溫 凱，周?；?/p>

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，330022，南昌)

具有多重耦合的多維牛頓滲流方程組的臨界曲線

溫 凱，周?；?/p>

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，330022，南昌)

討論RN中單位球外區(qū)域上多重耦合的牛頓滲流方程組。主要討論這個(gè)問(wèn)題解的長(zhǎng)時(shí)間行為，尤其是可以描述方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為的臨界曲線。主要結(jié)論是，在一定條件下，所考慮問(wèn)題的整體存在臨界曲線與Fujita曲線是重合的。

牛頓滲流方程；整體存在性；爆破；臨界曲線

0 引言

本文在RN中單位球外區(qū)域討論多重耦合的牛頓滲流方程組，即：

(1)

(2)

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈RN/B1(0)

(3)

眾所周知，式(1)中的方程是牛頓滲流方程，它在u=0的點(diǎn)處退化。局部解的存在性與比較原理參見文獻(xiàn)[1-2]。本文主要研究方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為，如解關(guān)于時(shí)間的整體存在性以及有限時(shí)刻的爆破。特別地，將討論可以用來(lái)描述解的長(zhǎng)時(shí)間行為的臨界曲線。

自從1966年Fujita對(duì)熱方程內(nèi)部源的Cauchy問(wèn)題建立了臨界指標(biāo)以[3]，數(shù)學(xué)工作者們對(duì)許多問(wèn)題都建立了Fujita型定理[4-5]。其中Glalaktionov與Levine把Fujita的結(jié)果推廣至邊界源問(wèn)題，即對(duì)如下牛頓滲流方程建立了臨界指標(biāo)[5]：

(4)

(5)

u(0,t)=u0(x),x∈(0,+∞)

(6)

其中：m>1,α≥0。對(duì)于式(4)～式(6)，他們證明了α0=(m+1)/2,αc=m+1。稱α0是整體存在臨界指標(biāo)，αc是Fujita臨界指標(biāo)，如果以下事實(shí)成立：

1)若0<α<α0，則方程的非負(fù)非平凡解關(guān)于時(shí)間整體存在；

2)若α0<α<αc，則方程的非負(fù)非平凡解在有限時(shí)刻發(fā)生爆破；

3)若α>αc，則方程的解在初值較小時(shí)整體存在，當(dāng)初值較大時(shí)在有限時(shí)刻爆破。

隨后，式(4)～式(6)被拓展到快擴(kuò)散的情形，即0

與方程的臨界指標(biāo)相平行地，方程組存在著臨界曲線。

對(duì)于一維情形，Quiros和Rossi[9]研究了如下邊界耦合的牛頓滲流方程組：

他們得出：此問(wèn)題的整體存在臨界曲線是αβ=(m+1)(n+1)/4，F(xiàn)ujita臨界曲線是min{α1+β1,α2+β2}=0，其中

由此看出，該問(wèn)題的2個(gè)臨界曲線是不重合的。

對(duì)于多維情形，Wang et al[10]考慮了如下問(wèn)題：

(7)

(8)

u(x,0)=u0(x),x∈RNB1(0)

(9)

其中：N>2,Wang et al證得α0=αc，即式(7)～式(9)的整體存在臨界指標(biāo)和Fujita臨界指標(biāo)是重合的。

繼這些工作之后，Wang Zejia和Du Runmei[11]

又討論了帶有非線性耦合條件的牛頓滲流方程組：

(10)

(11)

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈RNB1(0)

(12)

其中：m,n>1,α,β≥0,u0(x),v0(x)為非負(fù)、適當(dāng)光滑、有緊支集的有界函數(shù)，證明了式(10)～式(12)的整體存在臨界曲線和Fujita臨界曲線都是αβ=mn。

受以上文章的啟發(fā)，本文討論式(1)～式(3)的整體存在臨界曲線和Fujita臨界曲線。我們將把Wang Zejia和Du Runmei[11]的結(jié)果推廣至具更一般耦合條件的牛頓滲流方程組，即式(1)～式(3)的整體存在臨界曲線和Fujita臨界曲線也會(huì)發(fā)生重合的現(xiàn)象。

1 主要結(jié)果及其證明

在這部分中，首先介紹本文的主要結(jié)論，然后給出證明。本文主要結(jié)果如下。

定理1：設(shè)N>2，α1(m-α1)(n-α2)，則方程的小初值解整體存在，大初值解在有限時(shí)刻發(fā)生爆破。

定理2：若α1>m或α2>n，則式(1)～式(3)的大初值解在有限時(shí)刻發(fā)生爆破。在證明定理1和定理2之前，先考慮如下徑向化問(wèn)題：

(13)

(14)

u(r,0)=u0(r),v(r,0)=v0(r),r>1

(15)

命題1：設(shè)α1

命題2：設(shè)α1(m-α1)(n-α2)，式(13)～式(15)的非負(fù)大初值解在有限時(shí)刻發(fā)生爆破。

命題3：設(shè)α1

下面來(lái)證明命題1、命題2和命題3。

命題1的證明： 下面通過(guò)構(gòu)造一類整體存在的上解來(lái)證明此命題。令

β2/(n-α2)

由于β1β2<(m-α1)(n-α2)，故可知如上的k確實(shí)存在，對(duì)ξ1,ξ2>0，令

則有，

(16)

令

假設(shè)u2(r,t)=r-s1/mu1(r,t)，v2(r,t)=r-s2/nv1(r,t)，r>1，t>0，其中s1,s2>0為待定常數(shù)。計(jì)算可得：

把上面的等式代入式(16)，可得，

同理可得：

令

下面來(lái)驗(yàn)證u2(r,t),v2(r,t)滿足以下邊界條件：

(17)

易見，

另一方面，有，

因此式(17)中的不等式成立，只需：

(18)

(19)

由β2(n-α2)k1α1+k2β1,nk2>k2α2+k1β2。即當(dāng)T充分大時(shí)，以上兩式成立。記

因?yàn)閡2(r,0),v2(r,0)關(guān)于r是單調(diào)遞減的，所以只要

u2(R1,0)≥M1,v2(R2,0)≥M2

(20)

就有u2(r,0)≥u0(x),v2(r,0)≥v0(x)。事實(shí)上，可以取T充分大，使得，

綜上可知，對(duì)于滿足條件式(18)～式(20)的充分大的T，(u2,v2)是式(13)～式(15)的整體上解。從而運(yùn)用比較原理可知，式(13)～式(15)的非負(fù)非平凡解是整體存在的。證畢。

命題2的證明： 下面通過(guò)構(gòu)造一類式(13)～式(15)的爆破下解來(lái)證明此命題。對(duì)r>1,00是給定常數(shù)。令

其中

(21)

(22)

(23)

(24)

注意到r>1且

μ1α1-μ1m+μ2β1=0，

因此，式(21)～式(24)成立，只需：

(25)

(26)

(27)

(28)

令

(29)

其中A1,A2是待定的正的常數(shù)，且

下面驗(yàn)證f1,f2滿足式(25)～式(28)。把式(29)代入式(25)、式(26)可得：

則只需有

按照上面的B的取法可得，當(dāng)A1,A2>1時(shí)，以上不等式成立。進(jìn)而，f1,f2滿足式(25)和式(26)。下面把式(29)代入式(27)、式(28)，則有

(30)

(31)

(32)

(33)

取充分大的A1使其滿足式(32)、式(33)，則可得到式(27)、式(28)。因此，若初值(u0,v0)充分大滿足：

則式(13)～式(15)的解(u,v)在有限時(shí)刻發(fā)生爆破。證畢。

通過(guò)計(jì)算可得，

則式(13)～式(15)的解關(guān)于時(shí)間是整體存在的。

最后來(lái)證明式(1)～式(3)的主要結(jié)果，即定理1和定理2。

另一方面，再次運(yùn)用比較原理和命題3可得，若式(1)～式(3)的初值滿足：

u0(x)≤(B1|x|2-N)1/m,v0(0)≤(B2|x|2-N)1/n,x∈RNB1(0)

(34)

其中:B1=(N-2)-m(n+β1-α2)/[(m-α1)(n-α2)-β1β2]，B2=(N-2)-n(m+β2-α1)/[(m-α1)(n-α2)-β1β2]，則式(1)～式(3)的解(u,v)在β1β2≠(m-α1)(n-α2)的條件下整體存在。結(jié)合命題2得出β1β2>(m-α1)(n-α2)時(shí)，大初值解在有限時(shí)刻發(fā)生爆破，小初值解整體存在，此即表明：式(1)～式(3)的Fujita臨界曲線是β1β2=(m-α1)(n-α2)。證畢。

(35)

(36)

w(r,0)=u0(r),r>1

(37)

容易驗(yàn)證(w,v0)是式(1)～式(3)的下解。由文獻(xiàn)[9]可知當(dāng)α1>m且初值較大時(shí)，(w,v0)在有限時(shí)刻會(huì)發(fā)生爆破。因此，式(1)～式(3)的解(u,v)在有限時(shí)刻也發(fā)生爆破。證畢。

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CriticalCurvesforMultidimensionalNonlinearDiffusionEquationsCoupledbyNonlinearBoundarySources

WEN Kai,ZHOU Haihua

(College of Mathematics and Information Science,Jiangxi Normal University,330022,Nanchang,PRC)

This paper deals with one prototype of nonlinear diffusion equations coupled by the nonlinear boundary sources on the exterior domain of the unit ball inRN.We are interested in the critical curve which can describe the large time behavior of the solution.It is shown that,with special conditions,the critical global existence curve coincides with the critical Fujita curve for this system.

nonlinear diffusion equation;global existence;blow up;critical curve

2014-06-20;

2014-08-04

溫 凱(1990-)，女，山東濱州人，碩士研究生，主要從事非線性擴(kuò)散方程組解的長(zhǎng)時(shí)間行為研究。

國(guó)家自然科學(xué)基金地區(qū)科學(xué)基金項(xiàng)目：非線性反應(yīng)-對(duì)流-擴(kuò)散方程解的漸進(jìn)行為研究(編號(hào)：11361029)；江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目：非線性擴(kuò)散方程解與支集的長(zhǎng)時(shí)間行為研究(編號(hào)：GJJ14270)。

10.13990/j.issn1001-3679.2014.04.014

O175.2

A

1001-3679(2014)04-0487-06