錢學(xué)明

(1.無錫科技職業(yè)學(xué)院物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無錫 214028，2.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122)

含無窮分布時滯的離散時間耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步分析*

錢學(xué)明1，2

(1.無錫科技職業(yè)學(xué)院物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無錫 214028，2.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122)

針對一類離散時間耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，討論其含有變時滯和無窮分布時滯時的同步性.采用Lyapunov穩(wěn)定性理論，結(jié)合線性矩陣不等式技術(shù)來獲得時滯耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局漸近同步的充分性判據(jù)，并且所獲得的判據(jù)依賴于時滯.同時，對細胞激活函數(shù)做了類扇形描述的假設(shè)，從而進一步減少結(jié)論的保守性.

離散時間；耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；變時滯；無窮分布時滯；全局漸近同步

近年來，離散時間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌同步由于其在圖像處理，時間序列分析，二次最優(yōu)化等問題中潛在的應(yīng)用價值，所以引起了越來越多專家學(xué)者的興趣.2008年，劉玉榮等[1]首次將分布時滯引入離散時間復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，并給出其依賴時滯的同步判據(jù).王子棟等[2]進一步研究了帶有隨機非線性函數(shù)和分布時滯的離散時間復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題.梁金玲等[3]提出了帶變時滯的離散時間耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步條件.此后，離散時間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題受到了廣泛的關(guān)注，并取得了一系列有意義的成果[4-6].但是，據(jù)筆者所知，將無窮分布時滯引入離散時間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并討論該系統(tǒng)同步性的研究還鮮有報道.因此，本文擬分析一類具有變時滯和無窮分布時滯的離散時間耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性.

符號說明：Rn表示n維Euclid空間，Rn×m表示一切n×m實矩陣集合.向量或矩陣的轉(zhuǎn)置由上標(biāo)“T”標(biāo)識.X≥Y(X>Y)表示X-Y是半正定的(正定的)，其中X和Y為實對稱矩陣.I表示維數(shù)適合的單位矩陣.Rn中Euclid向量范數(shù)記為|·|.λmax(·)表示矩陣的最大特征值，λmin(·)則表示最小特征值.矩陣Xm×n和Yp×q的Kronecker積記為X?Y.對稱矩陣中對稱部分用“*”替代.

1 問題描述

考慮含有變時滯和無窮分布時滯的離散時間耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以描述為

(1)

令細胞激活函數(shù)分別為：

f(xi(k))=[f1(xi1(k)),f2(xi2(k)),…,fn(xin(k))]T，

g(xi(k-τ1(k)))=[g1(xi1(k-τ1(k))),g2(xi2(k-τ1(k))),…,gn(xin(k-τ1(k)))]T，

h(xi(v))=[h1(xi1(v)),h2(xi2(v)),…,hn(xin(v))]T.

對細胞激活函數(shù)給出下列假設(shè).

假設(shè)[7]對于任意的r∈{1,2,…,n}，細胞激活函數(shù)滿足：

G(x(k))=[gT(x1(k)),gT(x2(k)),…,gT(xN(k))]T；

H(x(k))=[hT(x1(k)),hT(x2(k)),…,hT(xN(k))]T；

J(k)=[IT(k),IT(k),…,IT(k)]T.

引入Kronecker積，將系統(tǒng)(1)寫成緊的形式

x(k+1)=(IN?D)x(k)+(IN?A)F(x(k))+(IN?B)G(x(k-τ1(k)))+

(2)

2 主要結(jié)果及證明

引理1[8]由Kronecker積的定義，有以下性質(zhì)：

(1) (αA)?B=A?(αB)；

(2) (A+B)?C=A?C+B?C；

(3) (A?B)(C?D)=(AC)?(BD)；

(4) (A?B)T=AT?BT.

引理3[1]設(shè)M∈Rn×n是一個半正定矩陣，xi∈Rn，ai≥0.如果所涉及數(shù)列收斂，則

為了敘述方便，記：

利用上述引理及Lyapunov直接法，可以獲得以下主要結(jié)果.

定理1 若滿足假設(shè)1，并且存在3個正定對稱矩陣P，Q和R，以及3個正定對角矩陣Λ，Σ和Δ，使得下列LMIs成立：

(3)

證明引入Lyapunov-Krasovskii泛函

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k)+V4(k).

(4)

其中：

計算(4)式沿系統(tǒng)(2)的軌跡對k的差分，則

ΔV(k)=ΔV1(k)+ΔV2(k)+ΔV3(k)+ΔV4(k).

(5)

其中：

ΔV1(k)=xT(k)[(INU)?(DTPD-P)]x(k)+FT(x(k))[(INU)?(ATPA)]F(x(k))+

GT(x(k-τ1(k)))[(INU)?(BTPB)]G(x(k-τ1(k)))+

xT(k)[(NW2)?(ΓPΓ)]x(k)+2xT(k)[(INU)?(DTPA)]F(x(k))+

2xT(k)[(INU)?(DTPB)]G(x(k-τ1(k)))+

2xT(k)[(NW)?(DTPΓ)]x(k)+

2FT(x(k,x))[(INU)?(ATPB)]G(x(k-τ1(k)))+

2FT(x(k))[(NW)?(ATPΓ)]x(k)+

2GT(x(k-τ1(k)))[(NW)?(BTPΓ)]x(k)+

ΔV2(k)=GT(x(k))(U?Q)G(x(k))-GT(x(k-τ(k)))(U?Q)G(x(k-τ(k)))+

GT(x(k))(U?Q)G(x(k))-GT(x(k-τ(k)))(U?Q)G(x(k-τ(k)))+

考慮引理1至3，對(5)式進行計算、整理可得：

(6)

其中:

根據(jù)假設(shè)可知，對于r∈{1,2,…,n}，則

(7)

(8)

(9)

將(7)～(9)式分別乘以λr,σr,δr(λr,σr,δr均大于0)，并對r從1到n求和，可得

(10)

(11)

事實上，若系統(tǒng)(1)中的無窮分布時滯改為有限分布時滯，即得如下含有變時滯和有限分布時滯的離散時間耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

(12)

不難得到以下推論.

定理2 若滿足假設(shè)，并且存在3個正定對稱矩陣P，Q和R，以及3個正定對角矩陣Λ，Σ和Δ，使得下列LMIs成立：

3 數(shù)值例子

考慮離散時間的混合時滯耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)具有下列參數(shù)：

根據(jù)上述參數(shù)，利用LMI工具箱，解決了LMIs(3)，且

于是，根據(jù)定理1可知具有變時滯和無窮分布時滯的離散時間耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)全局漸近同步.

4 結(jié)語

對一類離散時間耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步性進行分析，討論了變時滯和無窮分布時滯對系統(tǒng)同步性的影響.采用Lyapunov直接法，通過構(gòu)造新的Lyapunov-Krasovskii泛函，結(jié)合LMI技術(shù)以及Kronecker積的性質(zhì)，獲得了離散時間的時滯耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有LMI形式的全局漸近同步條件，且該充分性條件依賴于時滯.同時，文中對細胞激活函數(shù)做了更為一般的類扇形描述假設(shè)，從而使結(jié)論進一步減少保守性.最后，利用LMI工具箱對該離散時間的混合時滯耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的同步條件的有效性和可應(yīng)用性進行了驗證.

[1] LIU Yurong,WANG Zidong,LIANG Jinglin,et al.Synchronization and State Estimation for Discrete-Time Complex Networks With Distributed Delays[J].IEEE Trans. on Systems,Man and Cybernetics-Part B:Cybernetics,2008,38(5):1 314-1 325.

[2] WANG Zidong,WANG Yao,LIU Yurong.Global Synchronization for Discrete-Time Stochastic Complex Networks With Randomly Occurred Nonlinearities and Mixed Time Delays[J].IEEE Trans. on Neural Networks,2010,21(1):11-25.

[3] LIANG Jinglin,WANG Zidong,LIU Yurong,et al.Robust Synchronization of an Array of Coupled Stochastic Discrete-Time Delayed Neural Networks[J].IEEE Trans. on Neural Networks,2008,19(11):1 910-1 921.

[4] 錢學(xué)明.具有變耦合時滯的離散時間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2012,18(3):4-8.

[5] LIANG Jinglin,WANG Zidong,LIU Yurong,et al.Global Synchronization Control of General Delayed Discrete-Time Networks With Stochastic Coupling and Disturbances[J].IEEE Trans on Systems,Man,and Cybernetics-Part B:Cybernetics,2008,38(4)：1 073-1 083.

[6] TANG Yang,FANG Jianan,XIA Min,et al.Synchronization of Takagi-Sugeno Fuzzy Stochastic Discrete-Time Complex Networks with Mixed Time-Varying Delays[J].Applied Mathematical Modelling,2010,34(3)：843-855.

[7] LIU Yurong,WANG Zidong,LIU Xiaohui.On Synchronization of Coupled Neural Networks with Discrete and Unbounded Distributed Delays [J].International Journal of Computer Mathematics,2008,85(8)：1 299 -1 313

[8] CAO Jinde,LI Ping,WANG Weiwei.Global Synchronization in Arrays of Delayed Neural Networks with Constant and Delayed Coupling[J].Physic Letters A,2006,353(4)：318-325.

(責(zé)任編輯 陳炳權(quán))

SynchronizationofanArrayofDiscrete-TimeCoupledNeuralNetworkswithDistributedDelays

QIAN Xueming1,2

(1.School of Internet of Things,Wuxi Vocational College of Science and Technology,Wuxi 214028,Jiangsu China；2.School of Internet of Things,Jiangnan University,Wuxi 214122,Jiangsu China)

This paper discusses synchronization in an array of discrete-time coupled neural networks with mixed time delays.And,by employing Lyapunov-Krasovskii functional and linear matrix inequality (LMI) approach,the criteria for the asymptotically synchronization are obtained.Furthermore,the description of the activation functions is a more general sector-like nonlinear function.And the criteria of synchronization are therefore less conservative.

discrete-time;coupled neural network;time-varying delay;distributed time delay;global asymptotically synchronization

1007-2985(2014)01-0036-06

2013-09-15

江蘇省自然科學(xué)基金資助項目(BK2010313)

錢學(xué)明(1981-)，男，江蘇無錫人，無錫科技職業(yè)學(xué)院物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)學(xué)院講師，博士，主要從事復(fù)雜系統(tǒng)的控制理論研究。

O175；TP183

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.01.009