王蘭芳

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首 416000)

分數(shù)階微分方程非線性邊值問題*

王蘭芳

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首 416000)

研究一類分數(shù)階微分方程非線性邊值問題的存在性，利用不動點定理，得到了非線性邊值問題至少存在1個解的充分條件.

分數(shù)階微分方程；非線性邊值問題；不動點

近年來，分數(shù)階導數(shù)及分數(shù)階微分方程已在數(shù)學、物理、生物、化學、多孔介質(zhì)和粘彈性材料等學科和工程領(lǐng)域得到了重要應用[1].作為應用的理論基礎(chǔ),分數(shù)階微分方程的理論研究得到學者們的高度關(guān)注，并在分數(shù)階微分方程初值問題、邊值問題以及混沌控制與同步等方面獲得不少研究成果.但是，在邊值問題研究成果中，非線性邊值問題的結(jié)果并不多[2].最近，文獻[3]研究了一類高階分數(shù)階微分方程三點線性邊值問題.在文獻[3]的基礎(chǔ)上，筆者研究以下高階分數(shù)階微分方程非線性邊值問題解的存在性：

(1)

設(shè)B=C[0，1]表示全體連續(xù)函數(shù)u:[0，1]→R構(gòu)成的Banach空間,其中范數(shù)‖u‖=max{u(t)|t∈[0，1]}.并作下列假設(shè):

(H1)f:[0,1]×R→R是連續(xù)可微函數(shù)；

(H2)H:C[0,1]→R,H(0)=0,存在常數(shù)0

(H3)f(t,u)≥0,f(t,0)≠0,(t,u)∈[0，1]×[0,∞)；

(H4)對C[0，1]中的任意非負元素u,H(u)≥0.

1 預備知識

定義1[1]函數(shù)y:(0,∞)→R的α(α>0)階分數(shù)階積分定義為

定義2[1]函數(shù)y:(0,∞)→R的α(α>)0階Caputo型分數(shù)階導數(shù)定義為

其中n=[α]+1,[α]表示α的整數(shù)部分.

類似文獻[3]中引理2.4,可證明如下結(jié)論：

引理3 設(shè)g∈C1[0，1],如果條件(H1)，(H2)成立，那么函數(shù)u∈C[0,1]是邊值問題

引理4[3]G(s,s)≥G(t,s)≥0,(t,s)∈[0，1]×[0，1].

2 主要結(jié)果

由引理2和引理3可知u是問題(1)的解當且僅當u是T的不動點.此外，不難證明如下結(jié)論：

注1 如果(H1)—(H4)成立，那么算子T:P→P是全連續(xù)算子.

證明由假設(shè)可知，存在正常數(shù)r0,0

0≤f(t,u)≤Mu+L(t,u)∈[0,1]×[0,+∞).

(2)

(3)

h‖u‖≤(h+M/Γ(α+1))(r+L/Γ(α+1))≤r,

為陳述和證明定理2,進一步引入以下基本假設(shè):

(H5)存在非負函數(shù)p∈L1[0，1]和單調(diào)非減函數(shù)ψ:[0,∞)→[0,∞)，并且p在[0，1]的具有正測度的子集上大于0，使得對?(t,u)∈[0，1]×R，成立|f(t,u)|≤p(t)ψ(u|).

定理2 如果(H1)—(H4)成立，那么邊值問題(1)至少存在1個解.

證明下證算子T,T1,T2滿足引理5相應條件，從而存在不動點.由(H4)知，存在r>0使得

(4)

下證引理5的結(jié)論(ⅱ)不成立.假設(shè)(ⅱ)成立，則存在λ∈(0,1),u∈?Ω使得u=λTu,得到

(5)

由(5)式及(H2)—(H4)可推出

因為x∈?Ωr,‖x‖=r,所以r/(qψ(r))≤1/(1-h)，與(4)式矛盾，故(ⅱ)不成立.

[1] KILBAS A A,SRIVASTAVA HARI M,et al. Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M].Amsterdam:North-Holland Math. Stud.,Elsevier Science B.V.,2006:204.

[2] ZHONG Wenyong,LIN Wei. Nonlocal and Multiple-Point Boundary Value Problems for Fractional Differential Equations[J].Comput. Math. Appl.,2010,59:1 345-1 351.

[3] ZHONG Wenyong,WANG Lanfang.Monotone and Concave Positive Solutions to Three-Point Boundary Value Problems of Higher-Order Fractional Differential Equations[J].Abstr. Appl. Anal.,2014,Volume 2014,Article ID 728491,In Press.

[4] O′REGAN D. Fixed-Point Theory for the Sum of Two Operators[J].Appl. Math. Lett.,1995,9:1-8.

(責任編輯 向陽潔)

NonlinearBoundaryValueProblemsofFractionalDifferentialEquations

WANG Lanfang

(College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

The existence of nonlinear boundary value problems of fractional differential equations is studied.Using fixed-point theorems,some sufficient conditions are obtained to guarantee the existence of at least one solution of the nonlinear boundary value problems.

fractional differential equations;nonlinear boundary value problems;fixed points

1007-2985(2014)06-0007-03

2014-05-11

湖南省自然科學基金資助項目(11JJ3007)

王蘭芳(1964—)，女，湖南醴陵人，吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授，主要從事教學與微分方程研究.

O175.8

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.002