陳小安，張 朋，合 燁，劉俊峰

（重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044）

高速電主軸為集原動(dòng)機(jī)－傳動(dòng)裝置－執(zhí)行機(jī)構(gòu)－控制系統(tǒng)于一身、實(shí)現(xiàn)“近零傳動(dòng)”的機(jī)電耦合系統(tǒng)，已成為高端數(shù)控機(jī)床的核心功能部件［1－2］。高速電主軸可靠的動(dòng)力學(xué)行為是保證高品質(zhì)加工的重要因素。Wang等［3－4］以軸承靜力學(xué)模型為基礎(chǔ)分析高速電主軸徑向振動(dòng)固有特性，研究高轉(zhuǎn)速對(duì)轉(zhuǎn)子一階徑向振動(dòng)固有頻率影響。Jorgensen等［5－6］據(jù)影響系數(shù)法建立電主軸轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，討論不同工況下轉(zhuǎn)子徑向振動(dòng)響應(yīng)。Li等［7－8］建立熱 －機(jī)耦合電主軸動(dòng)力學(xué)模型，分析機(jī)－電－熱耦合作用下轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)特性。Jiang等［9］建立轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，探討轉(zhuǎn)子幾何因素對(duì)徑向振動(dòng)特性影響。

雖對(duì)高速電主軸動(dòng)力學(xué)行為討論已較深入，但大多研究轉(zhuǎn)子徑向振動(dòng)，忽略軸向振動(dòng)。加工制造過(guò)程中尤其精密、超精密加工，電主軸用于立式加工場(chǎng)合增多，對(duì)轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)特性要求更高，見圖1。

本文針對(duì)高速電主軸轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)問(wèn)題，在考慮熱態(tài)特性及電磁作用基礎(chǔ)上，用有限元法建立軸承－轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型；據(jù)動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有模態(tài)，發(fā)現(xiàn)一階固有振型為轉(zhuǎn)子軸向剛體振動(dòng)，其固有頻率遠(yuǎn)低于一階徑向振動(dòng)，固有頻率計(jì)算結(jié)果較實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差??；據(jù)線性二次型最優(yōu)控制理論建立閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型表明，閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)軸向振動(dòng)抑制效果顯著。

圖1 高速電主軸軸向加工Fig.1 Axial machining of highspeed motorized spindles

1 動(dòng)力學(xué)模型

高速電主軸動(dòng)力學(xué)行為受軸承動(dòng)態(tài)支承、熱態(tài)、電機(jī)電磁及轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)等特性聯(lián)合作用影響［7－8］。

1.1 軸承模型

高速運(yùn)行的角接觸球軸承在軸向載荷Fa、徑向載荷Fr及彎矩載荷M的聯(lián)合作用下，內(nèi)外圈會(huì)發(fā)生相對(duì)軸向位移δa、徑向位移δr及角位移θ，計(jì)入內(nèi)外圈熱膨脹位移εit，εet，得角接觸球軸承內(nèi)部幾何約束關(guān)系見圖2。圖中，E，E’，m，m’分別為軸承運(yùn)行前后鋼球球心及內(nèi)溝曲率中心；n為外溝曲率中心；任意鋼球位置Ψj處內(nèi)溝曲率中心坐標(biāo)為 Axj，Azj；Vxj，Vzj為鋼球球心位置參數(shù)；α為原始接觸角；αij，αej分別為軸承運(yùn)行時(shí)內(nèi)外接觸角。

圖2 軸承內(nèi)部幾何關(guān)系Fig.2 Geometrical relationship inside the bearing

據(jù)套圈控制理論及赫茲接觸理論［3］，聯(lián)立鋼球平衡方程與內(nèi)圈平衡方程可得軸承擬靜力平衡方程［10］為

式中：Fb為內(nèi)圈載荷向量；Kb為動(dòng)態(tài)支承剛度矩陣，包括軸向、徑向及角剛度陣；δb為軸承內(nèi)圈位移向量。

1.2 轉(zhuǎn)子－軸承動(dòng)力學(xué)模型

應(yīng)用 Timoshenko梁理論［11］，考慮轉(zhuǎn)子軸向、徑向及角擺動(dòng)振動(dòng)，且耦合入軸承動(dòng)態(tài)支承剛度，以離心力、電磁不平衡拉力［12－13］為外載荷的高速電主軸轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程為

式中：Ms，Cs，Ks分別為轉(zhuǎn)子質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；X為節(jié)點(diǎn)位移向量；FC，F(xiàn)M分別為離心力載荷向量及電磁不平衡拉力載荷向量。

2 計(jì)算、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文以2GDZ15型高速電主軸為分析對(duì)象，對(duì)軸承動(dòng)態(tài)支撐剛度、轉(zhuǎn)子固有模態(tài)及響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算及實(shí)驗(yàn)研究。

2.1 軸承動(dòng)態(tài)支承剛度

2GDZ15型高速電主軸前后軸承型號(hào)為B7011CD／P4A及B7009CD／P4A，定位預(yù)緊。其軸向、徑向及角剛度見圖3。由圖3看出，轉(zhuǎn)速升高，鋼球離心力增大，與外圈接觸力增大，接觸剛度增大，軸承軸向剛度、徑向剛度及角剛度均隨轉(zhuǎn)速升高而增大。

圖3 軸承剛度Fig.3 Bearings stiffness

2.2 轉(zhuǎn)子有限元模型

2GDZ15型高速電主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型見圖4。簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)子的細(xì)小結(jié)構(gòu)，將其劃分為16個(gè)單元，17個(gè)節(jié)點(diǎn)；軸上附加轉(zhuǎn)動(dòng)零件等效簡(jiǎn)化成套環(huán)；軸承支撐位于三角形處。

圖4 轉(zhuǎn)子有限元模型Fig.4 The finite element model of the rotor

2.3 轉(zhuǎn)子模態(tài)計(jì)算結(jié)果及分析

用子空間迭代法［3］求解有限元模型動(dòng)力學(xué)方程，獲得一階軸向、徑向振型見圖5、圖6。由兩圖看出，轉(zhuǎn)子一階軸向振型為剛體振動(dòng)；一階徑向振型為中部振動(dòng)，最大振動(dòng)幅值出現(xiàn)在尾端。

求解四種轉(zhuǎn)速下有限元模型，其軸向、徑向一階固有頻率計(jì)算結(jié)果見表1。由表1看出，高速電主軸軸向振動(dòng)一階固有頻率低于徑向振動(dòng)；隨轉(zhuǎn)速升高，軸向、徑向振動(dòng)一階固有頻率增大，此因軸承軸向、徑向剛度隨轉(zhuǎn)速升高而增大。

圖5 轉(zhuǎn)子一階軸向振型Fig.5 The first axial vibration mode of rotor

圖6 轉(zhuǎn)子一階徑向振型Fig.6 The first radial vibration mode of rotor

表1 轉(zhuǎn)子一階固有頻率Tab.1 The first normal frequencies of the rotor

2.4 轉(zhuǎn)子振動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)裝置由2ZDG15型高速電主軸、WD501型電渦流式位移傳感器及前置器、B＆K2692－014電荷放大器、SC305－UTP型數(shù)據(jù)采集分析儀及信號(hào)處理分析軟件組成。電主軸運(yùn)行穩(wěn)定后用電渦流位移傳感器測(cè)量電主軸轉(zhuǎn)子前端軸向、徑向振動(dòng)位移，流程見圖7。

圖7 振動(dòng)測(cè)試分析流程圖Fig.7 The flow chart of vibration testing and analysis

四種轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)位移信號(hào)頻譜見圖8。由圖8看出，一階固有頻率處均出現(xiàn)振動(dòng)峰值，轉(zhuǎn)速升高振幅有所增加，與計(jì)算結(jié)果相符；一、二倍轉(zhuǎn)頻處出現(xiàn)較小振動(dòng)峰值，其原因?yàn)殡x心力載荷及電磁不平衡拉力載荷頻率分別為一、二倍轉(zhuǎn)頻［12－13］，轉(zhuǎn)子運(yùn)行時(shí)軸心線與定子軸心線擺動(dòng)偏移造成兩種載荷在轉(zhuǎn)子軸向產(chǎn)生微小分量，而對(duì)軸向振動(dòng)影響作用不大。

圖8 軸向振動(dòng)信號(hào)頻譜圖Fig.8 The spectrum curve of axial vibration signal

四種轉(zhuǎn)速下，轉(zhuǎn)子徑向振動(dòng)固有頻率分別為1 617 Hz、1 620 Hz、1 625 Hz、1 633 Hz，隨轉(zhuǎn)速升高態(tài)勢(shì)與軸承徑向剛度隨轉(zhuǎn)速升高相同，不再贅述。

表2 轉(zhuǎn)子一階固有頻率誤差Tab.2 The errors of the first normal frequencies of rotor

一階固有頻率計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差見表2。

3 軸向振動(dòng)主動(dòng)抑制分析

3.1 理論分析

高速電主軸軸向振動(dòng)會(huì)對(duì)立式加工件品質(zhì)產(chǎn)生不利影響，需對(duì)轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)抑制。其閉環(huán)系統(tǒng)見圖9。用位移傳感器測(cè)量轉(zhuǎn)子軸向振動(dòng)位移、速度（位移信號(hào)一階微分）作為反饋信號(hào)；用DSP技術(shù)設(shè)計(jì)控制器（主要設(shè)計(jì)反饋增益矩陣G），完成預(yù)定控制目標(biāo)；由于電磁非接觸加載裝置響應(yīng)頻率高，加載載荷可控，操作方便，故可通過(guò)設(shè)計(jì)電磁非接觸加載裝置對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行軸向加載，形成閉環(huán)控制系統(tǒng)，完成高速電主軸軸向振動(dòng)主動(dòng)抑制。

圖9 軸向振動(dòng)主動(dòng)抑制系統(tǒng)Fig.9 The active inhibition system for axial vibration

由于只進(jìn)行轉(zhuǎn)子軸向剛體振動(dòng)的主動(dòng)抑制，故有限元?jiǎng)恿W(xué)方程只保留軸向振動(dòng)自由度，其矩陣或向量均加下標(biāo)a表示；理論上離心力及電磁不平衡拉力只存在于徑向，方程中不含此項(xiàng)，只有軸向外載荷F及控制力Fa。閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元?jiǎng)恿W(xué)方程為

取歸一化振型向量，將動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)換到模態(tài)坐標(biāo)q下，即

式中：ζ為軸向振動(dòng)阻尼比；ω為軸向固有角頻率。

模態(tài)坐標(biāo)下轉(zhuǎn)子軸向剛體動(dòng)力學(xué)方程為

系統(tǒng)狀態(tài)方程形式為

系統(tǒng)輸出方程為

用線性二次型最優(yōu)控制理論［14］，其性能泛函為

式中：CD為反饋?zhàn)枘?；KD為反饋剛度。代入物理坐標(biāo)下動(dòng)力學(xué)方程得

很明顯，閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸向阻尼、剛度大于開環(huán)系統(tǒng)。固有頻率升高，振動(dòng)阻尼增大，有外界擾動(dòng)時(shí)其軸向振幅會(huì)迅速衰減。

3.2 實(shí)例計(jì)算

無(wú)軸向載荷2GDZ15型高速電主軸運(yùn)行于12 000 r／min時(shí)開、閉環(huán)系統(tǒng)在單位脈沖力作用下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)見圖10。由圖10看出，閉環(huán)系統(tǒng)軸向振幅迅速衰減，已發(fā)揮主動(dòng)抑制作用。增益矩陣第一元素對(duì)應(yīng)反饋?zhàn)枘嶂?，隨其增大軸向振動(dòng)響應(yīng)衰減速度增快；增益矩陣第二元素對(duì)應(yīng)反饋剛度值，其較開環(huán)系統(tǒng)剛度值小，故隨其增大軸向振動(dòng)頻率變化不大。

軸向載荷F＝25sin（1 000 t）N作用下2GDZ15型高速電主軸運(yùn)行于12000 r／min時(shí)開、閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)見圖11。由圖11看出，閉環(huán)系統(tǒng)軸向振動(dòng)瞬態(tài)幅值迅速衰減，此為反饋?zhàn)枘嶙饔?。隨反饋?zhàn)枘嵩黾铀矐B(tài)幅值衰減速度增快；穩(wěn)態(tài)幅值減小為因反饋剛度增大，與開環(huán)系統(tǒng)軸向振幅相比，閉環(huán)系統(tǒng)抑制效率分別為9.56%、21.84%、31.06%。

圖10 單位脈沖力作用下軸向振動(dòng)幅值響應(yīng)Fig.10 The axial vibration displacement response caused by unitpulse force

4 結(jié) 論

（1）用于立式加工的高速電主軸其軸向振動(dòng)大小對(duì)加工質(zhì)量影響較大，對(duì)高速電主軸進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)不能限于徑向振動(dòng)，亦需考慮軸向振動(dòng)。

（2）經(jīng)理論、實(shí)驗(yàn)研究，高速電主軸軸向振動(dòng)一階固有頻率為剛體振動(dòng)遠(yuǎn)低于一階徑向振動(dòng)，更易產(chǎn)生共振，且離心力及電磁不平衡拉力對(duì)其均有影響，故高品質(zhì)電主軸制造須進(jìn)行嚴(yán)格的動(dòng)平衡，或設(shè)計(jì)在線動(dòng)平衡調(diào)節(jié)裝置［15］，以保證電主軸轉(zhuǎn)子振幅值在允許范圍內(nèi)。

圖11 連續(xù)載荷作用下軸向振動(dòng)幅值響應(yīng)Fig.11 The axial vibration displacement response caused by continuous load

（3）因軸承剛度在熱誘導(dǎo)力影響下預(yù)緊狀態(tài)產(chǎn)生較大變化，其動(dòng)態(tài)支撐剛度亦隨之變化，故高速電主軸一階軸向、徑向振動(dòng)固有頻率隨轉(zhuǎn)速升高均有升高趨勢(shì)。

（4）本文通過(guò)對(duì)高速電主軸軸向振動(dòng)的主動(dòng)抑制理論研究及實(shí)例計(jì)算表明，閉環(huán)系統(tǒng)受外界突發(fā)干擾時(shí)軸向振幅值迅速衰減，在連續(xù)載荷作用下其穩(wěn)態(tài)振幅值有明顯抑制作用?？蔀楦咂焚|(zhì)電主軸設(shè)計(jì)開發(fā)提供理論支撐。

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