崔文賓， 陳麗秋

（中國(guó)第一汽車股份有限公司技術(shù)中心，長(zhǎng)春 130011）

基于Matlab的鋼板彈簧式后懸架骨架模型的建立及應(yīng)用

崔文賓， 陳麗秋

（中國(guó)第一汽車股份有限公司技術(shù)中心，長(zhǎng)春 130011）

對(duì)鋼板彈簧式后懸架的運(yùn)動(dòng)原理進(jìn)行了研究，應(yīng)用向量的方法建立了鋼板彈簧的數(shù)學(xué)分析模型。并且應(yīng)用Matlab數(shù)學(xué)計(jì)算軟件編寫(xiě)了通用的計(jì)算程序，方便地求解出板簧上各個(gè)硬點(diǎn)的坐標(biāo)，從而進(jìn)行了傳動(dòng)軸長(zhǎng)度和角度的校核計(jì)算。經(jīng)過(guò)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，其計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)的傳動(dòng)軸跳動(dòng)圖的結(jié)果完全一致，證明了該分析模型正確、可靠。

鋼板彈簧；傳動(dòng)軸校核；矢量分析模型

0 引言

由于鋼板彈簧式懸架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，制造容易，維修方便且縱置鋼板彈簧可以兼作導(dǎo)向裝置，廣泛應(yīng)用于微型車和輕型車的后懸架系統(tǒng)中。在路面激勵(lì)和懸架系統(tǒng)的共同作用下，鋼板彈簧的前、后卷耳中心距和弧高在不斷地變化，引起包括車輪與車身之間的間隙、傳動(dòng)軸的長(zhǎng)度和輸出角在內(nèi)的多個(gè)參數(shù)也隨之變化。因此在整車總布置階段建立鋼板彈簧的運(yùn)動(dòng)模型，繪制出板簧中心運(yùn)動(dòng)軌跡、輪心運(yùn)動(dòng)軌跡以及傳動(dòng)軸后萬(wàn)向節(jié)十字軸中心點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡顯得十分重要。利用傳統(tǒng)的板簧弧高變化圖可以作出在不同工況下的上述各條軌跡線，也可以校核傳動(dòng)軸的長(zhǎng)度、角度以及減震器的極限長(zhǎng)度等。但其制作過(guò)程往往非常復(fù)雜，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，且可移植性不強(qiáng)。目前，它仍然是校核傳動(dòng)軸長(zhǎng)度、角度以及減震器極限長(zhǎng)度等參數(shù)的重要手段。

本文利用向量和數(shù)值分析相結(jié)合的方法，建立了鋼板彈簧式后懸架的數(shù)學(xué)模型，并借助Matlab軟件編寫(xiě)了鋼板彈簧式后懸架的通用計(jì)算程序，方便地繪制出來(lái)傳動(dòng)軸長(zhǎng)度、輸出角度隨后橋跳動(dòng)的曲線。同時(shí)只需改變輸入?yún)?shù)值，即可方便地繪制出輪心運(yùn)動(dòng)軌跡、板簧中心運(yùn)動(dòng)軌跡、減震器下固定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡等，可移植性非常強(qiáng)。經(jīng)過(guò)與幾何法求得的結(jié)果相比較，發(fā)現(xiàn)二者結(jié)果完全一致。下文著重介紹了該模型應(yīng)用于傳動(dòng)軸長(zhǎng)度和輸出角度的校核方法。目前，此方法以實(shí)際應(yīng)用到整車總布置設(shè)計(jì)中，大大提高了工作效率。

1 數(shù)學(xué)分析模型的建立

圖1為鋼板彈簧式后懸架帶傳動(dòng)軸總成的骨架模型示意圖。圖中，點(diǎn)A是板簧主片的前卷耳中心，點(diǎn)B是板簧主片的后吊耳中心，點(diǎn)A和點(diǎn)B均為總布置輸入硬點(diǎn)；點(diǎn)C是前、后卷耳中心連線的中點(diǎn)；點(diǎn)D是板簧主片中心點(diǎn)；點(diǎn)K是板簧夾緊段（平直段）后點(diǎn)；G點(diǎn)為傳動(dòng)軸后萬(wàn)向節(jié)十字軸中心點(diǎn)；H點(diǎn)為傳動(dòng)軸前萬(wàn)向節(jié)十字軸中心點(diǎn)；直線GI為驅(qū)動(dòng)橋輸入軸軸線。

為了分析車輪跳動(dòng)時(shí)對(duì)傳動(dòng)軸長(zhǎng)度和角度的影響規(guī)律，建立了以下坐標(biāo)系：該坐標(biāo)系以整車坐標(biāo)原點(diǎn)為原點(diǎn)，規(guī)定向車輛正后方為X軸，垂直X軸向上為Y軸。這樣，只要將整車總布置硬點(diǎn)輸入即可，省去了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的步驟。

圖1 鋼板彈簧式后懸架分析模型

圖1為某車型處于空載狀態(tài)時(shí)后懸架及傳動(dòng)軸的狀態(tài)。根據(jù)分析可知當(dāng)懸架發(fā)生變形時(shí)，板簧弧高相應(yīng)發(fā)生變化。在分析過(guò)程中，假設(shè)驅(qū)動(dòng)橋和鋼板彈簧通過(guò)U型螺栓剛性地連接為一體，不存在變形和間隙。在實(shí)際裝車時(shí)，鋼板彈簧通過(guò)U形螺栓夾緊在車橋上，彈簧的上或下表面與支架貼合，因此可以假設(shè)夾緊段為平直段，如圖2所示。此時(shí)U形螺栓在夾緊狀態(tài)下板簧前、后卷耳中心距、主片作用長(zhǎng)度、卷耳半徑及弧高存在如下幾何關(guān)系：

式中：S為U形螺栓夾緊距，板簧兩卷耳中心距，mm；L為板簧主片作用長(zhǎng)度，mm；Sj為U形螺栓夾緊距，mm；f為板簧弧高（含卷耳半徑），mm；r為卷耳半徑，mm。

圖2 U型螺栓夾緊時(shí)板簧參數(shù)

2 空載位置時(shí)模型中各點(diǎn)的求解

如圖1所示，點(diǎn)E0是板簧后卷耳中心點(diǎn)，其到點(diǎn)B的距離保持恒定，即點(diǎn)E0到前卷耳中心距離為卷耳中心距S0，即；由以上條件得到方程：

式中，l1為吊耳長(zhǎng)度,mm。

2.2 求點(diǎn)

點(diǎn)C0為板簧前、后卷耳中心連線的中點(diǎn)，由圖1中的幾何關(guān)系可以得到如下方程：

2.3 求點(diǎn)

點(diǎn)D為鋼板彈簧中心點(diǎn)，是板簧最重要的硬點(diǎn)之一。在板簧變形過(guò)程中，始終滿足如下兩個(gè)關(guān)系：第一，點(diǎn)C和點(diǎn)D之間的距離即為板簧弧高，即第二，點(diǎn)C和點(diǎn)D的連線始終垂直于直線AE，即根據(jù)上述關(guān)系可以得到如下方程：

2.4 求點(diǎn)

2.5 求傳動(dòng)軸長(zhǎng)度l0

傳動(dòng)軸長(zhǎng)度即為前后兩個(gè)萬(wàn)向節(jié)十字軸中心點(diǎn)H和G之間的距離，可以得到如下方程：

3 后橋跳動(dòng)時(shí)主要參數(shù)的求解

3.1 傳動(dòng)軸長(zhǎng)度的變化量

傳動(dòng)軸長(zhǎng)度變化量即為任意時(shí)刻傳動(dòng)軸的長(zhǎng)度與空載狀態(tài)下傳動(dòng)軸長(zhǎng)度的差值，通過(guò)分析傳動(dòng)軸長(zhǎng)度的變化量，即可看出傳動(dòng)軸在后橋跳動(dòng)過(guò)程中是否滿足總布置設(shè)計(jì)要求，據(jù)上述條件，可以得到如下方程：

3.2 傳動(dòng)軸輸出角

規(guī)定傳動(dòng)軸輸出角為傳動(dòng)軸與后橋輸入軸線之間的夾角β,初始角度為β0。在后橋跳動(dòng)過(guò)程中傳動(dòng)軸的輸出角同直線DK和GH之間的夾角α同步變化，即：

3.3 求解原理

上述各個(gè)方程建立了某車型空載位置時(shí)后懸架及傳動(dòng)軸上各個(gè)硬點(diǎn)間的關(guān)系。由分析可知，在驅(qū)動(dòng)橋跳動(dòng)過(guò)程中，各個(gè)硬點(diǎn)之間的關(guān)系依然滿足上述條件。只是針對(duì)不同的板簧弧高f，對(duì)應(yīng)著不同的卷耳中心距S。因此，只要使板簧弧高f在一定的區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值，求解出上述各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值。并且將后卷耳中心點(diǎn)E、卷耳中心連線中點(diǎn)C、板簧中心D、傳動(dòng)軸后萬(wàn)向節(jié)十字軸中心G以及傳動(dòng)軸前萬(wàn)向節(jié)十字軸前中心點(diǎn)H對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值分別存在矩陣E、C、D、G和H中，就可以方便地求解出板簧中心運(yùn)動(dòng)軌跡、傳動(dòng)軸后萬(wàn)向節(jié)十字軸中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡、傳動(dòng)軸長(zhǎng)度和輸出角度的變化關(guān)系。

3.4 約束條件

在求解上述方程時(shí)，由于方程多為二次方程或超越方程。因此，求解出方程根的個(gè)數(shù)必定不唯一。找出適當(dāng)?shù)募s束條件是能夠順利解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

3.4.1 點(diǎn)E的約束條件

由幾何分析可知，即為分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為圓心、S和l1為半徑的2個(gè)圓的交點(diǎn)，如圖3所示。

E1和E2即為求解出的2個(gè)解。根據(jù)受力分析可知，后懸架在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終承受由車身傳遞的方向向下的力，因此不可能出現(xiàn)后卷耳中心為E1的情況。故約束條件可以寫(xiě)為：

3.4.2 點(diǎn)C的約束條件

分析可知點(diǎn)C位于前后卷耳中心點(diǎn)A、E的中點(diǎn)，位置唯一，故不需要約束條件即可求解。

圖3 點(diǎn)E的2個(gè)根

3.4.3 點(diǎn)G的約束條件

由幾何分析可知，點(diǎn)G為距離點(diǎn)D固定長(zhǎng)度且與直線GD與直線DK夾角余弦值的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)。如圖4所示，可以看出求解點(diǎn)G的方程必定存在4個(gè)根。取G點(diǎn)的X坐標(biāo)恒小于D點(diǎn)的X坐標(biāo)，點(diǎn)G的Y坐標(biāo)恒小于點(diǎn)D的Y坐標(biāo),即：

圖4 點(diǎn)G的4個(gè)根

4 分析模型在整車總布置中的實(shí)際應(yīng)用

4.1 輸入條件

佳寶系列某車型空載狀態(tài)下的相關(guān)參數(shù)值為：xA=3172.5 mm，yA=1084 mm，xB=4286 mm，yB=1263 mm，L=1145 mm，r=22.5 mm，Sj=86 mm，l1=70 mm，α0=160°，β0=4°?？蛰d狀態(tài)下板簧弧高f=67 mm，規(guī)定在極限位置時(shí)，后橋上跳125 mm（限位塊處于全壓縮狀態(tài)，即鐵碰鐵），下跳70 mm,因此板簧弧高的變化范圍為f?［－47,137］。假設(shè)上述過(guò)程在5 s內(nèi)完成，如圖5所示。

圖5 后橋高度變化

4.2 傳動(dòng)軸長(zhǎng)度和角度的變化

將以上參數(shù)代入應(yīng)用Matlab編寫(xiě)的通用計(jì)算程序中，并選擇f每變化1 mm，求解一次。求解傳動(dòng)軸輸出角的變化如圖6所示，傳動(dòng)軸長(zhǎng)度隨后橋跳動(dòng)高度的關(guān)系如圖7所示，傳動(dòng)軸變化量隨后橋跳動(dòng)高度變化關(guān)系如圖8所示。由圖8可知，在后橋由板簧弧高f=-47 mm變化到板簧弧f=137 mm過(guò)程中，傳動(dòng)軸長(zhǎng)度發(fā)生了變化，總變化范圍為6.5 mm，其中傳動(dòng)軸伸長(zhǎng)了2.7 mm，縮短了3.8 mm。由圖8可以看出，傳動(dòng)軸處于拉伸和壓縮的極限位置均是后橋處于回跳的過(guò)程中。傳動(dòng)軸的長(zhǎng)度變化決定著傳動(dòng)軸連接花鍵的長(zhǎng)度，此種校核在傳動(dòng)軸校核過(guò)程中必須考慮。由于總布置布置后橋時(shí)都存在著一定的后橋傾角，導(dǎo)致后橋不是對(duì)稱跳動(dòng)，傳動(dòng)軸的伸長(zhǎng)量并不等于壓縮量。在后橋跳動(dòng)幅度不大的情況下，傳動(dòng)軸花鍵的移動(dòng)長(zhǎng)度可以近似等于傳動(dòng)軸的長(zhǎng)度變化量。

4.3 分析模型與傳統(tǒng)傳動(dòng)軸跳動(dòng)圖對(duì)比

應(yīng)用傳統(tǒng)的傳動(dòng)軸跳動(dòng)圖的方法對(duì)上述車型的傳動(dòng)軸長(zhǎng)度進(jìn)行校核。并對(duì)比兩種方法得到的傳動(dòng)軸長(zhǎng)度如表1所示。

圖6 傳動(dòng)軸輸入角變化

圖7 傳動(dòng)軸長(zhǎng)度

圖8 傳動(dòng)軸長(zhǎng)度變化量

表1 傳動(dòng)軸長(zhǎng)度變化對(duì)比

經(jīng)過(guò)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)分析模型的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)的傳動(dòng)軸跳動(dòng)圖的計(jì)算結(jié)果完全一致。究其原因，是因?yàn)閿?shù)學(xué)分析模型的建立原理與傳動(dòng)的跳動(dòng)圖的原理是完全一致的。這也證明，上述建立的分析模型是正確、可靠的。

4.4 后橋上其他硬點(diǎn)軌跡的求取方法討論

在整車總布置設(shè)計(jì)過(guò)程中，往往還需要校核減震器的極限長(zhǎng)度、車輪包絡(luò)與車身的間隙以及板簧布置對(duì)軸轉(zhuǎn)向的影響等。因此，快速地繪制出減震器下固定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡、輪心運(yùn)動(dòng)軌跡和板簧中心運(yùn)動(dòng)軌跡顯得尤為重要，應(yīng)用上述分析模型同樣可以非常方便地求解出上述各條軌跡。這些點(diǎn)和傳動(dòng)軸后萬(wàn)向節(jié)十字軸中心點(diǎn)都有一個(gè)共同的特點(diǎn)：剛性地固定于后懸架上。因此，只要在上述模型中改變G點(diǎn)相對(duì)于D點(diǎn)的位置，即可方便地求解出減震器下固定點(diǎn)、輪心軌跡。

5 結(jié)論

建立了鋼板彈簧式后懸架的數(shù)學(xué)分析模型，應(yīng)用向量的方法找到了各個(gè)硬點(diǎn)之間的關(guān)系。其計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單易懂。因建立方程的原理與傳統(tǒng)幾何法的原理相同，故求解的結(jié)果與傳統(tǒng)方法完全一致。利用Matlab數(shù)學(xué)計(jì)算軟件編寫(xiě)了后懸架計(jì)算的通用計(jì)算程序，大大簡(jiǎn)化了重復(fù)性的工作內(nèi)容，使整車總布置的工作效率顯著提高。目前該模型已應(yīng)用到相應(yīng)車型的總布置設(shè)計(jì)中。

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Establishment and Application of Leaf Spring Suspension Model Based on Matlab

CUI Wenbin,CHEN Liqiu
(China FAQCorporation Limited R&DCenter,Changchun 130011,China)

This paper studies the motion of leaf spring rear suspension,and establishes the mathematical model of leaf spring by using vector method.And a general calculation program is programmed using Matlab software to calculate the coordinates of the key points on the leaf spring model easily.Thus,the length and angle of the drive shaft can be calculated.Through comparison and analysis,it is found that the calculated results are in good agreement with the results of the traditional graphic method,which proves that the model is correct and reliable.

leaf spring;drive shaft check;vector analysis model

TP 391.7

A

1002－2333（2018）01－0122－04

（編輯黃 荻）

崔文賓（1988—），男，助理工程師，從事整車總布置設(shè)計(jì)、整車性能集成研究工作。

2017-04-07