周慶欣，吳玉東，范紅霞，王 旭，孫李紅，王樹忠

(哈爾濱商業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院， 哈爾濱 150028)

股票市場是一個(gè)國家的晴雨表，它充分反映著一個(gè)國家的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況.股票價(jià)格的聯(lián)動(dòng)效益在世界各市場中日益表現(xiàn)出來，也反映出了市場的資本價(jià)格.股票價(jià)格隨時(shí)間的變化一直對(duì)預(yù)測(cè)者有巨大的吸引力，也是各種預(yù)測(cè)方法應(yīng)用的熱門領(lǐng)域.

Markov是享譽(yù)世界的著名數(shù)學(xué)家，在1906～1912年期間，他提出并研究了一種能用數(shù)學(xué)分析方法研究自然過程的一般圖式，后人把這種圖式以他的姓氏命名為Markov鏈.Markov鏈?zhǔn)且环N特殊的隨機(jī)過程，它具有Markov性，即未來狀態(tài)不受過去狀態(tài)影響.Markov性所表達(dá)的是在已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”是獨(dú)立的，這種性質(zhì)也稱“無后效性”[1].

加權(quán)Markov鏈在Markov鏈基礎(chǔ)上在權(quán)重方面進(jìn)行了改進(jìn).國內(nèi)各行業(yè)的科技工作者都在運(yùn)用加權(quán)馬氏鏈理論結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行預(yù)測(cè).從預(yù)測(cè)的方法上來看，有直接用加權(quán)Markov鏈轉(zhuǎn)移概率來做預(yù)測(cè)的；有結(jié)合模糊數(shù)學(xué)利用Markov鏈來預(yù)測(cè)的；有結(jié)合時(shí)間序列線性模型利用Markov鏈來預(yù)測(cè)的；還有各種利用加權(quán)Markov鏈來預(yù)測(cè)的[2-4].從預(yù)測(cè)的結(jié)果看，加權(quán)Markov鏈的實(shí)用性和準(zhǔn)確性較高，思路清晰.客觀易懂、計(jì)算簡便、準(zhǔn)確可靠值得我們進(jìn)行研究和推廣.

1 加權(quán)Markov鏈基本理論

1.1 隨機(jī)過程的“馬氏性”檢驗(yàn)

檢驗(yàn)隨機(jī)變量序列是否具有“馬氏性”，是應(yīng)用加權(quán)Markov鏈模型分析和解決實(shí)際問題的必要前提.對(duì)于離散序列的加權(quán)Markov鏈，一般用χ2統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn).具體方法如下：

1.2 加權(quán)Markov鏈進(jìn)行預(yù)測(cè)的基本步驟

股票收盤價(jià)是隨時(shí)間的變化而變化的隨機(jī)序列，所以我們可以對(duì)股票的收盤價(jià)進(jìn)行分析，并預(yù)測(cè)下一狀態(tài)股票收盤價(jià)的變化區(qū)間.現(xiàn)以股票市場股票價(jià)格變化Xn(元)為隨機(jī)序列，搜集按時(shí)間序列排序的股票收盤價(jià)構(gòu)成隨機(jī)序列Xn，根據(jù)加權(quán)馬爾可夫預(yù)測(cè)的基本思想，按如下步驟進(jìn)行[6]：

3)依據(jù)第二步的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，分別確定不同時(shí)間段的股票價(jià)格的狀態(tài)值.

4)對(duì)已知序列指標(biāo)值進(jìn)行“馬氏性”檢驗(yàn).通常χ2用統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)：當(dāng)統(tǒng)計(jì)量

服從自由度為(m-1)2的χ2分布時(shí)，該序列具有馬氏性.其中fij為從狀態(tài)i到狀態(tài)j的頻數(shù)，m為序列狀態(tài)數(shù)，pij為從狀態(tài)i到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率，pkj為j狀態(tài)的邊際概率.

5)計(jì)算序列指標(biāo)值的各階自相關(guān)系數(shù)rk以及各種步長的馬爾可夫鏈權(quán)重wk.

(1)

(2)

6)根據(jù)第三步所確定的序列狀態(tài)值，統(tǒng)計(jì)步長分別1，2，…，6的轉(zhuǎn)移概率矩陣.

8)根據(jù)不同步長將同一狀態(tài)的各預(yù)測(cè)概率加權(quán)和作為指標(biāo)值處于該狀態(tài)的預(yù)測(cè)概率，則該時(shí)刻指標(biāo)值所對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)狀態(tài)j應(yīng)滿足：pj=max{pi,i∈E}.

將同一狀態(tài)的各預(yù)測(cè)概率加權(quán)和作為指標(biāo)值處于該狀態(tài)的預(yù)測(cè)概率，即

9)對(duì)該馬爾可夫鏈其他特征進(jìn)行分析.

2 加權(quán)Markov鏈預(yù)測(cè)的實(shí)證分析

2.1 實(shí)例中的“馬氏性”檢驗(yàn)

針對(duì)中體股價(jià)為研究對(duì)象，若要使用加權(quán)Markov鏈對(duì)股票收盤價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，必須首先對(duì)其“馬氏性”進(jìn)行檢驗(yàn).現(xiàn)以中體產(chǎn)業(yè)2009年2月6日～2010年6月11日70個(gè)交易周的股價(jià)變動(dòng)情況為例，運(yùn)用加權(quán)Markov鏈模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

通過大智慧行情軟件采集到的中體產(chǎn)業(yè)在2009年2月6日～2010年6月11日的70個(gè)周的股票周收盤價(jià)，我們利用Excel軟件對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.

現(xiàn)在以樣本均方差為標(biāo)準(zhǔn)，將中體產(chǎn)業(yè)股票的收盤價(jià)的變動(dòng)分為大跌、平跌、平下、平上、上漲和大漲等6個(gè)狀態(tài)區(qū)間，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間E={1,2,3,4,5,6}.

表1 中體產(chǎn)業(yè)股票收盤價(jià)狀態(tài)劃分表

由股票收盤價(jià)劃分表及股價(jià)歷史數(shù)據(jù)可將可以得出股票六大區(qū)域劃分圖，見圖1.

圖1 中體股票收盤價(jià)依六類區(qū)間劃分圖

圖1中，橫軸代表時(shí)間，縱軸代表股價(jià)，系列i即為狀態(tài)i,i=1,2,……6.圖1更清晰的反映出了股票收盤價(jià)的劃分區(qū)域.各步長的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

(3)

由式(3)可計(jì)算得各步長的轉(zhuǎn)移概率矩陣pij(k) ，式中fij(k)表示從狀態(tài)經(jīng)過步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的頻數(shù).

為了利用加權(quán)Markov鏈對(duì)股價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，現(xiàn)對(duì)過程進(jìn)行“馬氏性”檢驗(yàn).針對(duì)2009年2月6日～2010年6月11日期間的70個(gè)周的收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得出股價(jià)各狀態(tài)間的頻數(shù)矩陣fij如下：

2.2 權(quán)重的計(jì)算

加權(quán)Markov鏈預(yù)測(cè)方法和Markov鏈預(yù)測(cè)方法的主要區(qū)別就在于初始狀態(tài)的權(quán)重.加權(quán)Markov鏈預(yù)測(cè)得初始狀態(tài)的權(quán)重不簡單的只為1或0，而是根據(jù)合理的計(jì)算公式對(duì)每一狀態(tài)進(jìn)行分析，重新計(jì)算權(quán)重.現(xiàn)在將權(quán)重的計(jì)算方法示例介紹如下[7-8].

根據(jù)前面介紹的加權(quán)馬爾可夫鏈模型在股價(jià)預(yù)測(cè)中的預(yù)測(cè)方法，由公式，計(jì)算各階自相關(guān)系數(shù)和各步長的權(quán)重，見表2.

表2 各階自相關(guān)系數(shù)和各步長的權(quán)重

表2中的各階自相關(guān)系數(shù)和各步長的權(quán)重都是式(1)、(2)計(jì)算出來的，以方便下面對(duì)價(jià)格區(qū)間的預(yù)測(cè).其中k表示自相關(guān)階數(shù)，rk表示各階自相關(guān)系數(shù)，wk表示各步長的馬爾可夫鏈的權(quán)重，從而可以為后面求取各狀態(tài)的預(yù)測(cè)概率做好準(zhǔn)備.

2.3 價(jià)格區(qū)間的預(yù)測(cè)

我們對(duì)未來股價(jià)所處的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，如果依據(jù)第66，67，68，69，70周的股票收盤價(jià)為初始狀態(tài)及其相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣對(duì)第71周股票的收盤價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，由公式

可得表3.

由表3知，max{pi,i∈E}=0.4414，此時(shí)i=3，即第71周中體產(chǎn)業(yè)股票的收盤價(jià)狀態(tài)為3(即為平下)，收盤價(jià)滿足區(qū)間8.70≤x<9.39，概率為44.14%.由歷史記錄的資料知，第71周的實(shí)際收盤價(jià)為8.70，與預(yù)測(cè)區(qū)間相符.

表3 第71周股票收盤價(jià)狀態(tài)預(yù)測(cè)表

接下來將第71周的狀態(tài)加入初始狀態(tài)，也就是以67，68，69，70，71周的狀態(tài)作為初始狀態(tài)對(duì)第72周的股票收盤價(jià)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè).利用上面的方法可以依次預(yù)測(cè)出第72，73，74，周的股票收盤價(jià)，分別為滿足8.70≤x<9.39，第75，76周的股票收盤價(jià)，分別為滿足9.39≤x<10.07.而實(shí)際收盤價(jià)分別8.9，9.20，9.38，9.43，9.63，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果相符.

3 模型的評(píng)價(jià)

另一方面，我們利用Markov鏈預(yù)測(cè)方法對(duì)未來幾周的股票收盤價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果表明，加權(quán)Markov鏈的預(yù)測(cè)結(jié)果更接近實(shí)際值，而Markov鏈預(yù)測(cè)的誤差相對(duì)較大.下面用這兩種預(yù)測(cè)方法對(duì)股票收盤價(jià)的預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行比較(股價(jià)實(shí)際值為8.70).見表4.

表4 第71周預(yù)測(cè)中兩種預(yù)測(cè)方法結(jié)果的比較

在Markov鏈進(jìn)行預(yù)測(cè)的工程中，一般假定外部經(jīng)濟(jì)條件比較穩(wěn)定，也就是所要預(yù)測(cè)的區(qū)間不會(huì)出現(xiàn)利好或者利空的消息使股票價(jià)格暴漲和暴跌.但是在實(shí)際股價(jià)市場中，這完全是可能的，所以這兩種方法較適用于短期的預(yù)測(cè)，對(duì)于中長期的預(yù)測(cè)結(jié)果不是很理想.

本文在應(yīng)用模型時(shí)只是選取了70個(gè)數(shù)據(jù)，對(duì)于更高精確度上的預(yù)測(cè)來說還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.另外，如何更好的劃分各狀態(tài)區(qū)間以提高預(yù)測(cè)精度，也值得進(jìn)一步的深入研究.

4 結(jié) 語

本文基于股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格序列的馬氏性，用加權(quán)馬爾科夫模型預(yù)測(cè)股票價(jià)格變化區(qū)間、運(yùn)行周期和期權(quán)價(jià)格的變化，為個(gè)人或集體進(jìn)行個(gè)人投資提供一定的參考價(jià)值. 由于股票和期權(quán)投資風(fēng)險(xiǎn)較大，影響投資回收期的因素也比較復(fù)雜，在積累了足夠多的股票價(jià)格、期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)后可以對(duì)股票價(jià)格、股票回收期以及期權(quán)價(jià)格的變化進(jìn)一步豐富和完善，發(fā)現(xiàn)分析結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)一致.而且資料的代表性日益增強(qiáng)，自相關(guān)系數(shù)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、權(quán)重將會(huì)發(fā)生一定的變化，而這種變化將使得預(yù)測(cè)更加完善，進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)的精度.

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