一種離散直接自適應(yīng)模糊滑?？刂?/h1>

2014-09-13 13:04:28張曉宇劉彬博

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關(guān)鍵詞：滑模定理動(dòng)態(tài)

張曉宇劉彬博

(1.華北科技學(xué)院 電子信息工程學(xué)院,北京 101601； 2. 中央新影集團(tuán) CCTV證券資訊頻道,北京 100080)

模糊、自適應(yīng)等方法在連續(xù)系統(tǒng)控制問(wèn)題中已經(jīng)顯示出成功的運(yùn)用[1-25]。但目前模糊直接、間接自適應(yīng)等方法在離散系統(tǒng)中的運(yùn)用研究尚不深入，有大量待研究、發(fā)展的問(wèn)題。在離散系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)的離散化以及系統(tǒng)的理想滑動(dòng)模態(tài)根本不能到達(dá),所以準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的降階特性不再存在。這給系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析造成了困難?；？刂频姆植皆O(shè)計(jì)法雖然可以實(shí)施，但是不能保證較好的魯棒穩(wěn)定性。離散系統(tǒng)的采樣時(shí)間對(duì)于模糊邏輯系統(tǒng)的逼近能力產(chǎn)生很大影響，對(duì)于自適應(yīng)機(jī)構(gòu)的自適應(yīng)能力、速度也同樣產(chǎn)生較大影響。因而離散系統(tǒng)中模糊自適應(yīng)方法在滑模控制中的應(yīng)用對(duì)于消除滑?？刂频亩墩褡饔幂^之連續(xù)系統(tǒng)大大減弱。

本文從自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)出發(fā)用離散動(dòng)態(tài)自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)逼近滑模控制律，給出逼近誤差收斂的自適應(yīng)機(jī)構(gòu)和構(gòu)建方法；通過(guò)AFLS動(dòng)態(tài)的參數(shù)設(shè)計(jì)形成較好的濾波效果，用以消除抖振。

1 離散非線性系統(tǒng)的SMC

考慮如下離散非線性系統(tǒng),

(1)

式中：f(xi(k))、g(xi(k))滿足

g(xi(k))=g+Δg(xi(k))

(2)

(3)

設(shè)滑模s(k)=CTe(k),C=[c1c2…cn-11]T∈Rn是Hurwitz多項(xiàng)式的系數(shù)。對(duì)于上述線性不確定離散系統(tǒng)提出以下定理。

定理1 對(duì)于非線性系統(tǒng)(1)，若取準(zhǔn)滑?？刂坡?/p>

r(k)+(qT1-1)s(k)+k2sgns(k)]

(4)

式中：T1為準(zhǔn)滑模控制器的采樣周期。設(shè)計(jì)參數(shù)q、k2滿足

(5)

證明考慮不等式離散到達(dá)條件

(6)

Δsk+1=sk+1-sk=f(xi(k))+Δgusk-

(qT1-1)sk-k2sgnsk-sk

(qT1-1)sk-k2sgnsk]

(7)

[Δsk+1]2=[f(xi(k))+Δgusk-(qT1-1)sk-k2sgnsk]2+

(8)

若要使得到達(dá)條件(6)滿足，將式(7)、(8)代入式(6)得

(1+Δgg-1)|(qT1-1)sk|+(1+Δgg-1)k2

(9)

依據(jù)式(5)式(9)等價(jià)為

可見(jiàn)在邊界Δ外到達(dá)條件(6)成立。證畢。

定理1雖然得到了系統(tǒng)(3)的一個(gè)SMC，但是這個(gè)SMC使得滑模到達(dá)切換帶是很寬的，而且寬度隨著系統(tǒng)不確定性的變化而變化。這在實(shí)際上會(huì)形成很大的抖振。因此本文尋求其模糊自適應(yīng)SMC以消除抖振。

2 模糊自適應(yīng)SMC

對(duì)于定理1準(zhǔn)滑?？刂坡剩牖＿吔鐚訁?shù)λ>0，當(dāng)系統(tǒng)滑模到達(dá)邊界層內(nèi)施加模糊邏輯(FLC)控制律uf(k)，停止準(zhǔn)滑?？刂坡蕌s(k)。即

u(k)=us(k)+uf(k)

式中：uflc是模糊邏輯系統(tǒng)的輸出，Δ是準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)區(qū)的寬度，因此λ≥Δ。

邊界層厚度參數(shù)λ的范圍與系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)非線性函數(shù)的上界有直接關(guān)系。非線性系統(tǒng)的不確定性越大，準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)區(qū)寬度越大，參數(shù)λ選擇范圍越大。實(shí)驗(yàn)證明λ對(duì)每個(gè)具體非線性系統(tǒng)有一個(gè)最佳值?？梢酝ㄟ^(guò)以下方法選擇：已知狀態(tài)的初始值，代入非線性函數(shù)上界得到Δ值。一般λ∈[Δ,3Δ]效果較好。

2.1 自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)

對(duì)于系統(tǒng)(1)用AFLS來(lái)逼近滑?？刂坡伞Ｋ捎玫腁FLS與文獻(xiàn)[17]中相同，后件參數(shù)采用梯度優(yōu)化自校正的方法進(jìn)行。

選擇滑模s(k)以及Δs(k)為輸入變量，構(gòu)造具有2個(gè)輸入變量、1個(gè)輸出變量的FBF型AFLS。其中的前件參數(shù)由設(shè)計(jì)者調(diào)節(jié)，后件參數(shù)由自適應(yīng)機(jī)構(gòu)校正。模糊控制規(guī)則為

Ri: Ifs(k) issiandΔs(k) isΔsithenuf(j) isθi(j)

i=1,2,…,m

式中：α為滑模s(k)的劃分參數(shù)，β為滑模變化率，Δs(k)的劃分參數(shù)，j是AFLS的采樣步長(zhǎng)，θi(j)是待校正的后件參數(shù)，m是規(guī)則總數(shù)。采用單點(diǎn)模糊化、乘積推理、加權(quán)平均解模糊方法滑?？刂频哪：平敵鰹?/p>

uf(j)=θ(j)Tp

(10)

2.2 自適應(yīng)率

定義自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)(AFLS)逼近滑?？刂坡?4)的誤差目標(biāo)函數(shù)為

這樣AFLS逼近控制律(4)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)J(θ,x)的優(yōu)化問(wèn)題。即

求目標(biāo)函數(shù)沿參數(shù)θ方向的梯度得

參數(shù)θ自校正的方向應(yīng)該沿著目標(biāo)函數(shù)對(duì)其梯度的負(fù)方向，由式(11)確定θ的校正方向,

θ(j+1)-θ(j)=p(u(k)-θT(j)p)

(11)

2.3 DAFLS逼近滑?？刂?/h3>

先考慮T1=lT2,l∈Ζ的情況下，AFLS輸出(10)逼近普通離散SMC的誤差。

定理2 對(duì)于準(zhǔn)滑?？刂?4)，若AFLS以式(11)為自適應(yīng)機(jī)構(gòu)且其采樣周期T2遠(yuǎn)比準(zhǔn)滑?？刂?4)的采樣周期T1小，則AFLS(10)逼近準(zhǔn)滑?？刂?4)的誤差漸近收斂。

證明在自適應(yīng)律(11)下選取逼近誤差的Lyapunov函數(shù)為

(12)

若AFLS的采樣周期遠(yuǎn)比控制器u(k)的采樣周期小則對(duì)式(12)有

利用式(11)有

pTp(u(k)-θ(j)Tp)θ(j)Tp-pTp(u(k)-θ(j)Tp)·

pTp(u(k)-θ(j)Tp)2

(13)

因?yàn)閜是模糊基函數(shù)向量，所以0

Δv(j)=v(j+1)-v(j)<0

證畢。

接著，為進(jìn)一步加強(qiáng)濾波效果以消除抖振，在AFLS基礎(chǔ)上引入動(dòng)態(tài)自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)(dynamic adaptive fuzzy logic system, DAFLS)。

考慮n階連續(xù)DAFLS，則

(14)

式中：di(i=0,1,…,n-1)、γ均為DAFLS的動(dòng)態(tài)參數(shù)。

假設(shè)(14)的動(dòng)態(tài)形成低通濾波。將其離散化得到離散的DAFLS，

v(k)[r0+r1z-1+…+rnz-n]=ωθTp

(15)

式中：ri(i=0,1,…,n)、ω是導(dǎo)出的參數(shù)。運(yùn)用DAFLS逼近滑?？刂剖?4)。

將濾波器(式(14))看作一個(gè)子系統(tǒng)，可以通過(guò)選擇狀態(tài)變量，將式(15)變?yōu)闋顟B(tài)空間模型，

(16)

式中：θTp看作是子系統(tǒng)(16)的輸入，v(j)是這個(gè)子系統(tǒng)的輸出。定理2已經(jīng)證明如果沒(méi)有引入濾波器動(dòng)態(tài)，AFLS逼近滑?？刂频恼`差是收斂的。現(xiàn)在選取新的關(guān)于其輸出v(j)與滑?？刂浦g誤差的正定Lyapunov函數(shù)，其一階差分負(fù)定，則DAFLS的輸出v(j)在適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)律下逼近滑模控制的誤差仍然收斂。DAFLS中的動(dòng)態(tài)濾波器可以看作是線性系統(tǒng)(16)。

3 主要結(jié)果

3.1 動(dòng)態(tài)AFLS的逼近誤差

定理3 對(duì)于準(zhǔn)滑?？刂?4)，若DAFLS(16)以(11)為自適應(yīng)機(jī)構(gòu)且其參數(shù)滿足：ATCTCA半負(fù)定，Cb=1，采樣周期T2遠(yuǎn)比準(zhǔn)滑?？刂?4)的采樣周期T1小，則DAFLS(16)逼近準(zhǔn)滑?？刂?4)的誤差漸近收斂。

證明選取逼近誤差的Lyapunov函數(shù)為

其一階差分為

ΔV(j)=1/2({[CAη(j)]2+[CbθT(j)p])2-

[Cη(j)]2+2CAη(j)CbθT(j)p}+

Cη(j)θT(j)p-θT(j+1)pCAη(j)-

θT(j+1)pCbθT(j)p+

1/2({[θT(j+1)p]2-[θT(j)p]2})+

[θT(j+1)p]2-[θT(j)p]2+

2us(k)[θ(j)-θ(j+1)]Tp=

1/2({[CAη(j)]2+[CbθT(j)p])2-

[Cη(j)]2}+CAη(j)CbθT(j)p+Cη(j)θT(j)p-

θT(j+1)pCAη(j)-θT(j+1)pCbθT(j)p+

2us(k)[θ(j)-θ(j+1)]Tp

若代入θ(j+1)-θ(j)=p(u(k)-θT(j)p)，有

[Cη(j)]2}+Cη(j)θT(j)p-

[θT(j)p]2Cb-θT(j)pCAη(j)(1-Cb)-

pTp(us(k)-θT(j)p)·(CAη(j)+CbθT(j)p)+

3θT(j)p[us(k)-θT(j)p]pTp-

2us(k)[us(k)-θT(j)p]pTp

(17)

若Cb=1,式(17)變?yōu)?/p>

若矩陣A、C滿足Lyapunov方程

ATCTCA-CTC=-Q

其中Q=QT,Q>0。則有[CAη(j)]2≤[Cη(j)]2則

ΔV(j)≤2[(pTp)2-pTp][us(k)-θT(j)p]2

又因?yàn)閜是模糊基向量則pTp≤1 。因此有ΔV(j)≤0成立。若ΔV(j)≡0成立則有

v(j)=us(k)=θT(j)p

成立。根據(jù)Lyapunov理論逼近誤差收斂。證畢。

3.2 近似逼近下的滑?？蛇_(dá)性

定理4 對(duì)于準(zhǔn)滑模控制(4)，若DAFLS(16)以(11)為自適應(yīng)機(jī)構(gòu)且其參數(shù)且滿足定理2內(nèi)容，則滑模到達(dá)條件(6)能夠得到滿足。

證明考慮不等式離散到達(dá)條件，

Δsk+1=sk+1-sk=Δf+Δgufk-(qT1-1)sk-

k2sgnsk+g(ufk-usk)-sk

(qT1-1)sk-k2sgnsk+g(ufk-usk)]

[Δsk+1]2=[Δf+Δgufk-(qT1-1)sk-

2sk[Δf+Δgufk-(qT1-1)sk-

k2sgnsk+g(ufk-usk)]

若要使得到達(dá)條件滿足，將skΔsk+1、[Δsk+1]2代入得

(18)

由式(18)可見(jiàn)，只要ufk逼近usk誤差為零則與(9)是等同的。證畢。

4 倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用仿真

一階倒立擺系統(tǒng)的離散模型如下：

式中：θ(k)是擺角位移，u(k)是小車控制電壓。

當(dāng)應(yīng)用普通SMC方法控制和應(yīng)用本文提出的控制方法時(shí)得到擺角位移曲線對(duì)比如圖1所示,控制電壓曲線對(duì)比如圖2所示。

圖1 SMC和DAFLSMC控制下擺角位移曲線對(duì)比Fig.1 Angle displacement contract curves of pendulum for SMC and DAFLSMC

圖2 SMC和DAFLSMC控制下電壓曲線對(duì)比Fig.2 Control voltage contract curves for SMC and DAFLSMC

通過(guò)圖1、2可以得出，普通離散SMC穩(wěn)態(tài)抖動(dòng)很大，而本文提出的DAFLSMC消除了抖動(dòng)。比較DAFLSMC控制電壓曲線與在同等條件下實(shí)施普通SMC的控制電壓曲線，如圖2。因?yàn)樵O(shè)計(jì)的DAFLS逼近SMC的采樣時(shí)間是0.01 s而被控對(duì)象及普通SMC采樣時(shí)間是0.1 s。因此DAFLS輸出的控制電壓更加光滑。

為了觀察DAFLS的濾波效果把濾波前后的控制電壓曲線作對(duì)比如圖3所示。從圖3中可見(jiàn)加入了動(dòng)態(tài)濾波的DAFLS后控制信號(hào)的高頻抖動(dòng)部分被濾掉了。

圖3 濾波器前后的控制電壓曲線對(duì)比Fig.3 Control voltage comparison of AFLSMC and DAFLSMC

為驗(yàn)證本文所提出方法的魯棒性能，保持控制器參數(shù)不變的情況下，在仿真t=10 s時(shí)，給擺角位移施加幅度為0.3 rad的脈沖干擾，系統(tǒng)控制效果如圖4、圖5所示?？梢?jiàn)，在較強(qiáng)干擾施加給擺角時(shí)，系統(tǒng)仍然能夠穩(wěn)定回到原點(diǎn)，穩(wěn)態(tài)性能不變。說(shuō)明本文提出方法的確保留了普通離散SMC的魯棒性。

圖4 DAFLS控制下擺角位移受擾曲線Fig.4 The angle excursion curve when disturbed under DAFLSMC control

圖5 DAFLS控制下受擾時(shí)控制電壓曲線Fig.5 The control volt curve when disturbed under DAFLSMC control

5 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種離散直接自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒āＭㄟ^(guò)用AFLS逼近離散滑?？刂疲薙MC的抖振。逼近SMC的AFLS中必須引入動(dòng)態(tài)，才能實(shí)現(xiàn)濾波功能，而且，動(dòng)態(tài)AFLS采樣時(shí)間要比系統(tǒng)采樣時(shí)間小。通過(guò)與普通離散SMC的應(yīng)用仿真對(duì)比，證明了該方法通過(guò)適當(dāng)參數(shù)設(shè)置，不但保證了滑模到達(dá)，消除了SMC的抖振，還保留了SMC很強(qiáng)的魯棒性能。該方法對(duì)離散SMC的應(yīng)用具有一定價(jià)值，需進(jìn)一步加強(qiáng)其在實(shí)際控制系統(tǒng)中的應(yīng)用研究。

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