于 濤，王 嬌，李英杰，孫 偉，韓清凱

（1.煙臺大學(xué) 機電汽車工程學(xué)院，山東 煙臺 264005；2.山東省高校先進制造與控制技術(shù)重點實驗室，山東 煙臺 264005；3.大連理工大學(xué) 機械學(xué)院，遼寧 大連 116024）

在分離、紡織、起重、電動、發(fā)電等機械中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為主要部件因工作環(huán)境及工況要求導(dǎo)致轉(zhuǎn)子質(zhì)量不斷發(fā)生變化。如燃氣輪機轉(zhuǎn)子葉片受工作介質(zhì)沖刷腐蝕、粘連堆積導(dǎo)致葉片質(zhì)量發(fā)生改變；紡織機械的轉(zhuǎn)子部件質(zhì)量由纏繞物的多少隨時間緩慢變化。傳統(tǒng)上將此類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)稱質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)［1－5］。而有關(guān)此類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)研究較少。Cveticanin［6－7］研究質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性特性，包括自激振動及混沌運動等；王宗勇等［8－10］研究質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)松動、碰摩故障下周期運動及擬周期運動。

本文基于漸近解析法［11－12］獲得簡化集中質(zhì)量模型質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)解析解，并采用重分布小波尺度圖對具體質(zhì)量慢變模型進行時頻特征分析，獲得豐富的質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子動力學(xué)行為。

1 質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程

圖1 基于簡單集中質(zhì)量的質(zhì)量慢變Jeffcott轉(zhuǎn)子Fig.1 Simplifiedconcentratedmass based model of Jeffcott rotor system with slowlyvarying mass

圖1為Jeffecott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其質(zhì)量隨時間緩慢變化，該系統(tǒng)動力學(xué)方程為

式中：m（τ）為轉(zhuǎn)子慢變質(zhì)量；c為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)阻尼系數(shù)；k為轉(zhuǎn)軸線性剛度系數(shù)；g為重力加速度。

通過與恒定質(zhì)量轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對比知，質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)增加一阻尼力項，且該項阻尼系數(shù)為慢變質(zhì)量的函數(shù)。若質(zhì)量由小到大變化則該慢變阻尼系數(shù)為正，反之為負，會產(chǎn)生自激振動；質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率亦為慢變的，亦會引起振幅、相位差角的慢變。阻尼力、激振力較小時令 c／m（τ）＝2εξω0（τ），e＝εr，則式（2）可化簡為

2 解析求解

由于式（3）的兩方程互不關(guān)聯(lián)可分別求解。以求解水平方向為例

式中：a，εu1（τ，a，t，ψ）為時間 t的函數(shù)。

取方程的一次近似解為

式中：a，ψ為時間t的函數(shù)，計算式為

將式（16）代入式（14），整理得

3 基于解析解的質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)小波分析

對連續(xù)操作的分離機械而言，其轉(zhuǎn)子質(zhì)量可認為圍繞某一質(zhì)量上下波動，波動幅度取決于物料性質(zhì)，波動頻率取決于加料周期。為便于分析，令轉(zhuǎn)子的慢變質(zhì)量為

式中：k＝48EI／L3，I＝πd4／64為轉(zhuǎn)軸截面通過形心的慣性矩，d＝2R為轉(zhuǎn)軸直徑。

設(shè)Jeffcott轉(zhuǎn)子模型半徑R＝10 mm，長度L＝480 mm，彈性模量 E＝2.06E11 N／m2，則轉(zhuǎn)子軸剛度 K＝43 888 N／m。令m0＝1 kg，ξ＝0.1，e＝0.000 1 m，則27 Hz＜f0＜47 Hz。采用四階Runge－Kutta法對微分方程組（20）數(shù)值求解。ωm＝100 rad／s、ε＝0.01、λ＝0.5時取慢變質(zhì)量轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速ω分別為20 Hz、30 Hz、40 Hz、60 Hz，所得質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線見圖2～圖11。由圖2看出，質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)低于系統(tǒng)固有頻率穩(wěn)態(tài)運轉(zhuǎn)時，系統(tǒng)頻率成分除工頻外在27～47 Hz范圍內(nèi)出現(xiàn)密頻成分。

圖2 質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線（ω＝20 Hz，ε＝0.01）Fig.2 Timefrequency response of rotor system with slowlyvarying mass（ω＝20 Hz，ε＝0.01）

為更清楚觀察該范圍內(nèi)的頻率成分，對圖2（a）時域波形進行高通濾波、頻譜分析，所得時頻曲線見圖3。由圖3看出，系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)高通濾波后低頻成分消失，頻譜圖中顯示出27～47 Hz間密頻成分，但由于頻率成分過于密集無法辨認，因此對濾波后的時域信號進行小波重排尺度分析，見圖4。由圖4看出，隨時間推移，去除工頻成分的質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)重排Morlet尺度圖中轉(zhuǎn)子頻率按簡諧特征波動，呈一條明顯的簡諧頻率帶，且以2π為周期，頻率幅值波動漸小。

圖3 高通濾波后轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線（ω＝20 Hz，ε＝0.01）Fig.3 Timefrequency response of rotor system with slowlyvarying mass after highpass filtering（ω＝20 Hz，ε＝0.01）

圖4 高通濾波后質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)重排 Morlet尺度圖（ω＝20 Hz，ε＝0.01）Fig.4 Reassigned morlet scalograms of rotor system with slowlyvarying mass after highpass filtering（ω＝20 Hz，ε＝0.01）

質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以30 Hz、40 Hz在系統(tǒng)固有頻率變化范圍內(nèi)穩(wěn)態(tài)運轉(zhuǎn)時，其時頻響應(yīng)曲線見圖5、圖7。由兩圖看出，系統(tǒng)存在豐富的頻率成分，對時域信號進行FFT分析時在27～47 Hz之間存在密頻成分，且轉(zhuǎn)子工頻湮沒其中。系統(tǒng)響應(yīng)重排Morlet尺度圖見圖6、圖8。由兩圖看出，系統(tǒng)頻率有2π的周期波動。

圖5 質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線（ω＝30 Hz，ε＝0.01）Fig.5 Timefrequency response of rotor system with slowlyvarying mass after highpass filtering（ω＝30 Hz，ε＝0.01）

圖6 質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)重排Morlet尺度圖（ω＝30 Hz，ε＝0.01）Fig.6 Reassigned Morlet scalograms of rotor system with slowlyvarying mass（ω＝30 Hz，ε＝0.01）

圖7 質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線（ω＝40 Hz，ε＝0.01）Fig.7 Timefrequency response of rotor system with slowlyvarying mass after highpass filtering（ω＝40 Hz，ε＝0.01）

圖8 質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)重排Morlet尺度圖（ω＝40 Hz，ε＝0.01）Fig.8 Reassigned Morlet scalograms of rotor system with slowlyvarying mass（ω＝40 Hz，ε＝0.01）

圖9 質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線（ω＝60 Hz，ε＝0.01）Fig.9 Timefrequency response of rotor system with slowlyvarying mass after highpass filtering（ω＝60 Hz，ε＝0.01）

圖10 低通濾波后的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線（ω＝60 Hz，ε＝0.01）Fig.10 Timefrequency response of rotor system with slowlyvarying mass after lowpass filtering（ω＝60 Hz，ε＝0.01）

圖11 低通濾波后質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)重排Morlet尺度圖（ω＝60 Hz，ε＝0.01）Fig.11 Reassigned Morlet scalograms of rotor system with slowlyvarying mass after lowpass filtering（ω＝60 Hz，ε＝0.01）

質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以60 Hz在超系統(tǒng)固有頻率范圍外穩(wěn)態(tài)運轉(zhuǎn)時，系統(tǒng)時域信號呈周期運動的時頻響應(yīng)見圖9。由圖9看出，除高頻工頻外在低于工頻范圍內(nèi)亦存在密頻成分。因此對時域信號進行低通濾波，濾波后慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線見圖10。由圖10看出，低頻部分從27～47 Hz為系統(tǒng)固有頻率變化范圍。系統(tǒng)響應(yīng)重排Morlet尺度圖見圖11。由圖11看出，系統(tǒng)低頻部分作大周期的頻率波動。

對給定參數(shù)的質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)特點，可認為在給定質(zhì)量慢變模型下，系統(tǒng)頻率響應(yīng)存在T＝2π／（ωmε）的大周期波動，頻率波動周期 T＝2π／（100×0.01）＝2π。為考察質(zhì)量慢變參數(shù)ε對系統(tǒng)響應(yīng)影響，討論 ωm＝100 rad／s、ε＝0.1、λ＝0.5時質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)。取慢變質(zhì)量轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速ω分別為20 Hz、30 Hz、60 Hz時，系統(tǒng)時頻響應(yīng)見圖12～圖19。轉(zhuǎn)速為20 Hz時系統(tǒng)時頻響應(yīng)見圖12。由圖12看出，由于質(zhì)量慢變導(dǎo)致系統(tǒng)固有頻率時變，在工頻附近出現(xiàn)多成分頻譜，且頻譜間相差 Δf＝ωmε／（2π）＝100×0.1／2／3.14＝1.59 Hz；在高頻區(qū)存在幅值相對較低的密頻區(qū)。對時域信號進行高通濾波的時頻圖見圖13。由圖13看出，在20～50 Hz區(qū)間以20 Hz為基準(zhǔn)，Δf為增量的連續(xù)頻譜，系統(tǒng)以 T＝2π／（ωmε）＝1／Δf周期作頻率波動。

圖12 質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線（ω＝20 Hz，ε＝0.1）Fig.12 Timefrequency response of rotor system with slowlyvarying mass（ω＝20 Hz，ε＝0.1）

圖13 高通濾波后質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線（ω＝20 Hz，ε＝0.1）Fig.13 Timefrequency response of rotor system with slowlyvarying mass after highpass filtering

圖14 高通濾波后質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)重排Morlet尺度圖（ω＝20 Hz，ε＝0.1）Fig.14 Reassigned Morlet scalograms of rotor system with slowlyvarying mass after highpass filtering

質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速在30 Hz運轉(zhuǎn)時，系統(tǒng)響應(yīng)見圖15、圖16。由兩圖看出，系統(tǒng)穩(wěn)定運轉(zhuǎn)在固有頻率變化范圍內(nèi)時，在共振區(qū)及附近以工頻為基準(zhǔn)Δf為增量，出現(xiàn)豐富的頻率成分，且系統(tǒng)頻率隨時間的推移以 T＝2π／（ωmε）＝1／Δf周期作頻率波動。

圖15 質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線（ω＝30 Hz，ε＝0.1）Fig.15 Timefrequency response of rotor system with slowlyvarying mass

圖16 質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)重排Morlet尺度圖（ω＝30 Hz，ε＝0.1）Fig.16 Reassigned Morlet scalograms of rotor system with slowlyvarying mass

圖17 質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線（ω＝60 Hz，ε＝0.1）Fig.17 Timefrequency response of rotor system with slowlyvarying mass

圖18 低通濾波后質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時頻響應(yīng)曲線（ω＝60 Hz，ε＝0.1）Fig.18 Timefrequency response of rotor system with slowlyvarying mass after lowpass filtering

圖19 低通濾波后質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)重排Morlet尺度圖（ω＝60 Hz，ε＝0.1）Fig.19 Reassigned Morlet scalograms of rotor system with slowlyvarying mass after lowpass filtering

慢變質(zhì)量轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速在60 Hz運轉(zhuǎn)時系統(tǒng)時頻響應(yīng)見圖17。由圖17看出，系統(tǒng)呈現(xiàn)與低于臨界轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn)時的系統(tǒng)響應(yīng)相似特點。因此對質(zhì)量慢變模型 m（τ）＝m0（1＋λcos（ωmτ））而言，系統(tǒng)頻率響應(yīng)與ωm及 ε的乘積有關(guān)，即系統(tǒng)作周期為 T＝2 π／（ωmε）的頻率波動，頻率成分隨時間推移以工頻轉(zhuǎn)速為基準(zhǔn)、Δf＝ωmε／（2π）為增量進行簡諧波動。

4 結(jié) 論

本文基于漸近法，給出質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)解析分析方法，推導(dǎo)出質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的解析解，研究、討論具有單一質(zhì)量慢變模型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)響應(yīng)，結(jié)論如下：

（1）質(zhì)量慢變導(dǎo)致系統(tǒng)固有頻率產(chǎn)生時變，系統(tǒng)頻率響應(yīng)與ωm，ε的乘積有關(guān)，且頻率成分隨時間推移以工頻轉(zhuǎn)速為基準(zhǔn)、以T＝2π／（ωmε）為增量進行簡諧波動。

（2）基于漸近方法的質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)解析解的一次近似解，對精度、分辨率而言已足夠。

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