葉志勇,劉 原,趙彥勇

(重慶理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400054)

一類SIQR傳染病模型在無尺度網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為分析*

葉志勇,劉 原,趙彥勇

(重慶理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400054)

研究了無尺度網(wǎng)絡(luò)中的具有隔離項的SIQR傳染病模型，利用平均場理論對疾病的傳播進行了研究分析，經(jīng)過計算得到了疾病傳播的臨界條件R0，證明了最終疾病的消失或者爆發(fā)是由臨界值來決定的。然后，通過計算機仿真表明降低感染狀態(tài)的感染率和提高染病節(jié)點的隔離率可以有效地控制該類傳染病的傳播。

SIQR傳染病模型;傳播閾值;平衡點

1 引言

縱觀人類社會，現(xiàn)實中許多網(wǎng)絡(luò)都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[1]來描述，如：因特網(wǎng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和交通信息系統(tǒng)等。無尺度網(wǎng)絡(luò)[2]上的傳播行為：如傳染病在人群中的傳播、計算機病毒在網(wǎng)絡(luò)中的蔓延、謠言在人群中的散播等，成為當前人們研究的熱點問題。研究接觸性網(wǎng)絡(luò)對于傳染病的理解和控制有很大的作用，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點表示系統(tǒng)中的元素即個體或組織，邊表示各元素之間的相互作用或者聯(lián)系，這有效地模擬了傳染病在人類社會中的傳播機制。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中研究傳染病的傳播規(guī)律已經(jīng)成為一種新的趨勢，并且取得了一定的成果[3～5]。在無尺度網(wǎng)絡(luò)模型中，人們較多采用SIS、SIR、SEIR等模型。如文獻[6]是在SIS模型上考慮具有媒介傳播的傳染病動力學模型，定義了基本再生術(shù)，證明了無病平衡點的穩(wěn)定性。文獻[7]研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上標準SIRS模型的傳播行為。本文研究了小世界網(wǎng)絡(luò)中對傳染病采取隔離措施加以控制的SIQR模型，計算得到傳播閾值R0，證明了當R0<1時，系統(tǒng)存在唯一的無病平衡點，疾病經(jīng)過一段時間的傳播后，系統(tǒng)最終將收斂于該平衡點，疾病消失；當R0>1時，系統(tǒng)存在唯一的地方性平衡點，疾病經(jīng)過一段時間的傳播后，系統(tǒng)最終將收斂于該平衡點，即發(fā)展為地方病。本文利用Matlab軟件對其模型的傳播特性進行了模擬，結(jié)果表明降低感染狀態(tài)的感染率和提高傳染病節(jié)點的隔離率可以有效地控制該類傳染病的傳播。

2 SIQR模型的建立

2.1 無尺度網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)造算法

考慮到實際網(wǎng)絡(luò)的增長特性和優(yōu)先連接特性，無尺度網(wǎng)絡(luò)模型的算法構(gòu)造如下：

(1)增長性：從m0個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)開始，每一時間步引入一個新節(jié)點連接到原有網(wǎng)絡(luò)中已存在的m個節(jié)點上，m≤m0。

2.2 SIQR傳染病模型的建立

Figure 1 State conversion relationship of SIQR model in scale-free networks圖1 無尺度網(wǎng)絡(luò)SIQR模型中各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

其中,δ表示染病節(jié)點被隔離的概率，ε表示隔離節(jié)點被治愈的概率，γ表示染病節(jié)點被治愈的概率，a表示免疫節(jié)點喪失免疫重新進入易感狀態(tài)的概率。在該模型中，處于易感狀態(tài)的節(jié)點如果與某個處于染病狀態(tài)的節(jié)點相連時，則以kβ的概率感染成染病節(jié)點，因此在t時刻，度為k的易感節(jié)點以kβ的概率感染成染病節(jié)點。又因為此時易感節(jié)點所占的比例為Sk(t)，所以在t時刻，度為k的易感節(jié)點被感染成染病節(jié)點的比例為kβSk(t)。同時，移出的免疫節(jié)點以a的概率重新變?yōu)橐赘袪顟B(tài)的節(jié)點，由此可得，在t時刻易感節(jié)點占總節(jié)點的概率變化為-kβSk(t)+aRk(t)。同理，染病節(jié)點、隔離節(jié)點、免疫節(jié)點的概率變化分別為kβSk(t)-γIk(t)-δIk(t),δIk(t)-εQk(t),εQk(t)+γIk(t)-aRk(t)。根據(jù)平均場理論，可以得到無尺度網(wǎng)絡(luò)中SIQR模型的傳播動力學方程式：

(1)

3 SIQR模型的平衡點及其穩(wěn)定性分析

令方程組(1)的右端各式為零，可以得到：

由于Sk(t)+Ik(t)+Qk(t)+Rk(t)=1，則有：

當t趨于無窮時，求出方程組(1)的穩(wěn)態(tài)解：

(2)

顯然，β(∞)=0是方程(2)的一個平凡解，此時方程組(1)有唯一的平衡點E0=(1,0,0,0)。此時，系統(tǒng)中只存在易感人群，稱E0為無病平衡點。

假設(shè)f(β(∞))是連續(xù)可微的，容易得到f(β(∞))關(guān)于β(∞)是嚴格單調(diào)遞增的，當f′(β(∞))|β(∞)=0>1時，式(2)存在一個非平凡解且β(∞)≤1。即要滿足：

從而有：

定理1在無尺度網(wǎng)絡(luò)中，SIQR傳染病模型存在臨界閾值R0。當R0<1時，系統(tǒng)存在唯一的無病平衡點，疾病經(jīng)過一段時間的傳播后，系統(tǒng)最終將收斂于該平衡點，疾病消失。

于是可以解得：

從而可以得到：

于是點E*=(S(∞),I(∞),Q(∞),R(∞))稱為地方性平衡。

定理2SIQR傳染病模型在無尺度網(wǎng)絡(luò)中，當R0>1時，系統(tǒng)存在唯一的地方性平衡點，疾病經(jīng)過一段時間的傳播后，系統(tǒng)最終將收斂于該平衡點，疾病發(fā)展為地方病。

4 數(shù)值模擬

根據(jù)以上的討論，本節(jié)用計算機Matlab軟件進行數(shù)值模擬，研究給定的SIQR模型在無尺度網(wǎng)絡(luò)中的傳播特性。構(gòu)建一個無尺度網(wǎng)絡(luò)，取定參數(shù)N=5000，m=3，固定a=0.1,δ=0.45,ε=0.6,γ=0.55,當取β0=0.1、0.3、0.5時E的變化曲線的仿真如圖2所示；固定a=0.1,ε=0.6,γ=0.55,β0=0.5，當取δ=0.2、0.4、0.6時E的變化曲線的仿真如圖3所示。實驗中的每個數(shù)據(jù)點的值是25次網(wǎng)絡(luò)傳播結(jié)果的平均值。

Figure 2 Curves of E when β0 changes圖2 取不同β0時E的變化曲線

Figure 3 Curves of E when δ changes圖3 取不同δ時E的變化曲線

通過圖2可以看出，對于不同的β0值，對應(yīng)易感狀態(tài)節(jié)點密度S(t)的曲線不同，當β0增大時，S(t)的密度曲線偏低，這表明降低感染狀態(tài)的感染率有助于疾病的控制傳播；通過圖3可以看出，當δ增大時，S(t)的密度曲線偏高，這表明提高染病節(jié)點隔離的概率有助于疾病的控制傳播。由此可知，降低感染狀態(tài)的感染率和提高染病節(jié)點的隔離率可以有效地控制該類傳染病的傳播。另外,在生態(tài)極限下〈k2〉→∞，所以臨界閾值為0，在實驗中可以看出，無尺度網(wǎng)絡(luò)中的SIQR傳染病模型存在一個非常小的閾值，這是由于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的有限尺度造成的。

5 結(jié)束語

[1] Xia Cheng-yi，Liu Zhong-xin，Chen Zeng-qiang，et al. Transmission dynamics in complex networks[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2009,4(5):392-397.(in Chinese)

[2] Wu Yue-wen, Yan Hua-yun. Unifying model for Sierpinski networks with scale-free small-world properties[J]. Computer Engineering and Applications,2009,45(1):99-102.(in Chinese)

[3] Li Tao,Guan Zhi-hong,Wu Zheng-ping. The spread of the virus in scale-free networks and control simulation[J]. Computer Application Research,2007, 24(12):177-182.(in Chinese)

[4] Colizza V,Vespignani A. Epidemic modeling in metapopula-

tion systems with heterogeneous coupling pattern:Theory and simulations[J].Journal of Theoretical Biology,2008,251(3):450-467.

[5] Zhou Tao,Yang Rui,Ren Jie. The analysis of the behavior of having the same ability to infect virus propagation model [C]∥Proc of the Complex Network Conference,2006:1.(in Chinese)

[6] Yin Li-shou, Yan Xi-hong. Stability analysis on SIS model with infective medium in complex network[J].Journal of Changchun University, 2010,20(4)：8-10.(in Chinese)

[7] Li Guang-zheng,Shi Ding-hua. The analysis of SIRS epidemic model in the complex networks[J]. Progress in Natural Science,2006,16(4):508-512.(in Chinese)

附中文參考文獻：

[1] 夏承遺,劉忠新,陳增強,等. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動力學及其新進展[J].智能系統(tǒng)學報,2009,4(5):392-397.

[2] 吳月文，嚴華云.無尺度、小世界Sierpinski網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)一模型[J].計算機工程與應(yīng)用,2009 45(1):99-102.

[3] 李濤,關(guān)治洪,吳正平.病毒在無尺度網(wǎng)絡(luò)上的傳播及控制仿真研究[J].計算機應(yīng)用研究,2007,24(12):177-182.

[5] 周濤,楊銳,任捷，等.具有相同感染能力的病毒傳播模型行為分析[C]∥全國復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)學術(shù)會議論文集,2006:1.

[6] 尹禮壽,閆喜紅.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中具有媒介傳播SIS模型的穩(wěn)定性分析[J].長春大學學報,2010,20(4)：8-10.

[7] 李光正,史定華.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上SIRS類疾病傳播行為分析[J].自然科學進展,2006,16(4):508-512.

YEZhi-yong,born in 1966,PhD,professor,his research interests include differential equations, and dynamical systems.

劉原(1988-),女，湖南岳陽人，碩士生，研究方向為微分方程與動力系統(tǒng)。E-mail:ly3398382@126.com

LIUYuan,born in 1988,MS candidate,her research interests include differential equations, and dynamical systems.

趙彥勇(1987-),男，山東青島人，碩士生，研究方向為應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計。E-mail:zhaoyanyong1987@163.com

ZHAOYan-yong,born in 1987,MS candidate,his research interest includes applied mathematical statistics.

TheanalysisofaSIQRepidemicmodelinscale-freecomplexnetworks

YE Zhi-yong,LIU Yuan,ZHAO Yan-yong

(School of Mathematics and Statistics,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,China)

A SIQR epidemic model with quarantine in scale-free complex networks is investigated.by means of the mean-field theory,the spread of the disease is studied.ThresholdR0is obtained by calculation,and it is proved that the disappearance or eruption of the disease is determined by thresholdR0. .Computer simulation indicates that reducing infection rate and improving the isolation rate of infected nodes can effectively control the spread of infectious diseases.

SIQR model;threshold;equilibrium

1007-130X(2014)08-1524-04

2012-10-26;

：2013-04-15

重慶市教委資助項目組(KJ080622)

：劉原(ly3398382@126.com)

TP393.08

：A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.08.017

葉志勇(1966-),男，四川富順人，博士，教授，研究方向為微分方程與動力系統(tǒng)。E-mail:757511497@qq.com

通信地址：400054 重慶市重慶理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院

Address:School of Mathematics and Statistics,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,P.R.China