王萍萍，劉 磊，欒曉娜

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院，遼寧 大連 116024）

智能作動(dòng)器廣泛用于微納米技術(shù)領(lǐng)域，但其遲滯非線性效應(yīng)影響作動(dòng)器精度，而遲滯非線性效應(yīng)造成的誤差可達(dá)位移的10%～15%［1］。為提高作動(dòng)器精度，需研究智能作動(dòng)器遲滯非線性辨識(shí)及補(bǔ)償［2］。

遲滯效應(yīng)物理特性較復(fù)雜，可通過基于現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型描述，尤其 Preisach模型［3－4］。經(jīng)典 Preisach遲滯非線性只依賴輸入信號(hào)路徑，與信號(hào)頻率無(wú)關(guān)，而Preisach具有全局記憶性［5］，即過去、當(dāng)前時(shí)刻輸入共同決定將來(lái)某時(shí)刻輸出。為辨識(shí)Preisach模型，Henze等［6］通過假設(shè)Preisach模型μ分布函數(shù)利用數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，但通常較難提前獲得某壓電作動(dòng)器的μ分布函數(shù)；Song等［7］對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行微分求解Preisach密度函數(shù)，但易受測(cè)量噪聲影響。本文用最小二乘與奇異值分解方法辨識(shí)Preisach模型參數(shù)。噪聲及擾動(dòng)也會(huì)產(chǎn)生小的奇異值，需進(jìn)行截?cái)嘁詼p小誤差。但若輸入信號(hào)不滿足持續(xù)激勵(lì)（PE）條件［8－9］，也易造成較大辨識(shí)誤差。因此需采用具有變幅值的輸入信號(hào)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，以滿足持續(xù)激勵(lì)條件，提高辨識(shí)精度。為驗(yàn)證辨識(shí)結(jié)果，本文設(shè)計(jì)Preisach逆模型前饋補(bǔ)償遲滯非線性，利用壓電平臺(tái)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證遲滯辨識(shí)、補(bǔ)償方法的有效性。

1 Preisach遲滯非線性模型

1.1 Preisach遲滯非線性模型

經(jīng)典Preisach遲滯非線性模型為遲滯算子與相應(yīng)密度函數(shù) μ的二重積分［2］，即

式中：u（t）為輸入電壓；μ（α，β）為無(wú)量綱密度函數(shù)；f（t）為作動(dòng)器輸出；rαβ為遲滯算子也稱繼電器算子。

式（1）不含動(dòng)力學(xué)項(xiàng)，故對(duì)Preisach遲滯參數(shù)辨識(shí)不同于一般動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。

1.2 Preisach遲滯非線性模型離散化

對(duì)Preisach遲滯非線性模型參數(shù)辨識(shí)時(shí)主要目標(biāo)即辨識(shí)密度函數(shù)μ。本文對(duì)Preisach平面進(jìn)行離散化，并設(shè)單元具有均勻密度μij，將二重積分轉(zhuǎn)化為求和，即

式中：n為離散水平；sij為單元格（i，j）面積（已知）；γij為單元格（i，j）繼電器輸出，可指定為特殊值，如對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器γij可指定0或1，即vij＝μijsij，故只要辨出 vij即可求出 μij。

對(duì)式（2）在時(shí)間區(qū)間t1＜t＜tm內(nèi)采樣，故存在時(shí)間序列t1＜t2＜…＜ti＜…＜tN，對(duì)遲滯離散方程N(yùn)個(gè)采樣，得線性矩陣方程為

對(duì)Preisach遲滯非線性辨識(shí)轉(zhuǎn)化為對(duì)式（3）的求解。通常式（3）的維數(shù)、條件數(shù)較高，如對(duì)n＝50的離散化，矩陣A的維數(shù)為1 275，采用一般輸入信號(hào)、一般求解方法較難獲得精確解。本文目的即采用恰當(dāng)?shù)闹C波輸入信號(hào)，構(gòu)造式（3），對(duì)矩陣ATA進(jìn)行奇異值分解，辨識(shí)離散化密度函數(shù)μij，并用逆模型前饋補(bǔ)償遲滯效應(yīng)驗(yàn)證辨識(shí)方法的正確性。

2 奇異值分解法辨識(shí)Preisach模型參數(shù)

2.1 Preisach模型參數(shù)辨識(shí)

用于諧波信號(hào)辨識(shí)Preisach遲滯模型參數(shù)不同于非遲滯動(dòng)力學(xué)，頻率豐富并非能提高遲滯效應(yīng)辨識(shí)精度，主要因Preisach模型速率無(wú)關(guān)性，即單獨(dú)改變輸入信號(hào)頻率不能改變Preisach模型輸出特性。密度函數(shù)為恒定值4，在0.5 s時(shí)輸入信號(hào)頻率增加為2倍，遲滯回路仍保持不變，見圖1。

相反，充分幅值可激發(fā)更多記憶曲線，Presach模型中不同狀態(tài)點(diǎn)被激發(fā)，可滿足持續(xù)激勵(lì)（PE）條件、提高Preisach遲滯模型參數(shù)辨識(shí)精度，變幅值輸入諧波信號(hào)及Preisach回路見圖2。由圖2看出，變幅值輸入信號(hào)生成更多遲滯回路，采樣時(shí)可產(chǎn)生更多線性獨(dú)立方程，提高矩陣A的秩，增加參數(shù)辨識(shí)精度。

2.2 滿足持續(xù)激勵(lì)條件的最小二乘解

對(duì)一般非遲滯系統(tǒng)，參數(shù)辨識(shí)均會(huì)構(gòu)造充分頻率的輸入信號(hào)，盡量激發(fā)系統(tǒng)模態(tài)滿足持續(xù)激勵(lì)條件，即det（ATA）≠0，此時(shí)方程存在唯一解［8］為

圖2 變幅值輸入信號(hào)及Preisach回路Fig.2 Amplitudevarying input and its Preisach loop

但對(duì)Preisach遲滯非線性，充分頻率無(wú)助于提高辨識(shí)精度，且因矩陣A維數(shù)高、存在系統(tǒng)噪聲，接近零的奇異值會(huì)增加誤差。為提高精度，需對(duì)接近零的奇異值截?cái)?。單純采用一般辨識(shí)方法式（4）不易獲得參數(shù)精確值。

2.3 奇異值分解參數(shù)辨識(shí)

本文采用最小二乘法辨識(shí)遲滯模型。為提高辨識(shí)精度，對(duì)矩陣ATA奇異值進(jìn)行分解［10］，即

式中：U＝［u1，u2，…，un］；V＝［v1，v2，…，vn］；∑ ＝diag（σ1，σ2，…，σn）；σ1≥σ2≥…≥σn≥0；U，V為么矩陣，滿足 UUT＝UTU＝I，VVT＝VTV＝I，I為單位陣。

設(shè)矩陣 ATA的秩為 k，存在 σk＋1，σk＋2，…，σn＝0，對(duì)ATA進(jìn)行分解，即

求偽逆時(shí)，奇異值截?cái)嗉纫紤]截?cái)嗾`差，也要考慮測(cè)量噪聲影響。噪聲可能會(huì)產(chǎn)生非常小奇異值，影響矩陣良定性。可用條件數(shù)衡量矩陣的良定性，ATA條件數(shù) k（ATA）為

式中：σ1為最大奇異值；σk為最小非零奇異值；k（ATA）為最大最小奇異值比例。若條件數(shù)太大，ATA屬于非良定矩陣。

3 Preisach遲滯非線性逆模型補(bǔ)償

Preisach遲滯為具有全局記性效應(yīng)的非線性，無(wú)動(dòng)力學(xué)環(huán)節(jié)。本文對(duì)遲滯補(bǔ)償時(shí)采用具有記憶效應(yīng)的逆模型法補(bǔ)償［11］，此為前饋補(bǔ)償算法，依賴于辨識(shí)精度。一旦獲得Preisach遲滯模型即可據(jù)過去及當(dāng)前輸入信號(hào)決定輸出信號(hào)。為驗(yàn)證辨識(shí)精度，逆模型補(bǔ)償時(shí)不用位移測(cè)量，直接據(jù)辨識(shí)Preisach模型及參考信號(hào)求解控制電壓u（k），補(bǔ)償算法見算法1，其中Ψ為辨識(shí)的Preisach遲滯模型。在該算法中，k時(shí)刻參考位移為fr（k），位移估計(jì)為＾f（k），控制電壓u（k＋1）使（k＋1）跟蹤 fr（k）。

壓電作動(dòng)器位移估計(jì)表達(dá)式為

式中：Ak為k時(shí)刻γij狀態(tài)集為x的估計(jì)。

算法：Preisach逆模型補(bǔ)償

式中：γ用于調(diào)節(jié)步長(zhǎng)；umax為辨識(shí)的最大電壓。

4 遲滯效應(yīng)辨識(shí)及補(bǔ)償方法實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

微納米壓電作動(dòng)平臺(tái)見圖3，采用壓電堆棧作動(dòng)器及運(yùn)動(dòng)放大結(jié)構(gòu)以獲得更大位移，用電容傳感器測(cè)量位移。壓電設(shè)備安裝于氣浮平臺(tái)，以減少環(huán)境振動(dòng)、噪聲影響。

圖3 微納米壓電平臺(tái)Fig.3 Micro／nano piezoelectric stage

4.1 遲滯效應(yīng)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

在0～60 V電壓區(qū)間用低頻輸入信號(hào)對(duì)遲滯非線性進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。所用變幅值諧波輸入信號(hào)見圖4。由圖4看出，電壓信號(hào)頻率為π／3 rad／s時(shí)，其幅值由1 V遞增到60 V。

在變幅值諧波輸入電壓激勵(lì)下壓電位移輸出見圖5。由圖5看出，位移發(fā)生漂移，“”點(diǎn)對(duì)應(yīng)0 V電壓，據(jù)Preisach模型擦除特性，輸入電壓回零時(shí)對(duì)應(yīng)的位移應(yīng)亦為零，仍發(fā)生的位移應(yīng)作為漂移處理。

圖4 變幅值輸入諧波信號(hào)Fig.4 Input signals with variant amplitudes

圖5 壓電平臺(tái)位移輸出信號(hào)Fig.5 Displacement output of piezoelectric stage

圖6 曲線擬合法抑制漂移結(jié)果Fig.6 Drift suppression result using curve fitting

本文用多項(xiàng)式擬合法對(duì)特殊點(diǎn)擬合，給出曲線方程，再對(duì)其它點(diǎn)插值求解漂移值。擬合曲線表達(dá)式為

式中：fdrift為位移漂移量；t為時(shí)間。

據(jù)擬合曲線方程fdrift補(bǔ)償位移漂移量，補(bǔ)償結(jié)果見圖6，補(bǔ)償誤差均方根為0.012μm。位移漂移補(bǔ)償后的遲滯環(huán)（回路）見圖7。由圖7看出，曲線擬合遲滯環(huán)漂移已有效減小。

對(duì)補(bǔ)償漂移后的遲滯環(huán)進(jìn)行采樣，設(shè)單元格（i，j）內(nèi)點(diǎn)的γij一致，本文中單元格被激活時(shí)γij＝1，否則取0；且設(shè)離散化水平n＝60，對(duì)矩陣ATA進(jìn)行奇異值分解，矩陣滿秩，但條件數(shù) k（ATA）＝3.32×1021，矩陣非良定，對(duì)小于最大奇異值0.000 01倍的奇異值進(jìn)行截?cái)?，由式?）所得μ的辨識(shí)結(jié)果見圖8。由圖8看出，密度函數(shù)μ均大于零。

圖7 遲滯回路Fig.7 Hysteretic loops

圖8 密度函數(shù)μ辨識(shí)結(jié)果Fig.8 Identified result of density functionμ

圖9 模型逆補(bǔ)償誤差Fig.9 Error with model inversion compensation

圖10 逆補(bǔ)償前后遲滯回路Fig.10 Hysteretic loop with and without compensation

4.2 逆模型遲滯補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

本文采用逆模型遲滯補(bǔ)償驗(yàn)證參數(shù)辨識(shí)的正確性，主要為因逆模型補(bǔ)償對(duì)建模誤差敏感；而逆模型前饋補(bǔ)償也可在不用測(cè)量信號(hào)基礎(chǔ)上補(bǔ)償遲滯非線性，故應(yīng)用前景較好。

據(jù)以上辨識(shí)結(jié)果，采用逆模型補(bǔ)償算法，由于密度函數(shù)μ總大于零，故其逆函數(shù)總存在。式（13）中γ取0.04，umax＝60，用逆補(bǔ)償后參考跟蹤誤差見圖9。由圖9看出，不用逆模型補(bǔ)償時(shí)跟蹤誤差均方根為0.678 μm，而用逆模型補(bǔ)償后誤差均方根為0.071μm，減小89.5%。

參考信號(hào)與輸出位移間遲滯回路見圖10。由圖10看出，逆模型補(bǔ)償能有效減小遲滯效應(yīng)及跟蹤誤差，表明Preisach建模及辨識(shí)的準(zhǔn)確性。

5 結(jié) 論

（1）本文通過研究Preisach遲滯非線性辨識(shí)及補(bǔ)償方法，構(gòu)造變幅值諧波輸入信號(hào)以滿足持續(xù)激勵(lì)條件；

（2）通過奇異值分解、截?cái)嘈∑娈愔担镁仃噦文娅@得辨識(shí)的最小二乘解；

（3）用逆模型補(bǔ)償不僅能驗(yàn)證參數(shù)辨識(shí)結(jié)果亦可補(bǔ)償遲滯非線性，并通過壓電平臺(tái)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文方法的正確性。

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