黨露, 和興鎖, 徐衛(wèi)昌

(1.西北工業(yè)大學(xué) 工程力學(xué)系, 陜西 西安 710129;2.第二炮兵工程大學(xué) 士官職業(yè)技術(shù)教育學(xué)院, 山東 青州 262500)

0 引言

隨著空間技術(shù)的不斷發(fā)展和進步,人們對各類航天器的任務(wù)需求也在不斷地提高。空間攔截與交會已成為現(xiàn)階段航天任務(wù)中不可或缺的關(guān)鍵技術(shù)之一,特別是隨著空間軍事應(yīng)用能力逐步從信息化保障向空間作戰(zhàn)的拓展,可以預(yù)見,軌道機動作戰(zhàn)無疑會成為一種新的作戰(zhàn)方式，從而影響未來戰(zhàn)爭的走向[1]。軌道攔截是軌道機動的一種。以往的研究中,軌道攔截問題多是基于沖量假設(shè)研究的,而在實際工程中,大多數(shù)軌道發(fā)動機的推力是有限的,不可能瞬間完成推進;因此沖量假設(shè)將不再滿足實際任務(wù)的需求,需要在有限推力的情況下研究軌道攔截問題。

本文在有限推力情況下,研究了攝動下的固定時間軌道攔截問題。研究中引入虛擬攔截點[2]將攝動下的軌道攔截問題轉(zhuǎn)化為二體假設(shè)下的Lambert問題進行求解,以彌補攝動項對攔截軌道的影響,達到精確攔截的目的。在求解二體Lambert問題時,使用超幾何算法對傳統(tǒng)的普適變量法進行改進,使得二體Lambert問題的求解更加高效。

1 二體Lambert問題的求解

軌道攔截示意圖如圖1所示。對于給定的二體Lambert問題,設(shè)初始時刻攔截器的位置矢量為r0,攔截結(jié)束時的位置矢量為rt,攔截時間為t,則攔截軌道是唯一確定的。二體假設(shè)下的Lambert問題,可以用不同的迭代算法求解[3-6]。傳統(tǒng)的普適變量法對初值的選取較為敏感,本文采用超幾何函數(shù)對其進行改進。改進后的方法適用于大范圍攔截(Δθ>180°)的情況,不會因為初值選取不當(dāng)而導(dǎo)致算法不收斂。

圖1 軌道攔截示意圖Fig.1 Orbital interception

引入普適變量x,則攔截軌道的半長軸可表示為:

(1)

式中,am為燃料最省攔截軌道的長半軸?？梢钥闯?當(dāng)-11時為雙曲線。定義如下參數(shù):

(2)

式中,s=2am=(r0+rt+c)/2。

對于橢圓攔截軌道,定義如下變量:

(3)

將式(2)和式(3)代入攔截時間方程可得：

(4)

式中,λ,η,z為x的已知函數(shù);F(z)為超幾何函數(shù)。

其中:

利用超幾何函數(shù)求解二體Lambert問題的具體過程為:首先給定x的猜測值,由式(4)計算出相應(yīng)的攔截時間t12。當(dāng)t12與已知的攔截時間t的差值不滿足容許誤差限的要求時,則由牛頓迭代法得到x的新猜測值,直到計算出的攔截時間差值滿足容許誤差限要求為止。將所求得的x值代入式(5),即可求得攔截所需要的速度增量和攔截軌道的軌道參數(shù)。

(5)

用牛頓迭代法對x的猜測值進行修正,為此,將式(4)記為:

(6)

則:

(7)

式中,dη/dx,dz/dx可由式(3)得到。

其中:

2 攝動下軌道攔截問題的求解

二體Lambert問題是大氣層外遠距離固定時間攔截的基礎(chǔ),其核心是通過各種迭代算法得到初始時刻變軌所需要的速度增量,而這些算法都是基于二體理論和牛頓平方反比力場假設(shè)而來。攔截器在實際飛行過程中還會受到空間各種攝動力的影響,包括J2攝動、大氣阻力攝動、太陽光壓攝動等。在這些攝動力的共同作用下,攔截器將會偏離預(yù)定的二體攔截軌道,從而導(dǎo)致攔截任務(wù)失敗。在地心慣性坐標系中,攔截器的運動方程為:

(8)

在求解攝動下的軌道攔截問題時,可以在實際攔截點附近引入一個虛擬攔截點,從而使問題簡化。下面介紹利用虛擬攔截點法求解軌道攔截問題的具體過程:

在發(fā)動機推力有限的情況下,攔截器不可能瞬時獲得所需要的攔截速度v1;因此,需要在攔截任務(wù)的每一個時刻用虛擬攔截點法實時求解軌道攔截問題,然后根據(jù)測軌裝置所測得的速度矢量,確定該時刻攔截器的速度增益vd。由速度增益制導(dǎo)方程[7]確定ac的方向使得|vd|減小。重復(fù)上述過程,直到|vd|=0時使發(fā)動機關(guān)機,此后攔截器沿著軌道運動,直到完成攔截任務(wù)。

由速度增益制導(dǎo)方程可知,有以下三種有限推力修正方案[7]:

(1)固定沿初始速度增益方向加速,進行速度修正;

(2)沿每個時刻的速度增益方向加速,進行速度修正;

(3)推力方向使速度增益加速度與速度增益方向相反,從而使速度增益迅速減小。

本文選用第二種有限推力修正方案。

3 仿真算例

考慮J2項攝動(比其他攝動項至少大兩個數(shù)量級)和大氣阻力攝動(小量,但由于損耗系統(tǒng)的能量,因此必須考慮)的影響。以低軌道衛(wèi)星對高軌道目標點攔截為例進行仿真計算。假設(shè)攔截器的初始質(zhì)量為200 kg,發(fā)動機比沖300 s,燃料的秒消耗量6 kg/s。初始時刻的軌道根數(shù)如表1所示,攔截時間為1 740 s,仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

表1 軌道根數(shù)Table 1 Orbit elements

圖2為攔截器所需速度增量的大小與攔截時間的關(guān)系曲線,可以看出所需速度增量隨著攔截時間逐漸減小,直到攔截到目標為止。圖3中，α為制導(dǎo)過程中發(fā)動機推力方向與初始推力方向之間的夾角,可以看出推力方向的變化很小,在修正過程中推力方向的改變量小于1°,因此,在某些情況下也可以假定發(fā)動機的推力方向恒定,從而達到簡化計算的目的。

圖2 攔截所需速度增量Fig.2 Increment of speed during interception

圖3 攔截過程中推力方向與初始推力方向的夾角Fig.3 Angel between thrust direction and the initial direction

表2為按照二體Lambert導(dǎo)引和虛擬攔截點法進行導(dǎo)引后所得到的最終脫靶量。其中,虛擬攔截點法采用不同迭代容許誤差限(100 m,10 m)。

表2 最終脫靶量Table 2 Final miss distance

從表2中可以看出,如果按照二體Lambert算法導(dǎo)引,最后的脫靶量為千米的量級,可見攝動因素對攔截軌道的影響非常大。因此,如果不考慮攝動因素對攔截軌道的影響,將會使攔截任務(wù)失敗。按照虛擬攔截點法進行導(dǎo)引后,脫靶量大大減少,當(dāng)給定不同的迭代容許誤差限時,虛擬攔截點法可以達到不同的攔截精度。容許誤差限選取越小,虛擬攔截點法所能達到的攔截精度就越高,只是計算所消耗的時間會越長。

4 結(jié)束語

本文研究了攝動下的固定時間軌道攔截問題,給出了一種基于虛擬攔截點的導(dǎo)引算法,該算法將實際攝動下的軌道攔截問題轉(zhuǎn)化為二體Lambert問題進行求解,從而將攝動下的攔截問題簡化。仿真結(jié)果表明,虛擬攔截點法能夠有效地彌補攝動對攔截軌道的影響,按照該方法導(dǎo)引后,最終的攔截脫靶量為米的量級,能達到較高的攔截精度。本文的方法可以為實際軌道攔截問題提供參考,具有一定的工程參考價值。

參考文獻：

[1] Tewari A.Advanced control of aircraft,spacecraft and rockets[M].Wiley,2011:297-298.

[2] 湯國建,賈沛然.運用速度增益制導(dǎo)實現(xiàn)對目標衛(wèi)星的攔截[J].國防科技大學(xué)學(xué)報,1992,14(2):72-77.

[3] Bate R R,Mueller D D,White J E.Fundamentals of astrodynamics[M].Dover:Courier Dover Publications,1971:203-236.

[4] Escobal P R.Methods of orbit determination[M].R.E.Krieger Pub.Co.,1976:130-150.

[5] 王威,郗小寧.近地航天器軌道基礎(chǔ)[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社,2003:210-235.

[6] Battin R H.An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics [M].American Institute of Aeronautics and Astronautics,1999:34-43.

[7] 任萱.人造地球衛(wèi)星軌道力學(xué)[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社,1988:204.