石艷平,尚小舟，高明哲

(吉首大學師范學院,湖南 吉首 416000)

帶有Gamma函數(shù)的Hardy-Hilbert型不等式的推廣*

石艷平,尚小舟，高明哲

(吉首大學師范學院,湖南 吉首 416000)

利用權系數(shù)的方法和參量化思想，建立了具有最佳常數(shù)因子的Hardy-Hilbert不等式，并考慮了逆向不等式的情形.

Hardy-Hilbert不等式；權函數(shù)；參數(shù)；β函數(shù)；Euler常數(shù)

1 問題的提出

(1)

文獻[1]引入?yún)?shù)A,B和λ建立了下列帶權的Hilbert不等式：

(2)

筆者的目的是將(2)式進行推廣，并討論其逆式.

2 引理及證明

引理2 設0≤ps<1且1-qs<λ≤2，定義函數(shù)Φ如下：

上述引理的證明見文獻[2],這里從略.

3 定理及證明

(3)

當0

(4)

應用H?lder不等式估計(3)式的左邊如下:

(5)

其中

由引理2,有

(6)

同理可得

(7)

根據(jù)(5)，(6)和(7)式,可得

(8)

(9)

顯然，當且僅當{an}或者{bn}是零序列時，(9)式中等號成立，即不等式(3)中等式成立.

其中c是Euler常數(shù).因此，

同理可得

因此，

如果μB*不是最佳的，那么存在實數(shù)k>0且k不大于μB*，使得下列不等式成立：

(10)

另一方面，設u=Γ(x+1),v=Γ(y+1),那么

(11)

由此可得

(12)

顯然，當ε充分小時,不等式(10)與(12)是互相矛盾的，因此不等式(3)中的常數(shù)因子μB*是最佳的.

由(3)，(4)和(9)式可知,

(μB*)(n!)2-λ-r(lnn+εn)1-r≤(μB*)(n!)2-λ-r(lnn+ε1)1-r=

(13)

不等式(9)和(13)表明不等式(3)成立.

如果0

[1] YANG Bicheng.On New Generalization of Hilbert’s Inequality[J].J. Math. Anal. Appl.,2000,248(1):29-40.

[2] 高明哲.Hardy-Riesz 拓廣了的Hilbert不等式的一個改進[J].數(shù)學研究與評論,1994,14(2)：255-259.

[3] 匡繼昌.常用不等式[M].第3版.濟南：山東科學技術出版社，2004：492.

(責任編輯 向陽潔)

ExtensionofHardy-HilbertTypeInequalitywithGammaFunction

SHI Yanping,SHANG Xiaozhou,GAO Mingzhe

(Normal College of Jishou University，Jishou 416000,Hunan China)

By using the way of the weight coefficient and the idea of parameterization,a Hardy-Hilbert's inequality with a best constant factor is established,and its reverse form is considered.

Hardy-Hilbert inequality;weight coefficient;parameter；βfunction;Euler constant

1007-2985(2014)06-0017-05

2014-04-20

湖南省教育廳科學研究項目(14C0938)

石艷平(1978—)，女，湖南龍山人，吉首大學師范學院民族教育研究所講師，主要從事函數(shù)論研究.

O178

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.005