張四保，劉啟寬

（1.喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆 喀什 844008；2.昆明學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南 昆明 650214；3.成都信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610225）

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)N是正整數(shù)集合，設(shè)σ（n）是正整數(shù)n所有不同正約數(shù)（包括1和其自身）的和函數(shù).如果正整數(shù)n滿足σ（n）＝2n，則n被稱為完全數(shù).此時(shí)，若n是偶數(shù)，則n被稱為偶完全數(shù)；若n是奇數(shù)，則n稱為奇完全數(shù).到目前為止，只發(fā)現(xiàn)了48個(gè)偶完全數(shù)，而尚未找到奇完全數(shù)，也未能給出其存在與否的合理性證明.是否存在奇完全數(shù)是數(shù)論中一個(gè)盡人皆知的沒(méi)有解決的問(wèn)題.［1］

奇完全數(shù)存在性問(wèn)題雖尚未解決，但其有著眾多的研究熱點(diǎn)，如相異素因數(shù)個(gè)數(shù)的下界估計(jì)與素因數(shù)的大小估計(jì)，以及奇完全數(shù)的下界大小估計(jì)等.對(duì)于這些有關(guān)奇完全數(shù)的熱點(diǎn)問(wèn)題的研究情況，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［3－8］.

對(duì)于奇數(shù)而言其個(gè)位數(shù)字必是1，3，5，7，9中之一.而對(duì)于奇完全數(shù)的各個(gè)位次上數(shù)字的取值情況，以及取值條件的確定，對(duì)奇完全數(shù)存在的問(wèn)題具有一定的促進(jìn)作用.本文通過(guò)對(duì)奇完全數(shù)的Euler因子以及非Euler因子及其指數(shù)的討論，利用中國(guó)剩余定理對(duì)n的個(gè)位數(shù)字進(jìn)行探討.

為了敘述的方便，現(xiàn)對(duì)一些符號(hào)加以說(shuō)明：

（1）ordp（n）表示一個(gè)非負(fù)有理數(shù)s，使得ps整除n，而ps＋1不整除n；

（2）［x］表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)；

2 主要結(jié)論及證明

引理1 令π為給定奇完全數(shù)n的歐拉素因子，則有πordπ（n）≡π（mod 5）.

證明 如果π＝5，則證明是平凡的.現(xiàn)在令π≠5，因?yàn)閛rdp（n）是偶數(shù)，所以

由費(fèi)馬小定理及Legendre符號(hào)的定義，有

故引理2得證.

定理1 令π為給定奇完全數(shù)n的歐拉素因子，則有

［1］蓋伊R K.數(shù)論中未解決的問(wèn)題［M］.第二版.張明堯，譯.北京：科學(xué)出版社，2006：59.

［2］EULER L.Commentationes arithmeticae collectae［J］.Tractayus de Numerorum Doctrina，1849，2：515－517.

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