謝寶陵，徐國明,2

(1.陸軍軍官學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230031；2.合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009)

用于超分辨率重建的同構(gòu)過完備字典學(xué)習(xí)方法*

謝寶陵1，徐國明1,2

(1.陸軍軍官學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230031；2.合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009)

構(gòu)造合適的過完備字典是基于稀疏表示的超分辨率重建中的關(guān)鍵問題之一。在最大似然估計(jì)準(zhǔn)則下，建立基于混合高斯的同構(gòu)過完備字典學(xué)習(xí)模型。模型采用加權(quán)的l2范數(shù)來刻畫分解殘差，由分解殘差設(shè)計(jì)權(quán)值矩陣，并且將同構(gòu)的雙字典學(xué)習(xí)問題轉(zhuǎn)化為單字典的學(xué)習(xí)。采用稀疏編碼和字典更新的交替迭代策略完成目標(biāo)函數(shù)的求解，由內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行稀疏編碼，采用拉格朗日對(duì)偶法完成字典更新。最后將學(xué)習(xí)得到的字典用于超分辨率重建實(shí)驗(yàn)，并與其他方法進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該模型和算法的有效性。

超分辨率；過完備字典；混合高斯；稀疏編碼

1 引言

最近幾年，基于稀疏表示的圖像超分辨率重建引起了國內(nèi)外眾多研究者的關(guān)注。其基本思想是：需要重建的高分辨率圖像塊通過與高分辨率過完備字典的線性組合來求得，而表示系數(shù)則通過觀測(cè)圖像在低分辨率過完備字典下進(jìn)行稀疏編碼來求得。在此過程中，如何構(gòu)造合適的高/低分辨率的過完備字典，使得圖像的主要特征和結(jié)構(gòu)能夠用稀疏的非零系數(shù)來表示，這對(duì)于重建效果具有重要影響，不同的算法采用了不同的字典構(gòu)造方法。

在文獻(xiàn)[1]中，Yang J C等人用線性規(guī)劃求解低分辨率圖像塊的稀疏表示，并通過與高分辨率字典的線性組合得到高分辨率的圖像塊，其高分辨率字典是簡單地采用隨機(jī)的高分辨率樣本圖像塊組合而成，而低分辨率字典是由對(duì)應(yīng)的高分辨率樣本塊經(jīng)下采樣及加噪聲后生成的低分辨率樣本組合而成。然后在文獻(xiàn)[2]中，他們又對(duì)自己的方法進(jìn)行了改進(jìn)，采用聯(lián)合字典訓(xùn)練的方法同時(shí)訓(xùn)練出高/低分辨率字典，訓(xùn)練的樣本集通過低分辨率圖像塊的特征提取獲得。Zeyde R等人[3]在文獻(xiàn)[12]方法的基礎(chǔ)上，分別對(duì)高/低分辨率字典采用不同的方法進(jìn)行離線訓(xùn)練，低分辨率字典采用K-SVD算法[4]直接訓(xùn)練，而高分辨率字典則通過進(jìn)一步的優(yōu)化(采用共軛梯度法)求得。Pu Jian等人[5]則針對(duì)高/低分辨率圖像塊對(duì)的異構(gòu)特點(diǎn)，通過求解在稀疏表示下的同構(gòu)圖像塊對(duì)，從而利用異構(gòu)數(shù)據(jù)集構(gòu)造出同構(gòu)字典。Sun Yu-bao等人[6]針對(duì)圖像不同結(jié)構(gòu)形態(tài)，提出選取緊框架系統(tǒng)分別建立多成份子字典，分別利用Curvelet變換和Wave-Atom變換作為幾何結(jié)構(gòu)和紋理成份子字典，形成圖像的多形態(tài)稀疏表示模型，采用交替迭代收縮數(shù)值算法求解各子成份字典下的稀疏表示。而Lian Qiu-sheng等人[7]則利用圖像局部特征將圖像塊分為平滑、邊緣和不規(guī)則結(jié)構(gòu)三種類型，其中邊緣塊細(xì)分為多個(gè)方向，然后對(duì)邊緣和不規(guī)則結(jié)構(gòu)塊分別訓(xùn)練各自對(duì)應(yīng)的低分辨率和高分辨率字典，通過正交匹配追蹤算法重建。

然而，上述重建方法所采用的字典或多或少都存在不足。采用隨機(jī)字典簡單快速，對(duì)于特定目標(biāo)效果較好，顯然有失一般性；多成份子字典雖然能夠更好地保持圖像的多種結(jié)構(gòu)形態(tài)，但是缺少相應(yīng)的快速分解和重構(gòu)算法；通過學(xué)習(xí)或訓(xùn)練算法得到的字典能夠具有更稀疏的表示，并取得了較好的重建效果，但是通常采用l1范數(shù)或l2范數(shù)來刻畫分解誤差，也就是假設(shè)分解誤差符合拉普拉斯或高斯分布，而這種假設(shè)并不完全符合實(shí)際。由于采用l2范數(shù)來刻畫分解誤差進(jìn)行稀疏編碼是個(gè)帶稀疏性約束的最小二乘問題，顯然，不同的圖像塊其分解誤差是不一樣的，在這種情況下，應(yīng)該給誤差較小的圖像塊(精度較高)較大的權(quán)值，才能夠獲得更精確的稀疏分解系數(shù)，從而能夠重建出更好的效果。

受魯棒性稀疏編碼方法[8]和離線字典訓(xùn)練[3]思想啟發(fā)，本文提出同構(gòu)的高/低分辨率過完備字典學(xué)習(xí)方法。首先建立基于混合高斯稀疏編碼的同構(gòu)字典學(xué)習(xí)模型，在最大似然估計(jì)準(zhǔn)則下，假設(shè)分解誤差符合混合高斯分布，由l2范數(shù)正則化進(jìn)行約束，而稀疏性則由帶參數(shù)的l1范數(shù)正則化進(jìn)行約束。然后根據(jù)分解誤差設(shè)計(jì)權(quán)值矩陣，字典學(xué)習(xí)由稀疏編碼和字典更新兩個(gè)過程完成，采用l1正則化的最小二乘內(nèi)點(diǎn)法[9]完成稀疏編碼,而字典更新則采用拉格朗日對(duì)偶法[10]。最后，將學(xué)習(xí)得到的高/低分辨率同構(gòu)字典用于Yang J C等人[2]和Zeyde R等人[3]的超分辨率重建，并與之進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法學(xué)習(xí)的字典能夠更有效地描述圖像的結(jié)構(gòu)信息，從而重建出更好的效果，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

2 同構(gòu)字典學(xué)習(xí)模型

對(duì)于一組給定的訓(xùn)練樣本X={x1,x2,…,xn}∈Rn，字典學(xué)習(xí)的任務(wù)就是通過稀疏編碼學(xué)習(xí)出一過完備字典D∈Rn×m，其列向量記為di(i=1,2,…,m)，使訓(xùn)練樣本在D中具有稀疏表示。此優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)可以表示如下：

(1)

(2)

對(duì)于此式的求解，目前提出了大量算法[11,12]。當(dāng)同時(shí)求解D和α?xí)r，此問題是個(gè)非凸優(yōu)化問題，但是當(dāng)固定其中一個(gè)而求另一個(gè)時(shí)，就可以轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題進(jìn)行求解，故此問題通常由兩個(gè)過程完成：稀疏編碼和字典更新。在稀疏編碼階段，認(rèn)為字典已經(jīng)求得，當(dāng)完成稀疏編碼后，再由此稀疏表示系數(shù)來進(jìn)行字典更新。兩個(gè)過程交替進(jìn)行，從而完成字典的學(xué)習(xí)，同時(shí)得到稀疏表示系數(shù)矩陣。

在基于稀疏表示的超分辨率重建過程中需要兩個(gè)過完備字典：高分辨率字典Dh和低分辨率字典Dl。由觀測(cè)圖像求解在Dl下的表示系數(shù)，由此表示系數(shù)與Dh的線性組合得到高分辨率圖像，所以必須保證圖像在Dh和Dl上具有相同的表示系數(shù)，也就是Dh和Dl的學(xué)習(xí)必須是同構(gòu)的。為此，首先構(gòu)造訓(xùn)練樣本對(duì)P={Xh,Yl}，其中Xh={x1,x2,…,xn}表示高分辨率圖像樣本集，而Yl={y1,y2,…,yn}表示對(duì)應(yīng)的低分辨率圖像樣本集(或特征提取)。同構(gòu)字典學(xué)習(xí)在這兩個(gè)訓(xùn)練樣本集上進(jìn)行，以保證稀疏表示系數(shù)是相同的。由式(2)，此問題可以描述如下：

(3)

和

(4)

將式(3)和式(4)合并，從而有：

(5)

其中，N和M分別表示高分辨率和低分辨率樣本寫成列向量形式的維數(shù)，而1/N和1/M用以平衡式(3)和式(4)的代價(jià)項(xiàng)。為了利用式(2)的求解策略求解式(5),將式(5)寫成如下形式：

(6)

其中，

(7)

在文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[2]的超分辨率重建過程中，都采用了式(6)的模型來完成字典的學(xué)習(xí)，不同之處在于前者采用K-SVD算法[4]直接求解，而后者采用文獻(xiàn)[10]中的方法直接求解。

(8)

其中，W是對(duì)角的權(quán)值矩陣，對(duì)于不同的分解殘差定義不同的權(quán)值。根據(jù)式(8),則式(6)轉(zhuǎn)換為：

(9)

在文獻(xiàn)[8]中，YangM等人針對(duì)人臉識(shí)別中的魯棒性稀疏編碼問題，給出了W的定義方法：

(10)

3 交替迭代字典學(xué)習(xí)算法

對(duì)于模型(9)的雙變量優(yōu)化問題的求解，本文采用K-SVD字典學(xué)習(xí)[4]的策略，其基本思想是由訓(xùn)練樣本和初始字典開始，通過稀疏編碼和字典更新兩個(gè)過程的交替迭代完成求解。在稀疏編碼階段，固定字典Dc，求解α，即：

(11)

對(duì)于此式，由于數(shù)據(jù)規(guī)模較大，采用文獻(xiàn)[9]提出的適合求解大尺度l1正則化約束的最小二乘問題的內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解，以提高算法效率。

在字典更新階段，固定α，更新字典Dc，即：

(12)

同樣基于效率考慮，利用拉格朗日對(duì)偶法[10]進(jìn)行求解。最后，Dh和Dl由Dc拆分得到。

由于字典的訓(xùn)練是對(duì)圖像塊進(jìn)行的，所以對(duì)于訓(xùn)練所需的樣本集Xc，首先由高分辨率的樣本圖像Xh逐行取其圖像塊，而低分辨率的圖像樣本則由Xh下采樣得到。為了使稀疏編碼得到的表示系數(shù)能夠更精確地表達(dá)觀測(cè)圖像的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)下采樣得到的低分辨率圖像樣本進(jìn)行特征提取，采用文獻(xiàn)[2]中的四個(gè)1-D濾波器，如式(13)所示：

(13)

由此構(gòu)成低分辨率圖像樣本集Yl，然后由式(7)垂直串聯(lián)成Xc。對(duì)低分辨率的字典Dc的初始值可以是隨機(jī)數(shù)，也可以由訓(xùn)練樣本進(jìn)行離散余弦變換等得到。具體算法描述如下：

初始化：由訓(xùn)練樣本圖像的圖像塊根據(jù)式(7)構(gòu)成樣本集Xc，Dc由隨機(jī)值構(gòu)成，設(shè)置迭代次數(shù)T。

步驟1重復(fù)執(zhí)行；

步驟2稀疏編碼，由式(10)計(jì)算權(quán)值矩陣Wi,i；

步驟3由Wi,i及式(11)求各樣本圖像塊在字典Dc下的表示系數(shù)αi，當(dāng)求得所有樣本在當(dāng)前字典下的表示系數(shù)后，則獲得稀疏表示系數(shù)矩陣α=(α1,α2,…,αN)；

步驟4字典更新，根據(jù)式(12)完成字典Dc的更新；

步驟5T=T-1，若T≠0,轉(zhuǎn)步驟1，否則轉(zhuǎn)步驟6；

步驟6列數(shù)不變，根據(jù)下采樣倍數(shù)，將Dc拆分成兩個(gè)相同列數(shù)的字典Dh和Dl。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，將本文方法學(xué)習(xí)的字典分別用于Yang J C等人[2](以下簡稱為Yang)和Zeyde R等人[3](以下簡稱為Zeyde)的基于稀疏表示的超分辨率重建過程中，采用不同的圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行重建實(shí)驗(yàn)，并從視覺效果、峰值信噪比(PSNR)等方面進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為：MatLab 7.9.0運(yùn)行于P4 3.0 GHz，1.25 GB RAM的PC機(jī)的Windows XP SP3平臺(tái)。字典學(xué)習(xí)過程中λ=0.15，圖像塊大小為5×5，圖像塊數(shù)量為100 000個(gè)，字典大小為512，得到的3倍率高/低分辨率字典如圖1所示。原始字典大小分別為25×512和100×512，由于低分辨率樣本集進(jìn)行了四個(gè)特征提取，故字典行數(shù)是高分辨率字典的四倍，為方便顯示，處理成圖中所示形狀。以下實(shí)驗(yàn)不做說明，都是在此參數(shù)下進(jìn)行的。

Figure 1 Learned isomorphic over-complete dictionary圖1 學(xué)習(xí)得到的同構(gòu)過完備字典

4.1 與Yang 的方法進(jìn)行比較

圖2a～圖2d是部分測(cè)試圖像，其中圖2a和圖2b是標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像，圖2c是偽裝目標(biāo)的偏振圖像，圖2d是模擬坦克的紅外圖像，圖2a～圖2c的實(shí)際大小是384×384，圖2d的實(shí)際大小是480×480。圖3是對(duì)應(yīng)的三倍下采樣低分辨率圖像。重建時(shí)λ=0.2，進(jìn)行三倍超分辨率重建。為保證比較的客觀性，當(dāng)圖1的字典用于Yang的重建過程時(shí)，保持參數(shù)設(shè)置不變。

圖4是重建結(jié)果的局部圖像，從帽檐、人臉及坦克模型的輪廓可以看出，采用本文方法能夠更好地保持圖像的大尺度邊緣和輪廓結(jié)構(gòu)，其邊緣的鋸齒效應(yīng)明顯減少；通過對(duì)局部結(jié)果的觀察不難發(fā)現(xiàn)，無論是頭發(fā)、眼睛，還是坦克模型前端的設(shè)備等，其紋理等小尺度細(xì)節(jié)內(nèi)容也保持得更加完整。

Figure 2 Testing images圖2 測(cè)試圖像

Figure 3 Down-sampled images圖3 下采樣圖像

Figure 4 Comparison with Yang’s method圖4 與Yang的重建結(jié)果比較

為進(jìn)一步客觀評(píng)價(jià)本文方法的結(jié)果，對(duì)多幅圖像進(jìn)行超分辨率重建，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算其PSNR值，PSNR定義如下：

其中，yij和xij分別是大小為m×n的原始高分辨率圖像和超分辨率重建結(jié)果。表1是計(jì)算結(jié)果，表中圖像除了圖2顯示的圖像外，其余的都是標(biāo)準(zhǔn)灰度測(cè)試圖像。表2中數(shù)據(jù)表明，本文方法無論是對(duì)灰度圖像、偏振圖像，還是紅外圖像，在客觀指標(biāo)上都取得了更好的效果，表2中平均數(shù)據(jù)提高約0.7dB。

Table 1 PSNR(dB) for different methods表1 重建結(jié)果1的PSNR值 dB

4.2 與Zeyde的方法進(jìn)行比較

采用圖2的實(shí)驗(yàn)圖像將圖1的字典應(yīng)用于Zeyde的重建過程，并同樣進(jìn)行三倍超分辨率重建，實(shí)驗(yàn)中λ=0.1。圖5a～圖5d是三倍超分辨率重建結(jié)果的局部圖像，從人臉五官、臺(tái)布和桌腿邊緣、以及臺(tái)布花紋等可以看出，本文方法的重建結(jié)果無論是大尺度的邊緣和輪廓結(jié)構(gòu)還是小尺度的細(xì)節(jié)內(nèi)容同樣都保持得更加完整。

Figure 5 Comparison with Zeyde’s method圖5 與Zeyde的重建結(jié)果比較

表2是PSNR值計(jì)算結(jié)果，表中數(shù)據(jù)表明當(dāng)本文方法訓(xùn)練的字典用于Zeyde的重建過程時(shí)，在客觀指標(biāo)上同樣取得了更好的效果，表中數(shù)據(jù)平均約提高0.6 dB。

4.3 主要參數(shù)對(duì)重建結(jié)果的影響

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，對(duì)字典學(xué)習(xí)中的主要參數(shù)如字典大小、圖像樣本塊數(shù)量等進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。表3是不同字典大小的重建結(jié)果比較，實(shí)驗(yàn)圖像是lena，表中“本文方法1”指本文字典用于Yang的超分辨率重建，而“本文方法2”指本文字典用于Zeyde重建過程。可以看出，字典越大，重建效果越好，在兩種重建方法下，本文字典能夠在較小的情況下取得與Yang和Zeyde相當(dāng)?shù)闹亟ㄐЧ?。這表明本文字典對(duì)圖像更具有表現(xiàn)力，這對(duì)于提高超分辨率重建效率具有意義。另外，經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明樣本塊數(shù)量的增加對(duì)重建效果影響很小，由于樣本塊數(shù)量與樣本塊大小及重疊區(qū)域也有關(guān)系，同時(shí)樣本塊大小及重疊區(qū)域?qū)χ亟ńY(jié)構(gòu)有影響，經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，樣本塊大小在3～5、重疊區(qū)域在大于樣本大小一半以上(上取整)、樣本塊數(shù)量在50 000～1 000 000，會(huì)在字典學(xué)習(xí)效率和重建效果之間取得比較好的平衡。

Table 2 PSNR(dB) for different methods表2 重建結(jié)果2的PSNR值 dB

Table 3 PSNR(dB) for different dictionary size表3 不同字典大小重建結(jié)果的PSNR值 dB

5 結(jié)束語

針對(duì)稀疏表示下的圖像超分辨率重建的字典學(xué)習(xí)問題，本文提出基于混合高斯稀疏編碼模型的同構(gòu)的過完備字典學(xué)習(xí)方法。模型在最大似然估計(jì)準(zhǔn)則下假設(shè)分解誤差符合混合高斯分布，以使字典能夠更精確描述圖像結(jié)構(gòu)信息，根據(jù)分解誤差設(shè)計(jì)權(quán)值矩陣，使問題轉(zhuǎn)換成加權(quán)的范數(shù)逼近問題，數(shù)值求解算法則由稀疏編碼和字典更新兩個(gè)過程的交替迭代完成。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性。

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XIEBao-ling,born in 1960,professor,his research interests include software engineering, and parallel algorithm design.

徐國明(1979-),男，安徽太和人，博士生，講師，研究方向?yàn)閳D像稀疏表示和超分辨率重建。E-mail:xgm121@163.com

XUGuo-ming,born in 1979,PhD candidate,lecturer,his research interests include image sparse representation, and super-resolution reconstruction.

Anisomorphicover-completedictionarylearningmethodforsuper-resolutionreconstruction

XIE Bao-ling1,XU Guo-ming1,2

(1.Department of Basic Sciences,Army Officer Academy,PLA,Hefei 230031;2.School of Computer and Information,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China)

Constructing an appropriate over-complete dictionary is one of the key problems of super-resolution based on sparse representation. In the maximum likelihood estimation principle, an isomorphic over-complete dictionary learning model based on mixture Gaussian is proposed. Firstly, the sparse coding residual of the model is described by the weight l2-norm and the weight matrix is designed by the residual. Secondly,the isomorphic coupled dictionary learning problem is translated into the single dictionary learning problem. The dictionary is learned by the alternate and iterative strategy using sparse coding and dictionary updating. An interior-point method is used in sparse coding and Lagrange dual is used in dictionary updating. Finally, the learned dictionary is used in the super-resolution experiment,and compared with other methods.The experimental results demonstrate the effectiveness of the proposed method.

super-resolution;over-complete dictionary;mixture Gaussian;sparse coding

1007-130X(2014)08-1441-06

2012-10-31;

：2013-02-25

安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1208085QF115)

TP391.9;TN911.73

：A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.08.004

謝寶陵(1960-),男，安徽滁州人，教授，研究方向?yàn)檐浖こ毯筒⑿兴惴ㄔO(shè)計(jì)。E-mail:89662550@qq.com

通信地址：230031 安徽省合肥市蜀山區(qū)黃山路451號(hào)055信箱

Address:P.O.Box 055,451 Huangshan Rd,Shushan District,Hefei 230031,Anhui,P.R.China