夏 晶 ，郭 爽

(大慶師范學(xué)院)

0 引言

1977年，F(xiàn)reedman和 Waltman在文獻(xiàn)［1］中提出了一類三維捕食-食餌模型:

這里x(t)，y(t)和z(t)分別表示t時刻食餌，捕食者和頂層捕食者的數(shù)量;g(x)是食餌的內(nèi)部增長函數(shù);p(x)和q(x)分別是捕食者和頂層捕食者的功能反應(yīng)增長函數(shù);h，s＞0分別是捕食者和頂層捕食者的死亡率;e，m＞0分別是食餌和捕食者的轉(zhuǎn)換率.許多作者對該模型進(jìn)行了研究，具體參見文獻(xiàn)［2-7］.該文主要針對頂層捕食者方程中含有時滯項的情形進(jìn)行分析，對該模型能否發(fā)生Hopf-Fold分支現(xiàn)象進(jìn)行討論.

1 Hopf-Fold分支

該文研究的模型如下:

對方程(2)進(jìn)行非量綱化處理，得到:

其中x0(θ)=φ1(θ)≥0，y0(θ)=φ2(θ)≥0，z0(θ)=φ3(θ)≥ 0，θ∈ ［-τ，0］，x(0)＞0，y(0)＞0，z(0)＞0，‖φ‖ =max{|φ(θ)|:θ∈［τ，0］}，φ(θ)=(φ1，φ2，φ3)∈C(［-1，0］，R3)及這里a，k，c，m，d，f，r，s，e都是正參數(shù).假設(shè)方程(3)的正平衡點存在，并記為E*(x*，y*，z*)，其中

在E*處考慮相應(yīng)的線性化系統(tǒng)，特征值λ滿足如下的特征方程:

其中:a2=-m11-m22，a1=m11m22-m12m21，b1=m23m32andb0=m11m23n32.以及

當(dāng)m11=0時，有b0=0，易知λ=0是方程(4)的一個零根，同時:

這就意味著當(dāng)a1+b1＜0時，λ=0是方程(4)的一個單零特征根.

接下來把λ=iω代入到方程(4)中，分離實虛部得:

將其化簡得:

令ω2=l及h(l)=l2+(a22-2a1)l+(a21-b21)，所以方程(4)就至少有一個正根ω0，同時由(5)式有:

記

所以(±iω0，τ0)是方程(4)的解.

記λ(τ)=α(τ)+iω(τ)是方程(4)滿足α(τ0)=0，ω(τ0)=ω0的根，定義，于是當(dāng)p=p*，τ=τ0時，有下述定理成立:

定理:若a1+b1＜0，當(dāng)p=p*，τ=τ0，時，方程(4)的特征根除了λ=0和λ=±iω0外，其余特征根都具有負(fù)實部.

證明 根據(jù)前面的分析，當(dāng)p=p*，τ=τ0時，方程(4)有一個單零特征根和一對純虛根.假設(shè)方程(4)還具有正實部的特征根，并記為λ=α0+iβ0，那么λ=α(τ)+iβ(τ)就是方程(4)在p=p*和τ=τ0時滿足α(τ0)=α0＞0和β(τ0)=β0的根.于是存在一個正數(shù)0＜ζ＜τ0，使得當(dāng)τ∈(τ0-ζ，τ0)時，有α(τ)＞0 成立.

當(dāng)τ=0時，D(λ，0)=λ3+a2λ2+(a1+b1)λ=0有一個單零特征根和一對純虛根.進(jìn)一步:

矛盾.證畢.

2 數(shù)值模擬

選擇以下參數(shù)值進(jìn)行數(shù)值模擬:a=0.312，b=0.171，c=0.360，r=0.312，s=0.123，d=0.396，l=0.571，通過簡單的計算，有p*=1.247，τ0=2.186，以(p*，τ0)為分支點，選取三組不同的參數(shù)值(p，τ)=(0.467，1.4767)，(2.165，3.178)及 (3.997，10.608)，對應(yīng)著不同的波動曲線如圖1—圖3所示.

圖1 當(dāng)p=0.467，τ =1.4767時，平衡點E*(x*，y*，z*)的波動圖

圖2 當(dāng)p=2.165，τ =3.178時，平衡點E*(x*，y*，z*)的附近的周期波動圖

圖3 當(dāng)p=3.997，τ=10.608時，平衡點附近的爆發(fā)行為

當(dāng)零和一對純虛根都是這個時滯系統(tǒng)的特征值時會發(fā)生Hopf-Fold分支現(xiàn)象.因此，把(p*，τ0)作為分支點，模型(3)的平衡點E*(x*，y*，z*)就會經(jīng)歷Hopf-Fold分支，隨著參數(shù)的變化，就會出現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象如周期行為、擬周期行為或爆發(fā)行為等.

［1］ Freedman H I，Waltman P.Mathematical analysis of some three-species food-chain models［J］.Mathematical Biosciences，1977，3(33):257-276.

［2］ Ginoux J M，Rossetto B，Jamet J L.Chaos in a three-dimensional Volterra-Gause model of predator-prey type.2005，5(15):1689-1708.

［3］ Hastings A，Powell T.Ecology.Chaos in three-species food chain ［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1991，3(72):896-903.

［4］ 郭爽，劉洋，沙元霞，于鍵.Cause型捕食模型的穩(wěn)定性與分支分析［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2012，5(50):940-944.

［5］ FariaT，MagalhvesLT.Restrictionson the Possible Flows of Scalar Retarded Functional Differential Equations in Neighborhoods of Singularities［J］.Journal Dynamics and Differential Equations，1996，8(1):35-70.

［6］ 劉振杰，徐亞蘭，鈕佩琨.一類具有稀疏效應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的周期解［J］.哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2006，6(22):4-6.

［7］ 歐伯群，秦發(fā)金.基于比率的離散型Leslie系統(tǒng)正周期解的存在性［J］.哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2006，6(22):7-10.