朱烈浪，胡建根

(江西農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，330045，南昌)

幾種反常積分的應(yīng)用

朱烈浪，胡建根

(江西農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，330045，南昌)

反常積分；無窮級(jí)數(shù)；中心極限定理

1 反常積分f(x)dx

例如：設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),(σ>0)，證明：E(X)=μ,D(X)=σ2。

從而E(X2)=μ2+σ2，由D(X)=E(X2)-[E(X)]2，則D(X)=μ2+σ2-μ2=σ2。

另外，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)這一章內(nèi)容時(shí)，利用反常積分可以判斷某些無窮級(jí)數(shù)斂散性，方法簡單且效果好。

2 反常積分f(x)dx

應(yīng)用1：求解某些定積分。

其中：X1,X2…Xn,…是獨(dú)立的且具有相同分布的隨機(jī)變量序列，且有數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2≠0(i=1,2,…)。由此得到，如果隨機(jī)變量X服從B(n,p)，當(dāng)n很大時(shí)，有

(1)

例如：在一家保險(xiǎn)公司里有10 000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，1年內(nèi)1個(gè)人死亡的概率為0.006，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1 000元，問：保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大?

解：設(shè)X表示1年內(nèi)參保人的死亡數(shù)，則X～B(10 000,0.006)(二項(xiàng)分布)，要使保險(xiǎn)公司虧本，必須滿足12×10 000-1 000X<0，即X>120，由式(1)，則有

即保險(xiǎn)公司虧本的概率為0[3]。

3 反常積分f(x)dx

4 結(jié)束語

以上介紹的是3種反常積分在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用；除此外，反常積分在物理學(xué)及工程學(xué)等也有廣

[1]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1996:328-329.

[2]盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2010:11.

[3]王東紅.大數(shù)定理和中心極限定理在保險(xiǎn)業(yè)中的重要應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2005(10):132-133.

[4]郭學(xué)軍.高等數(shù)學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2012:137.

SeveralApplicationsofImproperIntegral

ZHU Lielang,HU Jiangen

(Institute of Science,Jiangxi University of Agricultural,330045,Nanchang,PRC)

In this article,we give three types of applications of infinite limit improper integral in probability and statistics.For Γ(α) and Φ(x) example,we introduce applications of improper integral in probability and mathematical statistics,we use improper integral to judge the divergence of infinite series;to calculate some definite integral and to verify some conclusions in normal distribution.It can be seen that improper integral is not only a mathematical concept,but it actually is also a kind of mathematical method.

improper integral;infinite series;central limit theorem

2014-06-25;

2014-07-28

朱烈浪(1969-)，男，江西南昌人，副教授，碩士，從事概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)工作。

10.13990/j.issn1001-3679.2014.04.018

O211.4

A

1001-3679(2014)04-0501-03