringthe different time course

圖12 突然卸載不同時(shí)間歷程B處Y向位移曲線Fig.12 Y direction displacement curve at B point suddenly unstallingduringthe different time course

圖13 突然卸載不同時(shí)間歷程B處加速度曲線Fig.13 Acceleration curve at B point suddenly unstalling during the different time course

圖14 突然卸載不同時(shí)間歷程變幅鋼絲繩拉力曲線Fig.14 Pullup curve of luffing rope suddenly unstalling during the different time course

對(duì)比仿真結(jié)果知，隨卸載時(shí)間增加節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值、加載點(diǎn)位移值、速度及加速度值、變幅鋼絲繩內(nèi)力及動(dòng)臂與平臺(tái)的鉸接力均減小。突然卸載時(shí)間延長(zhǎng)能顯著減少對(duì)整機(jī)瞬間沖擊作用，改善動(dòng)臂振動(dòng)情況，降低動(dòng)應(yīng)力，變幅鋼絲繩受力顯著減少，降低損耗。因此，在大型船用挖掘機(jī)抓斗卸載物料過程中，在保證工作效率前提下，適當(dāng)延長(zhǎng)物料卸載時(shí)間可提高挖掘機(jī)的動(dòng)態(tài)性能。

4 結(jié)果對(duì)比論證

4.1 固有頻率特性的結(jié)果比較

利用上節(jié)臂架柔性體的模態(tài)中性文件中的有限元結(jié)果文件，將臂架長(zhǎng)度依次設(shè)為23 m、20 m、17 m分別進(jìn)行有限元模態(tài)計(jì)算，并與數(shù)值求解分析結(jié)果對(duì)比，見表2。由表2看出，有限元分析與數(shù)值結(jié)果較接近，從而驗(yàn)證剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)理論建模的正確性。

表2 機(jī)械臂1～10階固有頻率數(shù)值與仿真結(jié)果對(duì)比（Hz）Tab.2 Natural frequency comparison of numerical solution and simulation solution for mechanical arm

圖15 測(cè)試值與計(jì)算值對(duì)比Fig.15 Comparison of test and calculated values

4.2 動(dòng)力學(xué)特性實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用與動(dòng)力學(xué)仿真相同工況，結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，對(duì)臂架頂端至底端在不同臂節(jié)連接處、各臂節(jié)中心處及其它危險(xiǎn)點(diǎn)共13處進(jìn)行應(yīng)力測(cè)試。13處應(yīng)力測(cè)試結(jié)果與計(jì)算值對(duì)比見圖15。由圖15看出，穩(wěn)定提升時(shí)最大應(yīng)力為139.44 MPa，位于上臂架頂端外側(cè)第3測(cè)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值大小及變化趨勢(shì)基本一致，誤差在8%以內(nèi)。突然卸載時(shí)最大應(yīng)力測(cè)量值為83.12 MPa，位于緩沖桿附近第7測(cè)點(diǎn)，計(jì)算值88.71 MPa，誤差6.33%，其余測(cè)點(diǎn)誤差均在10%以內(nèi)。

對(duì)船用挖掘機(jī)工作過程中臂架變形最大位移用視頻圖像測(cè)量技術(shù)［15］進(jìn)行測(cè)量。測(cè)試用攝像機(jī)分辨率1 280×720，拍攝速率30幀／s，利用Matlab軟件處理所得水平、豎直方向位移時(shí)間圖，測(cè)點(diǎn)突然卸載后的最大位移為ΔX＝92 mm，ΔY＝157 mm，與仿真值誤差在15%以內(nèi)。通過應(yīng)力、位移測(cè)試并與臂架剛?cè)狁詈戏抡娼Y(jié)果對(duì)比知，仿真模型的準(zhǔn)確性獲得驗(yàn)證。

5 結(jié) 論

基于柔性梁多體理論對(duì)船用挖掘機(jī)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)過程分析推導(dǎo)建立動(dòng)力學(xué)微分方程，用數(shù)值求解方法獲得機(jī)械臂振動(dòng)固有頻率與相關(guān)參數(shù)的變化關(guān)系。應(yīng)用NASTRAN、ADAMS等軟件對(duì)船用挖掘機(jī)機(jī)械臂機(jī)構(gòu)進(jìn)行剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真，獲得典型工況的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線，并進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析，結(jié)論如下：

（1）由于剛?cè)狁詈咸匦?，船用挖掘機(jī)機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程的質(zhì)量、剛度矩陣高度耦合。

（2）由于機(jī)械臂剛?cè)狁詈线\(yùn)動(dòng)影響，計(jì)算結(jié)果較用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方法忽略剛?cè)狁詈献饔盟媒Y(jié)果固有頻率值低。

（3）通過動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)值求解及仿真分析，可研究影響機(jī)械臂結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性影響因素，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)薄弱環(huán)節(jié)，提出改進(jìn)意見。

（4）建模及分析方法可為進(jìn)一步研究船用挖掘機(jī)工作裝置機(jī)械臂虛擬樣機(jī)模型及運(yùn)動(dòng)的精確控制提供依據(jù)。

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