關(guān)珺珺，李 波，鄧 科，趙鶴平

(吉首大學(xué)物理與機電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

二維聲子晶體負(fù)折射成像效應(yīng)及其分辨率對比*

關(guān)珺珺，李 波，鄧 科，趙鶴平

(吉首大學(xué)物理與機電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

采用有限元分析方法，研究了聲子晶體負(fù)折射現(xiàn)象與板厚度的關(guān)系.通過對比分析聲子晶體單板成像系統(tǒng)和串聯(lián)式聲子晶體多板成像系統(tǒng),結(jié)果發(fā)現(xiàn)多板系統(tǒng)的像點強度較強，但分辨率卻高于單板系統(tǒng).利用串聯(lián)式聲子晶體多板成像系統(tǒng)可以提高成像質(zhì)量.

聲子晶體；負(fù)折射率；成像；分辨率

聲子晶體具有聲波操控功能而受到人們的廣泛關(guān)注.眾所周知，聲子晶體(Sonic Crystal)是由彈性材料周期性地排列形成[1-5]，具有與傳統(tǒng)聲學(xué)材料反常的性質(zhì).目前無論是對聲子晶體能帶的研究，還是對聲子晶體色散特性及其應(yīng)用的探索都取得了很多的成就.近年來，人們對聲子晶體在聲學(xué)器件中的應(yīng)用進行了深入地研究.例如，利用聲子晶體自準(zhǔn)直效應(yīng)設(shè)計了可以使聲波彎曲傳輸?shù)钠骷6]，利用聲子晶體的負(fù)折射性質(zhì)設(shè)計出聲學(xué)平板棱鏡裝置[7-8]，利用二維聲子晶體共振結(jié)構(gòu)設(shè)計了定向聲源裝置[9].然而，在利用聲子晶體的負(fù)折射性質(zhì)設(shè)計聲學(xué)平板棱鏡裝置過程中依然有一些工作要做，例如采用較厚的聲子晶體平板進行遠(yuǎn)場成像時，會產(chǎn)生像點模糊的現(xiàn)象.

在某些頻率下，入射波的波矢和聲波的群速度方向相反，這時聲波在聲子晶體中傳輸呈現(xiàn)負(fù)折射現(xiàn)象[10].因此，在這些頻率下，聲子晶體被認(rèn)為是一種負(fù)折射材料，也就是人們常說的左手材料[11].聲子晶體的這種負(fù)折射效應(yīng)在六方排列的平板成像系統(tǒng)和四方排列的成像系統(tǒng)中都得到了驗證，并且成像系統(tǒng)具有良好的聚光效果.Veselago的研究表明，一塊由左手材料制作的平板成像系統(tǒng)，當(dāng)它的厚度為D，折射率n=-1時，點源P距離平板的距離為L(L

筆者設(shè)計了一個由固定寬度的聲子晶體薄板串聯(lián)構(gòu)成的成像系統(tǒng).該系統(tǒng)將一個有限寬度的厚板等分成若干薄板，然后這些薄板串聯(lián)排列構(gòu)成成像系統(tǒng).通過與等寬度等厚度的聲子晶體厚板成像系統(tǒng)對比，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的像點強度有所下降，但是辨識度(即分辨率)卻比等寬度等厚度的聲子晶體板優(yōu)良.

1 成像效應(yīng)及其分辨率

用于成像的二維聲子晶體由橡膠的鎢柱四方地嵌于水中組成，包層的外徑為0.429a，內(nèi)徑為0.398a，其中a為晶格常數(shù).因此，這種晶體的填充率為0.58.鎢的材料參數(shù)ρ=19.3×103kg/m3，CL=5.09×103m/s，CT=2.8×103m/s；橡膠的材料參數(shù)ρ=1.3×103kg/m3，CL=0.2×103m/s，CT=0.04×103m/s；空氣的材料參數(shù)ρ=1.0×103kg/m3，CL=1.49×103m/s.其中，ρ，CL和CT分別代表相應(yīng)材料密度、縱波速度和橫波速度.

文中的計算方法為有限元分析方法.圖1給出了該晶體的能帶結(jié)構(gòu)，其中，縱坐標(biāo)是歸一化后的頻率，歸一化單位為2πc/a.聲子晶體在頻率0.136 9附近波失和群速度的方向相反，具有負(fù)折射現(xiàn)象[8].圖2描述了聲子晶體在歸一化頻率0.136 9附近的M點位置的等頻色散線，由圖1和2可以看出，隨著頻率的增加，聲子晶體的色散線越來越接近M點，等頻色散線的形狀也逐漸地接近一個圓形，這時聲子晶體的有效折射率可以通過Snell’s law來定義，并且聲子晶體的有效折射率可以由n=-c|k|/ω計算[8].通過計算可知，當(dāng)頻率等于0.136 9時，該晶體的有效折射率約為-1.成像系統(tǒng)是在這個頻率下進行工作.筆者將成像系統(tǒng)的橫向距離(聲子晶體平板的法線方向)稱為成像系統(tǒng)的厚度，將成像系統(tǒng)的縱向距離(垂直于聲子晶體平板法線方向)稱為成像系統(tǒng)的寬度，其中像點離晶體板的距離L=0.15D.

圖1 聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)

圖2 M點位置的等頻色散線

圖3 聲子晶體厚度為45層、寬度不同的聲場分布

為了得到一個遠(yuǎn)場像點，將聲子晶體的厚度取為45層(厚度D=31.8a).點源與平板的距離L=0.15D，點源的橫坐標(biāo)位置x=0，因為聲子晶體的有效折射率約為-1，所以像點的位置必定出現(xiàn)在平板后，離平板的距離L′=0.85D，橫坐標(biāo)位置在x=63.6a附近.通過Snell’s law，可以計算出點源的像點為倒立的像.圖3分別為3塊相同厚度45層、寬度分別為45，63，103層的成像系統(tǒng)的成像聲場分布，由圖3可以很容易地辨別出103層的像點.這就說明了，如果想要利用這種聲子晶體進行遠(yuǎn)場成像，就必須盡可能地增加成像系統(tǒng)的寬度.然而，為了得到遠(yuǎn)場相對清晰的像點，就不得不將平板的寬度制作成平板厚度的幾倍或者十幾倍，以便提高成像系統(tǒng)的分辨率.

圖4 聲子晶體平板串聯(lián)成像系統(tǒng)及聲場分布

以上方法雖然可以提高成像系統(tǒng)的分辨率，但是由于成像系統(tǒng)體積的龐大，因此不便于應(yīng)用.筆者以3塊板串聯(lián)為例設(shè)計了一個多塊聲子晶體薄板串聯(lián)組成的成像系統(tǒng)，由于平板的寬度有限，點源只有一部分能量通過成像系統(tǒng)形成像點，所以像點能量遠(yuǎn)比物點能量低.每通過一塊成像平板，像點的能量就會下降，隨著平板數(shù)量的增多，串聯(lián)式薄板成像系統(tǒng)的像點的能量就會越低，但是因為薄板的成像系統(tǒng)像點分辨率要比厚板成像系統(tǒng)要高很多，所以串聯(lián)式薄板成像系統(tǒng)的分辨率要比厚板成像系統(tǒng)保持得更優(yōu)良.圖4給出了厚度為15層寬度為45層的3塊聲子晶體平板串聯(lián)組成的成像系統(tǒng)及其聲場分布.同樣，將點源放在距離平板L=0.15D處，點源的x坐標(biāo)位置為x=0.結(jié)果表明，該系統(tǒng)像點的分辨率比圖3中的3個成像系統(tǒng)的像點高.

為了能夠更加具體地區(qū)分像點的分辨率，在成像系統(tǒng)厚度的法線方向上將像點的振幅表示出來，如圖5所示.圖5給出了圖3中3個厚板成像系統(tǒng)像點附近的聲壓分布.從圖5可以看到，成像系統(tǒng)的寬度增加到103層時，像點的位置最容易分辨出來，接近理論計算出來的像點的位置.圖6給出了2種成像系統(tǒng)像點附近的聲壓分布，一種是一塊厚度為45層、寬度分別為45層和103層組成的成像系統(tǒng)，像點在橫坐標(biāo)40a～75a之間；另一種為3塊厚度均為15層、寬度為45層的聲子晶體平板串聯(lián)組成的成像系統(tǒng)，像點在橫坐標(biāo)60a～90a之間(因平板的串聯(lián)，這里橫向坐標(biāo)為58.5a的地方是成像系統(tǒng)的邊界，故坐標(biāo)從60a開始).由圖6可知，串聯(lián)成像系統(tǒng)的像點強度減低了，但是像點的位置最接近理論計算出來的像點位置，分辨率最優(yōu)良.

圖5 聲子晶體厚板成像系統(tǒng)的像點聲壓分布

圖6 聲子晶體厚板和串聯(lián)式薄板成像系統(tǒng)的像點聲壓分布

2 結(jié)語

采用有限元分析數(shù)值模擬的方法，針對聲子晶體平板成像系統(tǒng)的像點分辨率進行了分析.雖然增加聲子晶體板的厚度可以實現(xiàn)點聲源的遠(yuǎn)程成像，但是隨著聲子晶體厚度的增加，點源的分辨率逐漸地減弱.通過對比分析串聯(lián)式聲子晶體薄板成像系統(tǒng)與聲子晶體厚板成像系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)串聯(lián)式聲子晶體薄板成像系統(tǒng)的像點強度雖弱,但分辨率卻高于聲子晶體厚板成像系統(tǒng).實驗結(jié)果表明，串聯(lián)式聲子晶體薄板成像系統(tǒng)成像質(zhì)量優(yōu)于傳統(tǒng)厚板成像系統(tǒng).

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(責(zé)任編輯 陳炳權(quán))

ComparisonAamongtheNegativeRefractionImagingEffectsandImagingResolutionBasedontheTwo-DimensionalSonicCrystals

GUAN Junjun,LI Bo,DENG Ke,ZHAO Heping

(College of Physics and Mechanical & Electrical Engineering,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

FEM(Finite Elemeat Method) is used to study the relationship between the negative refraction of sonic crystal plate and the plate thickness.It is thus concluded that imaging quality can be improved by cascaded stack of SC sheets.

sonic crystals;negative refractive index;imaging;resolution

1007-2985(2014)02-0048-04

2013-12-27

國家自然科學(xué)基金資助項目(11104113，11264011，11304119)；湖南省自然科學(xué)基金資助項目(09JJ6011，11JJ6007，13JJ6059)；湖南省教育廳科學(xué)研究項目(13B091，13A077，13C750)；湖南省吉首大學(xué)研究生校級課題資助項目(JDY12047，JGY201314)

關(guān)珺珺(1991-)，男，河南新蔡人，吉首大學(xué)物理與機電工程學(xué)院碩士生，主要從事人工微結(jié)構(gòu)物理研究

鄧 科(1978-)，男，湖南湘潭人，吉首大學(xué)物理與機電工程學(xué)院副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事凝聚態(tài)物理研究；趙鶴平(1966-)，男，湖南桑植人，吉首大學(xué)物理與機電工程學(xué)院教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事凝聚態(tài)物理研究.

O481

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.02.011